数学概率笔记（热门20篇）

抗凝中药可以降低血管疾病的发生概率。血栓、栓塞性疾病时刻危害老年人的身体健康，然而合理服用抗凝中药，降低各种心脑血管疾病的发生：

我国抗凝药物的使用情况很不理想。著名心血管专家曾指出“在自然人群中，97%以上的患者从不服用抗凝药物。”有些老年人为预防冠心病、脑血栓形成的发生，接受口服抗凝药物治疗。常用的药物有肠溶阿司匹林、潘生丁、华法令等，合理应用的确能够降低血栓、栓塞性疾病的发生率，然而用药过量可导致颅内出血，应当引起人们的高度重视。国外资料显示，口服常规剂量的抗凝药物增加脑出血的危险性7～10倍。

专家提出复方丹参片具有很好的抗凝作用，副作用小，价格便宜，及早服用，提前预防，降低重大心脑血管疾病的发生。当然，不同品牌的复方丹参片效果也不同。在全国600多个生产厂家中白云山牌复方丹参片是首选良药。

作为著名品牌的白云山复方丹参片是全国率先拥有防治老年痴呆专利和缓释技术研究成果的药物，主要中药材来源于GAP基地，从而使药品从源头上得到了保证。目前，白云山复方丹参片年产量80亿片，市场占有率60%以上。作为预防用药，许多消费者碰到药店搞优惠活动而多卖，在服务上，白云山和黄中药斥资8000万元，与当地药店联手，在全国推出6600家“永不过期”的药店，凡购买白云山中药，均可以旧换新,这意味着白云山和黄中药将“永不过期”。

1989年，美国国家研究委员会发布了关于美国数学教育的最后一份报告，“每个人都关心数学教育的未来”。全国数学教师委员会发布了《学校数学课程与评价标准》等新文件，阐明了美国数学教育改革的必要性，提出了数学教育改革的目标，并逐步建立了全国数学教育改革的共识。一些美国人认为，为所有学生提供高质量的数学教育是繁荣经济的必要条件。为了使美国在未来世界保持其强国的地位，美国应该在本世纪末拥有世界上最好的数学教育。”。

经过20年的探索和改革，中小学数学教材发生了巨大的变化。最重要的是提高思想认识。与多年前相比，小学和学前低年级数学阅读材料中渗透数学思想和方法的内容增加了很多。一些父母认为他们的孩子可以加减两位数。他们还需要播放这些类似游戏的内容吗？事实反映出我们不了解现代数学的思想、方法和结构。

我们知道，在19世纪末，康托创立了集合论(当然，还有以前的非欧洲几何和伽罗瓦发现的那一组)，它发展了现代数学的理论和方法，并使它像今天一样繁荣。集合论和群论这些新思想的诞生不仅改写了整个古典数学理论，而且是现代数学理论和方法的基石。

集合是一个原始的概念，它主要来自感性认识，加上一些简单的性质和数学思想，可以从生活实践中感知。儿童玩具、用品、食物等都可以成为道具。当然，不要使用术语集，因为孩子们需要学习其他量词。例如，这是一堆玩具，那是一篮子水果。然而，有必要认识到在这个整体中有不同的个体，个体形成一个整体。

其次，它是张教授在分类游戏中强调的重要规则。我进一步阐述了其中包含的重要的现代数学思想。在一些儿童数学书籍中，我看到了许多张教授提到的不同层次和维度的不同分类的例子。

对孩子们来说，最好玩真正的道具:“宝贝，让我们玩玩具，好吗？”"这是一堆玩具，有几个？""顺便问一下，有多少辆车？""顺便问一下，有多少个积木？""顺便问一下，有多少小动物？""顺便问一下，婴儿能把它们分成小堆吗？"“放一堆小汽车……”

总之，我们可以不时地设计不同的方法。首先要注意那些分类较低的，这有助于有理数的分解和加减。逐一相加有助于解决数字的顺序关系。

最后，让我们谈谈数学归纳法。多米诺骨牌游戏也能理解这种极其重要的数学方法的原理。结合军事象棋，它们被一个接一个地放置在一排远处，这样当第一个被按下时，连锁反应就会发生，一个接一个地倒下。只有两个条件，1)第一个倒下(当然是向象棋的方向移动)；2)当前面的一个落下时，后面的一个必须落下。那么当第一个被推下时，所有的东西肯定都会掉下来。你看，一个简单有趣的游戏实现了数学中的一个伟大真理。

4、（08东莞）17．（本题满分7分）一个不透明的口袋里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个.若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5.

(1)求口袋中红球的个数.

(2)小明认为口袋中共有三种颜色的球，所以从袋中任意摸出一球，摸到红球、白球或黄球的概率都是，你认为对吗?请你用列表或画树状图的方法说明理由.

5、一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球。

6、四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张.

（1）用画树状图或列表的方法,列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况;

（2）计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少？

数学故事

在中国古典神话小说《西游记》中，据说唐僧师徒孙悟空、猪八戒、沙僧到西天取经，在平顶山莲花洞里，把想吃唐僧肉的妖怪金角王、阴角王都消灭了。然后，师徒们继续前行，他们遇到了一座又高又陡的山。当他匆匆赶路时，他看着风景，并没有意识到天色已晚。

故事发展到这里，小说写道:

......师徒们正在玩山景，信步时，早不觉红轮西落。它是:

十英里长的亭子没有游客，九楼的天空布满了星星。

八条河流对船只关闭，7000个县关闭。

六宫五府归官杀，四海三河钓尼龙。

两座楼前的钟鼓在响，月亮上挂满了干巴巴的鲲。

这首诗从10，9，8，7到6，5，4，3，2，1。星星和月亮点缀着夜晚。该停止工作了。该下班了。该关门了。路上没有人。那些从经文中学习的人应该找个地方休息。

为了学习经文，穿越山川是极其困难的。征服恶魔甚至更危险。八戒要回家，唐僧心里打鼓。幸运的是，孙悟空不断地鼓励大家去看看沿途群山和森林的宁静景色，放松一下。小说中的这首山水诗只是紧张情节中一点轻松的琐事和一点解脱。所有的十个数字都嵌在诗中，数字从大到小颠倒过来，成为一首独特的“对等诗”，增加了更多的趣味。

《西游记》是明代吴承恩写的，已出版400多年。根据我们目前的数学习惯，我们用阿拉伯数字写出诗歌中的数字，并把它们按顺序排列成一串

10987654321

现在让我们玩一个小数学游戏:使用上面写的十个数字，在不打乱顺序的情况下添加适当的数学符号，并形成十个公式，这样计算结果分别等于10、9、8、7、6、5、4、3、2和1。

很容易形成任何一个公式。要形成一套完整的十个，你必须动动脑筋。如果组成十个公式的方法改变了，那就更有趣了。

您可以形成许多满足条件的公式。这是其中之一。

10+9-8-7+6+5-4-3+2×1 = 10；

(10+98+76)×5÷4(3+2)+1 = 9；

(10+9+8-7)×6÷5÷4+3-2+1 = 8；

(109-87 )( 6+5)+4+3-2×1 = 7；

(10+9+8-7-6)×5-43-21 = 6；

(10+9+8+7+6)5-4(3-2)+1 = 5；

10×9-87+65-43-21 = 4；

(109-8+7)6-54 3+2+1 = 3；

(109+87-6)5-4-32×1 = 2；

(10×9-87 )( 6×54-321)= 1 .

数学故事——海上相遇的故事

花花公子肯特邀请他的新女友摩西在圣诞之夜共进晚餐。他发现对方对自己不太感兴趣。晚饭后，他沮丧地在街上闲逛，遇见了谭铭·罗克。

罗科问他在餐桌上和摩西谈了些什么。肯特说:“我告诉她，去年圣诞节前的一个早上，我正和海军上校主席一起去北极的海军气象站。突然，主席摔倒了，摔断了大腿。十分钟后，我们脚下的冰开始松动，我们开始向大海漂移。我意识到，如果我们不马上生火，我们都会冻死，但是我们的火柴用完了。所以我拿出一个放大镜，再撕几张纸，把它们放在一个铁盒子里，用放大镜聚焦阳光，然后点燃纸。感谢上帝，火救了我们的命。幸运的是，24小时后，我们被一艘路过的快艇救了出来。”每个人都说我是一个不怕危险并采取自救措施的英雄。"

罗克笑了:“摩西小姐没有嘲笑你。这很有礼貌。”

肯特对海上发生的事情的描述有什么错？

答案如下:

圣诞节前，肯特不能在北极圈用阳光生火。因为从那一年的十月到次年的三月，北极圈没有阳光。

.几何图形分类

(1)立体几何图形可以分为以下几类：

第一类：柱体;

包括：圆柱和棱柱，棱柱又可分为直棱柱和斜棱柱，棱柱体按底面边数的多少又可分为三棱柱、四棱柱、N棱柱;

棱柱体积统一等于底面面积乘以高，即V=SH，

第二类：锥体;

包括：圆锥体和棱锥体，棱锥分为三棱锥、四棱锥以及N棱锥;

棱锥体积统一为V=SH/3，

第三类：球体;

此分类只包含球一种几何体，

体积公式V=4πR3/3，

其他不常用分类：圆台、棱台、球冠等很少接触到。

大多几何体都由这些几何体组成。

(2)平面几何图形如何分类

a.圆形

b.多边形：三角形(分为一般三角形，直角三角形，等腰三角形，等边三角形)、四边形(分为不规则四边形，体形，平行四边形，平行四边形又分：矩形，菱形，正方形)、五边形、六……

注：正方形既是矩形也是菱形

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

数学故事——实虚数

“虚数”这个词让人觉得很神秘，好像有点“虚”，但实际上它的内容很“实”。

解方程时会产生虚数。当解这个方程时，通常需要平方这个数。如果平方数是正数，可以计算出所需的根。但是如果要开的派对数量是负数呢？

很久以前，大多数人认为负数没有平方根。到16世纪，意大利数学家

的想象符号。但他认为这只是一种正式的表达。1637年，法国数学家笛卡尔在他的《几何》中首次给出了“虚数”的名字，它对应于“实数”。

直到19世纪早期，高斯系统地使用了这个符号，并提倡使用对(A，B)来表示a+bi，即复数，虚数才逐渐变得普遍。

随着虚数进入数字领域，人们对它的实际用途一无所知，现实生活中似乎也没有用复数表示的量，因此人们对它产生了各种各样的怀疑和误解。笛卡尔说“虚数”的原意是它是假的；莱布尼茨认为:“虚数是上帝奇妙而奇怪的藏身之处。它几乎是一个两栖物体，既存在也不存在。”欧拉说，虽然他在许多地方使用虚数，但一切都是这样的

继欧拉之后，挪威测量员维泽尔提出将复数(a+bi)表示为平面上的一个点。后来高斯提出了复平面的概念，最终给了复数一个立足点，为复数的应用开辟了一条道路。目前，复数一般用于表示矢量(方向量)，在水力学、制图学和航空学中应用广泛，虚数显示出越来越丰富的内容。这是真的:空计数不是空的！

虚数的发展表明，许多数学概念不是直接来自实践，而是来自思考。然而，这些概念只有在现实生活中有用时才能被接受和发展。

数学童话——坏狐狸和三角

母鸡孵出了四只小鸡。她既高兴又担心。令人高兴的是，四只小鸡都快乐地跳来跳去，这真的很可爱。令人担心的是坏狐狸会偷小鸡。

为了防止坏狐狸偷鸡，母鸡找到了许多木板和棍子来建造一个平屋顶的小木屋。母鸡妈妈想，有了房子，他不怕坏狐狸。

深夜，田野静悄悄的。在月光下，一个黑色的影子飞快地向小木屋跑去。

“砰，砰！”敲门声吵醒了母鸡。“谁？”母鸡妈妈问。

“是我，是我丈夫的鸡，快开门。”一个非常难听的声音回答道。

母鸡妈妈想，不！我丈夫的鸡不在城里。需要很多天才能回来。另外，这个难听的声音不是老公鸡的声音。母鸡妈妈大声说:“你不是一只老公鸡，你是一只坏狐狸，走开！”

那只坏狐狸看到自己不能被骗时，露出了狰狞的面孔。他厉声喝道，“快把小鸡给我！否则，我就拆了你的房子，把你们都吃掉！”

虽然母鸡妈妈心里很害怕，但他嘴上却说:“如果你不给予，你就不给予，你就不给予！我的小鸡不能给你。”

坏狐狸非常生气，使劲摇晃平顶木屋，以至于四只鸡在母鸡的翅膀下颤抖。摇晃了一会儿后，框架倾斜了。屋顶和墙壁之间有一个很大的缝隙。一只大狐狸伸出爪子，抓起一只小鸡就跑了。

拂晓时，鸟儿飞来飞去寻找食物。一阵哭声惊动了他们。

小黄雀问，"母鸡妈妈，你为什么哭？"

母鸡妈妈哭着说:“我建了一个平顶的木头房子来防止坏狐狸偷鸡。然而，平顶木屋的强度不足以让坏狐狸被推到一边。坏狐狸抓了一只小鸡宝宝，呜……”

啄木鸟说:“小喜鹊会在顶部建一座房子。请他帮你建一座坚固的房子。”

不一会儿，啄木鸟邀请了喜鹊。喜鹊说:“我只能建一个巢，我能在哪里盖房子！”

“然后呢？”人们很担心。

喜鹊说:“有一次我在一棵大树上，听到树下的几个建筑工人说三角形屋顶最结实。”

啄木鸟焦虑地说，“谁见过三角形是什么样的？”

喜鹊拿了三根树枝，排成一个三角形。

每个人都说，“让我们像这样建造它。”

有些鸟抓着树枝，有些鸟抓着泥土。啄木鸟在木头上啄洞。喜鹊用小树枝把木头绑在一起。夕阳西下，一座三角形屋顶的新房子建成了。

晚上，坏狐狸又来了。这一次，他什么也没说，抱着木屋，疯狂地摇晃着。奇怪，为什么这木屋今晚不能摇动？！那只坏狐狸聚集了他所有的力量并且再次颤抖，但是一点也不动。

天快亮了，坏狐狸严厉地说:“即使你现在不在，我明天还会再来。如果你敢出来，我就吃了你！”

一大早，这只鸟看到母鸡在担心守卫木屋。

小珊英问，“母鸡妈妈，你的木屋不是很好。你在担心什么？”

母鸡妈妈说:“三角形的屋顶相对安全，但是我们不能一直呆在房子里！坏狐狸说，我们一出来，他就会来抓小鸡。”

百灵鸟说，“我有一个好主意。让我们帮助母鸡妈妈用木栅栏把房子围起来，并安装木栅栏门进出。难道这还不足以防范坏狐狸吗？”

每个人都说这个主意很好，所以他们开始一起建造一个木栅栏。他们还削尖了顶部以防止坏狐狸跳进来。最后，安装了一个长方形的木门。

晚上，坏狐狸真的又来了。他看见小鸡在栅栏里跳来跳去，口水直流。坏狐狸绕着木栅栏转了两次，发现这是最容易摧毁大门的方法。他把爪子抓在木门上，用力摇晃着。结果，长方形的门变成了平行四边形，露出了一个缺口。坏狐狸跳进来了。要不是母鸡妈妈领着小鸡跑进屋里，我恐怕会遭殃。

坏狐狸走了。小喜鹊飞了进来，说:“长方形的门很容易变形。用木板斜着钉，如果它变成两个三角形，会更结实。”

百灵鸟说:“我们不能总是防备坏狐狸。我们必须这样做...这边。”每个人听到这个都很高兴，过了一会儿他们才离开。

坏狐狸不愿意吃小鸡。他又悄悄地来了。他径直走向木门，用力摇了摇。嘿，为什么这次你不能摇摇它？狐狸使劲摇着脚，只听到“扑通”一声掉进了陷阱。陷阱的底部布满了三角形的尖刺，狡猾的狐狸失去了生命。

母鸡妈妈高兴地说:“三角形真有用！”

因式分解分解方法

首先提取公因式，然后依次用公式，十字相乘，分组分解法，若都不行，再拆项添项试一试。必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止

1、提公因式法

首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式。当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式。

2、公式

a2-b2=(a+b)(a-b)

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2，还立方差和及其他公式

3、十字相乘

运用公式x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解。

将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：

①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;

②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数。

4、分组分解法

多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式、十字相乘法分解因式。如果把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。

原式=(am+an)+(bm+bn)

=a(m+n)+b(m+n)

再提公因式(m+n)

a(m+n)+b(m+n)

=(m+n)?(a+b)。

可见如把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。

曹操败走华容道是知名的三国故事，叙述的是曹操在赤壁大战中被三国刘备和曹操联合击败，逃走时历经华容道，又遇到三国诸葛亮的伏兵，关云长以便回报曹操对他的养育恩，协助曹操逃离了华容道。从而衍化出的游戏——华容道，带来大家无尽的快乐。华容道游戏以其变幻无常、百玩不腻的特性，被很多人所钟爱。

华容道归属于导轨滑块类游戏，便是在一定范畴内，依照一定标准挪动一些称之为“块”的物品，最终考虑一定的规定。

华容道有一个带20个小方格的旗盘，为4横格5纵格的股票盘面。旗盘上一共摆有10个不尽相同的棋子，各自意味着曹操、赵云、赵子龙、关平、黄忠、关云长和四个兵士。曹操是占4格的方形棋子；关云长、赵云、赵子龙、关平与黄忠四将各占2格；也有四个兵各占一格。旗盘正下方也有两格子周长的空格符，是供曹操逃跑的出入口。游戏全过程中只有运用股票盘面上留有的2个空格符空出的室内空间来挪动棋子，根据棋子中间的挪动，协助曹操从原始部位移到旗盘最正下方中间的出入口，从那边逃离。曹操取得成功逃离，游戏也就大获全胜了。

华容道有几十种阵型方式，如“横刀立马（图1）”“近在眼前”“过五关（图2）”“密不透风”“雪琴出巢”等。华容道的众多排序方式，能够 从而衍化产生比较复杂的残局。

华容道游戏假如只规定曹操逃离华容道，那麼并不会太难。可是许多 游戏玩家在娴熟游戏后，会考虑到怎样用至少的计步“取得成功肇事逃逸”。因此，华容道实际上还包括着繁杂的计算能力。

实际上，早在1952年，我国数学家许莼舫在《数学漫谈》一书里对华容道游戏就干了细腻的科学研究，他在实验的基本上持续开展探寻，小结出了100步的解法和几个游戏标准，能够 归纳为：四个小兵不可以分离，一定要两2组合在一起；关云长、曹操等将军在挪动的全过程中，前边必须2个小兵引路；曹操一旦挪动，后边务必有两个追逐的小兵。之后又历经世界各地高手的勤奋，游戏解法流程在慢慢降低。在1964年，由英国一位数学家乔治·加德纳得到了經典合理布局“横刀立马”的新解法，仅有81步便可取得成功，这也是华容道己知的最优解法。见到这儿是不是你摩拳擦掌了呢？

有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

科学计数法

数学术语，a×10的n次幂的形式。

将一个数字表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|

用幂的形式，有时可以方便的表示日常生活中遇到的一些较大的数，如：光的速度大约是300000000米/秒；全世界人口数大约是：6100000000人。

常在物理上见到这样的大数，读、写都很不方便，考虑到10的幂有如下特点：在一般情况下，10的n次幂，在1的后面就有n个0，所以这样就可用10的幂表示一些大数，如：6100000000=6.1×10^9

“姜太公钓鱼打一数学用语”的谜底是：公垂线。解谜思路：根据谜面，钓鱼可以理解为“垂线”，“姜太公钓鱼”即可以理解为“公垂线”。在这个谜语中，“姜太公钓鱼”是谜面，“打一数学用语”是谜目，谜底是公垂线。

姜太公钓鱼

在商周时期，太公姜子牙受师傅之命，下界帮助周文王推翻暴政。姜子牙觉得自己半百之龄、又和文王没有交情，很难获得文王赏识。于是在文王回都途中，在河的一边，用没有鱼饵的直钩钓鱼。

鱼钩一般是弯的，但是姜子牙却用直钩(那其实也不能叫钩了)、不用鱼饵。文王见到了，觉得这是奇人(古代人对奇人都很尊敬的)，于是主动跟他交谈，发现这真是个大有用之才，招入帐下。后来姜子牙帮助文王和他的儿子推翻商纣统治，建立了周朝。

1

分式：

（1）分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。

（2）分式是否有意义的条件：分式的分母是否等于0，有意义则分母不为0，无意义则分母为0。

（3）分式值为零的条件：分式A/B=0的条件是A＝0，且B≠0。

注意：求出使分子为0的字母的值，一定要注意检验这个字母的值是否使分母的值为0，一般当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。

（4）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

（5）分式的通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

注意：通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：

●“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；

●如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

●如果分母是多项式，一般应先分解因式。

（6）分式的约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

注意：约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式

◆（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分；

◆（2）找公因式的方法：

①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；

②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。

数学故事——大企业如何成功

一个年轻人来到刘先生面前自我介绍道:“我叫余江。这次我带领一个旅游团去了香港。我听说你们的酒店舒适且服务周到。我们想住在你的酒店里。”

刘马上热情地说:"欢迎，欢迎，你们组有多少人？"

“各位，没关系，这是一个大团体。”

刘先生喜出望外:一个大集团，一个大企业。真的很棒。

作为一名导游，余江看出了刘先生的心思，慢慢地说道，“先生，如果你能数一数我们团的人数，我们就住在你住的酒店里。”

“请说吧。”刘自信地说道。

“如果我把我的小组平均分成四个小组，再多一个人，然后把每个小组平均分成四个部分，结果是多一个人，然后把分成的四个小组分成四个部分，结果是多一个人，当然，包括我，我们至少有多少人？”

“总共多少钱？”刘马上想到，他必须接管这个企业，“没有具体的数字，怎么开始呢？”他是个精明的商人，很快回答道:“至少85个人，对吗？”

余江先生高兴地说:“的确有85个人。请告诉我你的算法。”

“最低的人数是四年级最后一名。根据这一推理，三年级前有1×4+1=5人，二年级前有5×4+1=21人，一年级前有21×4+1=85人。”

“好吧，我们今天和你呆在一起。”

“你有多少男人和女人？”

"有55名男性和30名女性。"

“我们只有11人的房间，7人和5人的房间。你想怎样生活？”

"当然，先生，您已经安排好了，但是男女必须分开，而且不能有空床。"

另一个问题出现了。刘先生以前从未见过这样的客人。他必须花些时间在这上面。

经过深思熟虑，他终于想出了最好的计划:两个11人房间，四个7人房间和一个5人房间；这个女人有一个11人的房间，两个7人的房间和一个5人的房间，总共11个房间。

余江先生看到他的安排后非常满意，立即办理了住宿手续。

已经做了一件大事。虽然事情有点复杂，刘先生还是很高兴。

实数定义：有理数与无理数统称为实数。

实数的分类

无理数：无限不循环小数叫无理数。

有理数：整数和分数统称有理数。

实数的大小比较：

用数轴表示数，右边的数总比左边的数大：正数＞0＞负数

（1）差值比较法：

＞0＞，=0，＜0＜

（2）商值比较法：

若为两正数，则＞＞；＜＜

（3）绝对值比较法：

若为两负数，则＞＜＜＞

（4）两数平方法：如实数与数轴上的点一一对应。平面直角坐标系中的点与有序实数对之间一一对应。

数a的相反数是－a

一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

在实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用。

规律：正数的平方根中被开方数大的较大。正数的立方根中被开方数大的较大。

被开方数相同时，开方的次数越大结果越小。

魔方的定义:填充1...n*n个连续的整数放入n * n个网格中，这样水平和垂直线条以及对角线上的数字之和等于一个常数。

幻方是一个相当古老的数学问题。最早的魔方(如图所示)——九宫图被记录在中国的洛书里。其中，所有奇数-阳，代表天；所有的偶数，阴，代表地面。

历史上另一个著名的魔法广场是由德国画家和雕塑家阿尔布雷特·杜尔创造的。这个魔方出现在他著名的雕塑《忧郁》中。魔方最后一行中间的两个数字是生产时间:1514。

正方形

1、正方形的概念

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定

（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：

先证明它是平行四边形；

再证明它是菱形（或矩形）；

最后证明它是矩形（或菱形）

4、正方形的面积

设正方形边长为a，对角线长为b

五年级数学解方程50道：1、0.5+X+X=9.8÷2；2、3200=450+5X+X；3、7.5×2X=15；

4、X-0.7X=3.6；5、15X =3；6、3X+9=27；7、7X+5.3=7.4；8、1.4×8-2X=6；

9、X+0.5、=21；10、1.5X+18=3X；11、1.8X=0.972；12、X÷5+9=21；

13、X+2X+18=78；14、0.1X+6=3.3×0.4；15、27.5-3.5÷X=4；16、6×5+2X=44；

17、32-22X=10；18、X+3=18；19、4X+2=6；20、16+8X=40；

21、8X-3X=105；22、2X+3=1；23、56X-50X=30；24、32X-29=3；

25、100-20X=20；26、23X-23=23；27、53X-90=16；28、80+5X=100；

29、19X+X=40；30、42X+28X=140；31、80X-90=70；32、9-4X=1；

33、51X-X=100；34、6X+3=27；34、2X+X+0.5、=9.8；35、25000+X=6X；

36、X-0.8X=6；3712X-8X=4.8；38、91÷X =1.3；39、X+8.3=10.7；

40、3X-8=16；41、7X-2、=2X+3；42、18X-2、=270；43、12X=300-4X；

44、3X÷5=4.8；45、 30÷X+25=85；46、6X-12.8×3=0.06；47、410-3X=170；

48、0.5X+8=43；49、 6X-3X=18；50、5×3-X÷2=8。

2015年中考即将来临，为了给各位同学以帮助，本网为大家整理了关于数学几何的知识点。

91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似（ASA）

92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）

94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三

角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

小学数学有什么思想方法呢?下面小编就和大家分享小学数学思想方法，希望对大家有帮助!

常用的小学数学思想方法：

1、对应思想方法

对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。

2、假设思想方法

假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

3、比较思想方法

比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。

4、符号化思想方法

用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。

5、类比思想方法

类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。

6、转化思想方法

转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。

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小学数学思想方法：

一、集合的思想方法

把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法，继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所体现。在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。

如用圆圈图(韦恩图)向学生直观的渗透集合概念。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。

二、对应的思想方法

对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。

如人教版一年级上册教材中，分别将小兔和砖头、小猪和木头、小白兔和萝卜、苹果和梨一一对应后，进行多少的比较学习，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。

三、数形结合的思想方法

数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。

例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。

四、函数的思想方法

恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”我们知道，运动、变化是客观事物的本质属性。函数思想的可贵之处正在于它是运动、变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律的。学生对函数概念的理解有一个过程。在小学数学教学中，教师在处理一些问题时就要做到心中有函数思想，注意渗透函数思想。

函数思想在人教版一年级上册教材中就有渗透。如让学生观察《20以内进位加法表》，发现加数的变化引起的和的变化的规律等，都较好的渗透了函数的思想，其目的都在于帮助学生形成初步的函数概念。

五、极限的思想方法

极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。

现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想;在循环小数这一部分内容中，1÷3=0.333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的;在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。

六、化归的思想方法

化归是解决数学问题常用的思想方法。化归，是指将有待解决或未解决的的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。客观事物是不

断发展变化的，事物之间的相互联系和转化，是现实世界的普遍规律。数学中充满了矛盾，如已知和未知、复杂和简单、熟悉和陌生、困难和容易等，实现这些矛盾的转化，化未知为已知，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化困难为容易，都是化归的思想实质。任何数学问题的解决过程，都是一个未知向已知转化的过程，是一个等价转化的过程。化归是基本而典型的数学思想。我们实施教学时，也是经常用到它，如化生为熟、化难为易、化繁为简、化曲为直等。

如：小数除法通过“商不变性质”化归为除数是整数的除法;异分母分数加减法化归为同分母分数加减法;异分母分数比较大小通过“通分”化归为同分母分数比较大小等;在教学平面图形求积公式中，就以化归思想、转化思想等为理论武器，实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的同化和顺应，从而构建和完善了学生的认知结构。

七、归纳的思想方法

在研究一般性性问题之前，先研究几个简单的、个别的、特殊的情况，从而归纳出一般的规律和性质，这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。数学知识的发生过程就是归纳思想的应用过程。在解决数学问题时运用归纳思想，既可认由此发现给定问题的解题规律，又能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的原理或命题。因此，归纳是探索问题、发现数学定理或公式的重要思想方法，也是思维过程中的一次飞跃。

如：在教学“三角形内角和”时，先由直角三角形、等边三角形算出其内角和度数，再用猜测、操作、验证等方法推导一般三角形的内角和，最后归纳得出所有三角形的内角和为180度。这就运用归纳的思想方法。

八、符号化的思想方法

数学发展到今天，已成为一个符号化的世界。符号就是数学存在的具体化身。英国著名数学家罗素说过：“什么是数学?数学就是符号加逻辑。”数学离不开符号，数学处处要用到符号。怀特海曾说：“只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的。”数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透。

人教版教材从一年级就开始用“□”或“()”代替变量x，让学生在其中填数。例如：1+2=□，6+()=8，7=□+□+□+□+□+□+□;再如：学校有7个球，又买来4个。现在有多少个?要学生填出□○□=□(个)。

符号化思想在小学数学内容中随处可见，教师要有意识地进行渗透。数学符号是抽象的结晶与基础，如果不了解其含义与功能，它如同“天书”一样令人望而生畏。因此，教师在教学中要注意学生的可接受性。

九、统计的思想方法

在生产、生活和科学研究时，人们通常需要有目的地调查和分析一些问题，就要把收集到的一些原始数据加以归类整理，从而推理研究对象的整体特征，这就是统计的思想和方法。例如，求平均数是一种理想化的统计方法。我们要比较两个班的学习情况，以班级学生的平均数作为该班成绩的标志是有一定说服力的，这是一种最常用、最简单方便的统计方法

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