数学概率笔记精彩20篇

沙僧陪同老师参观致仕山小学。当他们来到教室门口，要求班长参观教室时，班长说:“欢迎！但我必须回答我的问题。”唐僧道:“好！”

班长:“我的问题很简单。请计算一下我们班有多少学生。仔细听好:我们班学生不到50人，有些学生住在学校，有些学生住在家里，有些学生住在学校附近的亲戚家，有些学生在外面租房子住。

我们班有多少学生？有多少学生住在租来的房子里？”唐僧想了一会儿，笑着对班长说，“你们班有42个学生，还有一个学生在外面租房子，对吗？听到唐僧的回答，班长带头鼓掌说:“欢迎来我们班参观！”！沙僧陪着唐僧去听课，问道:“师父，你怎么数得这么快？”？"

唐僧对沙僧说:“既然不能有几个人，那么这个班的总人数必须是7、3、2的公倍数。因为人数少于50人，所以班级只能是7×3×2=42。那么，在总人数为42×1-= 1的情况下，我们可以发现在外面租房的学生人数是1。”

数学童话——瘸腿狐狸的野猪

这只跛脚狐狸卖西瓜输了钱，也没钱买食物。他饿得“咕咕”直叫。

老牛走过来问:“狐狸，你怎么了？”

狐狸看着老牛说:“我饿了。我已经两三天没吃东西了。”

老牛严肃地说:“如果你想吃东西，你必须参加劳动！”然后老牛去工作了。

“哼，劳动？多么累人的工作！”狐狸转动着它的眼睛说:“好吧，我有一个好主意。

狐狸一瘸一拐地走向野猪的家。野猪家里有一个大篮子，里面有很多玉米。篮子覆盖着厚布。狐狸说:“野猪哥哥，我听说这个篮子里有很多玉米。你能告诉我有多少吗？”

“保密！”野猪没好气地回答。

“哈哈，在我聪明的狐狸面前，不可能有秘密！”狐狸自信地说:“如果你数一数我的问题，我不仅能知道你篮子里有多少玉米，还能知道你多大了。”

“真的！”野猪觉得难以置信。

狐狸咳嗽了两声，说道:"把你篮子里的玉米数乘以2，再加5，再乘以50，再加上你的年龄，减去250，然后告诉我这个数字。"

野猪在地上躺了半天，最后说:“1506。”

狐狸马上说:“你的篮子里有15个玉米。你才6岁。”

野猪摸了摸自己的前脑，心想:是的，篮子里的玉米有15个。一只野猪摸了摸他的后脑勺，以为他今年真的6岁了。

“上帝！”野猪由衷地钦佩狐狸。他问狐狸，“你怎么知道？”

“来吧！你的计算结果是1506。最左边的两位数15是玉米数。最右边的一位数6是你的年龄。”

“你太伟大了！”野猪亲吻了它怀中的狐狸。

“伟大或不伟大并不重要，重要的是给我弄一顿饭吃，吃点酒和肉！”这只狐狸看起来非常骄傲。

过了一会儿，野猪给狐狸上了红烧兔肉、清蒸鸡、煮老玉米和两瓶好酒。狐狸暴饮暴食，在离开前拿走了四个玉米棒子。

野猪到处传播宣传，说跛脚狐狸擅长他们的把戏。小猴精告诉野猪你被狐狸骗了。野猪不相信。

小猴子说，“看看这个公式(2×15+5)×50+6-250 = 15×100+250+6-250 = 1500+6 = 1506。玉米数字15是你自己写的，乘以100，就成了成千上万的数字，而年龄6是你自己写的，就成了一个位数。通过这样做，我们可以将两个数字分开，一目了然。”

“多么跛脚的狐狸！”野猪迅速冲了出来，追上了瘸腿的狐狸，抓起玉米，用每根玉米棒子狠狠地敲了狐狸的头。太好了。这只瘸腿狐狸头上有4个大包！

〖考题训练〗

15．质检员为控制盒装饮料产品质量，需每天不定时的30次去检测生产线上的产品．若把从0时到24时的每十分钟作为一个时间段(共计144个时间段),请你设计一种随机抽取30个时间段的方法：使得任意一个时间段被抽取的机会均等,且同一时间段可以多次被抽取.(要求写出具体的操作步骤)

①．下列事件是必然发生事件的是

A、打开电视机，正在转播足球比赛；

B、小麦的亩产量一定为1000公斤；

C、在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球；

D、农历十五的晚上一定能看到圆月．

②．下列说法正确的是()

A、可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生；

B、可能性很小的事件在一次实验中一定发生；

C、可能性很小的事件在一次实验中有可能发生；

D、不可能事件在一次实验中也可能发生

③．同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到5的点数，下列事件中是不可能事件的是（）

A.点数之和为12B.点数之和小于3

C.点数之和大于4且小于8

D.点数之和为13

④．冰柜里有四种饮料：5瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶桔子水、6瓶啤酒，其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是()。

A、532B、38C、1532D、1732

⑤．若1000张奖券中有200张可以中奖，则从中任抽1张能中奖的概率为______.

⑥．一个口袋中装有4个白球，2个红球，6个黄球，摇匀后随机从中摸出一个球是白球的概率是。

⑦．一布袋中有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其它都一样。小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球。请你利用列举法（列表或画树状图）分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率。

⑧．李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子。

⑴当两枚骰子点数之积为奇数时，李红得3分，否则，张明得1分，这个游戏公平吗？为什么？

⑵当两枚骰子的点数之和大于7时，李红得1分，否则张明得1分，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你提出一个对双方公平的意见。

⑨．某校八年级将举行班级乒乓球对抗赛，每个班必须选派出一对男女混合双打选手参赛．八年级一班准备在小娟、小敏、小华三名女选手和小明、小强两名男选手中，选男、女选手各一名组成一对参赛，一共能够组成哪几对？如果小敏和小强的组合是最强组合，那么采用随机抽签的办法，恰好选出小敏和小强参赛的概率是多少？

有趣的数字

宋代大诗人苏东坡年轻时和几个同学考上了北京。当他们到达考场时，已经太晚了。考官说:“如果你是对的，我会让你进入考场。”主考人的第一副对联是:一艘单叶船，两三个学生，四只桨和五张帆，六个海滩和七个海湾。经历了各种起起落落后，已经很晚了。

苏东坡的第二幅对联是:十年寒气之后，入了98所书院，弃世俗之欲，苦读五经四书，考了三两次，今天一定要成功。

主考官和苏东坡在对联中嵌入了10个1到10的数字，最大限度地描述了读者的艰辛和勤奋。

错误的小数点

学习数学不仅需要在解决问题时有正确的思维，而且在解决问题的具体过程中不能有错误。差别通常只有一英里那么小。

美国芝加哥一位靠养老金生活的老太太在医院做了一次小手术后回到了家。两周后，她收到医院的账单，金额为63，440美元。看到这个巨大的数字，她震惊了。她心脏病发作，摔死了。后来，有人去医院检查了一下。原来，计算机放错了小数点，实际上只需支付63.44美元。

一个错误的小数点夺去了一个人的生命。正如牛顿所说:“在数学中，最小的误差是不可忽视的。

21世纪从哪一年开始？

世纪是计算年龄的单位，100年是一个世纪。

第一世纪的开始年份和结束年份分别是公元1世纪和公元100年。常见的错误是，有些人把年初视为公元0年，这显然不符合逻辑和我们的习惯，因为一般来说，序数计算从“1”开始，而不是“0”。正是这种误解导致人们错误地认识到本世纪末是公元99年。这也是为什么人们错误地认为1999年是二十世纪的末，2000年是二十一世纪的初。由于公元计数是有序的，它应该从“1”开始，二十一世纪的第一年是2001年。

布冯试验

一天，法国数学家蒲风邀请许多朋友到他家做实验。布冯在桌子上摊开了一大张白纸。白皮书覆盖着等距的平行线。他取出许多等长的小针。小针的长度是平行线的一半。布冯说:“请随意把这些小针留在这张白纸上！”客人们照他说的做了。

布冯的统计结果是:每个人投了2212次，其中小针与纸上的平行线相交704次，2210÷704≈3.142。布冯说:“这个数字是π的近似值。每次我们得到圆周率的近似值，我们抛出它的次数越多，近似值就越精确。”这就是著名的“布冯测试”。

数学魔术师

1981年的一个夏天，印度举行了一场心算比赛。表演者是一位来自印度的37岁妇女，她的名字叫沙昆塔纳。那一天，她将与一台拥有惊人心算的先进电子计算机竞争。

工作人员写了一个201位的大数，并要求他们23次找到该数的根。作为计算的结果，萨金塔纳在50秒内给了观众正确的答案。为了得到相同的答案，计算机必须输入20，000条指令，然后进行计算，这比萨金塔纳要花更多的时间。

这个奇怪的消息在世界上引起了轰动，沙科塔娜被称为“数学魔术师”

华，工作到最后一天

华出生于江苏省。他喜欢数学，并且非常聪明。1930年，19岁的华去清华大学学习。华在清华的四年里，在熊庆来教授的指导下，刻苦学习。他连续发表了十多篇论文，后来被派往英国留学并获得博士学位。他深入研究数论，获得了著名的华氏定理。他特别注重理论联系实际，走访了20多个省、市、自治区，动员群众将优化方法应用于农业生产。

记者在采访中问他:“你最大的愿望是什么？”

他不假思索地回答:“工作到最后一天。”在为科学努力工作的最后一天，他实现了自己的诺言。

锐角三角函数的定义

锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。

正弦等于对边比斜边

余弦等于邻边比斜边

正切等于对边比邻边

余切等于邻边比对边

正割等于斜边比邻边

余割等于斜边比对边

正切与余切互为倒数

它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

它有六种基本函数(初等基本表示)：

函数名正弦余弦正切余切正割余割

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有

正弦函数sinθ=y/r

余弦函数cosθ=x/r

正切函数tanθ=y/x

余切函数cotθ=x/y

正割函数secθ=r/x

余割函数cscθ=r/y

（斜边为r，对边为y，邻边为x。）

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

正矢函数versinθ=1-cosθ

余矢函数coversθ=1-sinθ

方程思想

【考点】有理数计算、分数拆分、方程思想【难度】★★★★

解答题：有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能表示为3个连续的正整数的和，求这8个连续的正整数中最大数的最小值。(4分)

【解析】

设这八个连续正整数为：n，n+1……n+7；和为8n+28

可以表示为七个连续正整数为：k，k+1……k+6；和为7k+21

所以8n+28=7k+21，k=(8n+7)/7=n+1+n/7，k是整数

所以n=7，14，21，28……

当n=7时，八数和为84=27+28+29，不符合题意，舍

当n=14时，八数和为140，符合题意

【答案】最大数最小值：21

概率的难点分析及解决策略

初中数学中概率学习的难点之一：分析推测事件发生的可能性的大小．

解决策略：

（1）事件发生的不确定性和可能性在学生生活和经验积累中有所感受，但往往是感性的、模糊的、无意识的，现在开始力求精确，尽可能用数字说话，学生原有的知识经验难以支撑，为认知同化造成困难．

（2）学生判断事件发生的可能性大小，还离不开自己的生活经验，往往带有感情色彩，错误的经验与现实结论的冲突，排斥着新观念、新知识的建立，也会成为学生认知顺应的障碍．

解决策略：

（1）充分利用学生的生活经验和认知基础，用学生身边的感兴趣的鲜活生动的问题情境作为教学素材，不惜时间让学生亲身经历，引导学生自己总结、分析，试着用自己的语言表述，逼近定义，这样引出新概念容易被学生原认知结构所同化．

（2）有针对性的提供一些带有情感色彩的问题，让学生在交流、讨论甚至争议中澄清认识，体验客观事件发生的可能性与个人的愿望无关．

初中数学中概率学习的难点之二：对等可能的理解。学生在处理较为复杂的概率问题中，有时会忽视古典概率的使用条件：等可能。

解决策略：教学时，只需要通过例子感知一下"等可能"和"不等可能"即可，以便让学生明白古典定义的适用对象须具备的条件。

重点一

概率

表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率.

P(所关注的事件)=所关注的结果/所有等可能的结果.

概率的预测

(1)要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果.

(2)要清楚所有机会的结果.

(1)、(2)两个结果个数之比就是关注的结果发生的概率.

方法：画树状图、列表法.

事件的分类

1、确定事件

必然发生的事件：当A是必然发生的事件时，P(A)=1

不可能发生的事件：当A是不可能发生的事件时，P(A)=0

2、随机事件：当A是可能发生的事件时，0

甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？（列方程）

0.3x+（20-x）×0.6=9

解析

考点：一元一次方程定义

说明：两种铅笔共20支，甲种铅笔x支，乙种铅笔20-x支。

解题步骤：

解：设甲种铅笔买了x支，

列方程

0.3x+（20-x）×0.6=9。

小结：利用一元一次方程解决实际问题的步骤，设未知数，列方程。

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。

三角形的特征：①不在同一直线上;②三条线段;③首尾顺次相接;④三角形具有稳定性。

2.三角形中的三条重要线段：角平分线、中线、高

(1)角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

(3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

说明：①三角形的角平分线、中线、高都是线段;

②三角形的角平分线、中线都在三角形内部且都交于一点;三角形的高可能在三角形的内部(锐角三角形)、外部(钝角三角形)，也可能在边上(直角三角形)，它们(或延长线)相交于一点。

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“嗯。”毕达哥拉斯点点头，说道，“这个年轻人的身体符合最美丽的比例。他是一个美丽的年轻人！”

下面有很多议论:“这个四眼怪物原来是个标准的漂亮少年！”

毕达哥拉斯又开始了他的演讲:“维纳斯，爱与美的女神，她的身体各部分的比率为0.618；伟大的帕台农神庙的高宽比也是0.618。没有一个美丽的地方能与黄金分割开来——0.618！”

参加讲座的人高呼:“伟大的0.618！金色数字万岁！”

铁丹摇摇头，说道，“一切万岁。真奇怪！”

毕达哥拉斯抓起铁蛋问道:“你是我们的朋友吗？220，请回答！”

“220？”蒂丹听到这些时很傻。他漫不经心地回答，“治疗外伤的红药水也叫220。”

毕达哥拉斯怒视着并喊道，“这孩子不是我们的朋友！快给我拿下来！”

话音刚落，两个又高又壮的古希腊人走上前来抓铁蛋。

“时间之鹰，救命！”铁蛋叫道。鹰的叫声响起，时间之鹰闯进了房子。

时间之鹰在铁蛋的耳边说了两个字。蒂丹提高声音说:“你说220，我回答284。”

毕达哥拉斯立即跑向他，热情地拥抱着铁蛋，说道:“220和284，我们是好朋友！”

“这是怎么回事？”铁蛋很困惑。

时间之鹰解释道:“284有五个真实因素:1，2，4，71，142。把它们加起来:1+2+4+71+142=220，正好等于220；另一方面，220有11个真因子，加起来是284。这两个数字包括我和你。他们被称为相亲。”

蒂丹说，“老鹰，带我一起走！”

“走？”毕达哥拉斯瞪着他说:“你必须发誓在你走之前不要告诉任何人这个地方！”

“你向谁发誓？”铁蛋问道。

毕达哥拉斯高举双手，虔诚地说:“整个宇宙都是基于前四个奇数和前四个偶数。向伟大的36号发誓！”

“36？这36个人是从哪里来的？”铁蛋不明白，你知道吗？好好想想，你就会知道。

确定函数定义域的方法

(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数;

(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零;

(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零;

(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零;

(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

用待定系数法确定函数解析式的一般步骤

(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;

(2)将x、y的几对值或图像上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程

(3)解方程得出未知系数的值;

(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。

当伟大的印度数学家斯里尼瓦萨罗·马努因肺结核在伦敦住院时，他的同事哈迪来看望他。哈代从来不擅长唤醒谈兴。他对罗曼奴芝说，“我是坐1729号出租车来的。对我来说，这个数字似乎很无聊。我希望这不是一个坏兆头。”“胡说，”罗曼奴芝答道，“这个数字一点也不无聊，相反，它很有趣。这是最小的数，可以用两种不同的方式表示为三次方的二次方之和。”(罗曼奴芝不知何故立即确定了1729 = 13+123和93+103。)罗曼奴之死于1920年，享年32岁。他是一位一位数的理论家和研究整数属性的数学奇才。数论是数学中最古老的领域之一，在某种程度上也是最简单的。当然，数字是数学中最常见的基础材料。然而，仍然有许多关于它们的基本问题没有得到回答。公元前3世纪，当博加特的阿波罗尼斯天真地继续研究阿基米德的大量数字时，他可能不知道等待他和数学代数学家的是什么。“我来告诉你谁知道大数，”阿基米德想。据说他出于报复而发明了放牛的计算问题。解决这个问题所需的人数太多了，直到最近才解决。此外，解决这个问题的不是人，而是机器:世界上最快的计算机。阿基米德取得了许多不可思议的成就，这些成就使他成为他那个时代的传奇人物，而提出像放牛这样极其困难的问题只是其中之一。公元前212年，罗马将军马塞洛斯围攻西西里的锡拉丘兹港。该市的国王西伦要求国王驱逐阿基米德的60艘敌舰。阿基米德不久前发明了杠杆(所以他说了一句名言:“给我一个支点，我会移动整个地球。”)，他将杠杆和滑轮结合起来制造大型起重机，将入侵的军舰吊出港口。在战斗中，起重机还得到了弩弹弓和凸面镜的帮助，它们将阳光聚焦在船上并点燃了船。结果，罗马舰队被摧毁了。马塞卢斯说:“让我们不要和这个几何怪物战斗。他把我们的船当作杯子，从海里舀水。”阿基米德阻止敌人接近达三年之久。后来，一天晚上，当锡拉丘兹忙于宗教庆典时，罗马士兵爬上城墙，打开了城门。当马塞卢斯的军队蜂拥而至时，他告诉他的下属:“没有人敢对阿基米德动一根毫毛。这个人是我们的客人。”梅斯鲁斯的一名士兵在院子里发现了阿基米德。那时，阿基米德正在沙滩上画几何图形。士兵不服从命令，拔出了剑。阿基米德问道:“我的朋友，在你杀我之前，请让我画一个圈。”士兵毫不犹豫地把剑对准阿基米德。阿基米德躺在地上，喃喃地说:“他们拿走了我的身体，但我会拿走我的灵魂。”就这样，他平静地死去了。根据阿基米德的愿望，人们在他的墓碑上刻了一个圆柱体，里面是一个球体——象征着他自豪的发现，球体的体积是包含球体的最小圆柱体体积的三分之二。这个传说有多少是真的？阿基米德无疑是一个机械天才。有充分的证据表明，他设计了一种能在300英尺外投掷50磅弩石的弩车。但是最近的一项技术史研究排除了他已经制造出一种可以将敌人的船只从海上吊起的起重机的可能性。这个神话可能是基于这样一个事实:他发明了一种起重机式的装置来将他的(静止的)船吊上岸。许多科学巨人包括伽利略？伽利略和法国博物学家布冯伯爵，乔治·路易斯？莱斯奎雷对阿基米德用镜子焚烧敌舰很感兴趣。这非常类似于孩子们用放大镜烧纸。理论上，这种镜子是可以制造的，但是它需要一个可变的焦距来保持太阳光线聚焦在移动的目标上，这是普通镜子所不能做到的。(1747年，布冯声称一面复杂的镜子点燃了150英尺的木头，熔化了140英尺的铅。无论如何，阿基米德都不会费事去做一面特殊的镜子，因为那时出现了一种简单而有效的燃烧武器:石脑油与一种化学物质混合，当它与水接触时会自动燃烧，然后放入一个人们向敌舰投掷的容器中。阿基米德之死的生动描述可能相当真实，尽管人们会怀疑他说的话。公元前75年，伟大的罗马演说家西塞罗来到阿基米德的墓前，发现墓碑上刻着一个刻有球的圆柱体。牛有什么问题？它真的是阿基米德首先提出的吗？不管阿基米德是否真的出于一时的愤怒而想出了这个问题，人们都知道他确实计算过这个问题，所以它至少有2200年的历史了。问题是这样开始的:“啊！我的朋友，如果你很聪明，那就集中精力数当天的公牛数量。它们过去在西西里大平原上吃草，根据颜色分为四类:乳白色、黑色、黄色和斑点。每组中公牛的数量占大多数，它们之间的关系是:1、白公牛=黄公牛+(1/2+1/3)黑公牛2、黑公牛=黄公牛+(1/4+1/5)斑点公牛3、斑点公牛=黄公牛+(1/6+1/7)白公牛4、白公牛= (1/3+1/4)黑公牛5、黑公牛= (1/4+1/5)斑点公牛6、斑点公牛= (1/5+1/6)黄公牛7因此，这个问题涉及到数学的基本部分:用8个未知数求解7个方程(4组不同颜色的公牛和4组相应颜色的母牛)。事实证明，这些方程不难求解。事实上，他们有无数的答案，牛的最小数量是50，389，082头。这些牛可以在西西里岛6358400公顷的大平原上自由吃草。然而，阿基米德并没有就此止步。他对多头的数量提出了两个额外的限制，从而使问题变得更加困难。白公牛+黑公牛=一个平方数。9.斑点公牛+黄色公牛=一个三角形。这个问题最后说:“如果你已经计算了牛的总数，哦！朋友，你就像一个征服者，不用说，你是数字科学的专家。”由于三角数和平方数的概念，阿基米德的牛问题与华达哥拉斯的工作有关。公元前6世纪，毕达哥拉斯和他的追随者用点来形成三角形、正方形或其他几何图形来表示数字。像3、6和10这样的数字被称为三角数，因为它们可以用构成三角形的点来表示* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *西蒙从海里捞出的153号鱼也是一个三角数。出于同样的原因，像4、9和16这样的数字被称为平方数，因为它们可以用排列成正方形的点来表示:* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *不要以为古人花了很长时间去乱涂乱画来判断一个特定的数字是否可以用一个特定的几何点图案来表示，因为有一种纯数字的方法来解决这个问题。所有三角数都可以通过添加连续的整数(从1开始)来获得；例如3 = 1+2，6 = 1+2+3，10 = 1+2+3+4。所有的平方数都可以从整数的平方得到:4 = 2× 2，9 = 3× 3，16 = 4× 4。由于对带有三角形和正方形数字的公牛的限制，公牛问题变得非常困难，并且在2000年没有取得真正的进展。1880年，一位德国研究人员在枯燥的计算后发现，满足所有8个条件的最小牛头数是一个206，545位数的数字，从776开始。阿基米德可能是一个有魔力的人，但他绝不是一个现实主义者:西西里岛上永远不会有这样一群牛。正如一位一位数的理论家所说:“即使它们是最小的微生物——不，即使它们是电子，一个半径为地球到银河系距离的圆只能包含这种动物的一小部分。”但是没有人认为缺乏真实性会阻碍数学研究。20年后，1899年，伊利诺伊州希尔斯堡的一名土木工程师和他的几个朋友成立了希尔斯堡数学俱乐部，致力于寻找剩余的206，542个数字。经过四年的计算，他们最终宣布他们找到了12个最右边的数字和另外28个最左边的数字，但后来证明他们的数字都错了。六十年后，三名加拿大人第一次使用计算机发现了所有答案，但他们从未公开发表过这些答案。1981年，当它来自劳伦斯？当利弗莫尔国家实验室的克莱1号超级计算机的47页硬拷贝被印在有趣的数学杂志上时，所有206，545位数字最终被公布于世。那时，克莱1号是世界上最快的计算机。克莱的超级计算机很贵——最新型号价值2000万美元，实验室和公司不会购买它来解决古代数论问题。购买它是为了制备新药、勘探石油、破译苏联密码、在好莱坞电影中创造出色的特效以及模拟太空武器。然而，人们经常让超级计算机解决数论史上棘手的计算问题，以证明它们是否正常工作。计算这些问题的好处是，它们的答案——即使以前不知道——可以很容易地被检验:它们可以简化为方程。阿基米德的牛问题在劳伦斯？当利弗莫尔实验室检查粘土1时，问题解决了。这台巨型计算机仅在10分钟内就找到了206，545位数字的答案，并对问题的计算进行了两次测试。让我们以阿基米德处理过的一个问题来结束这一节，我们也许能够解决这个问题。莎伦给了金匠一定数量的黄金(重量为W)来制作王冠。当赫伦收到王冠时，他问阿基米德，它是否包含所有的黄金，或者金匠是否偷了一些，用更便宜的金属代替。公元前1世纪著名的罗马建筑师维特鲁威写道:“阿基米德反复思考这个问题。有一天，他碰巧来到浴室，在那里他注意到当他坐在浴缸里时，溢出浴缸的水量等于他浸入浴缸的身体排出的水量。这向他提出了解决问题的办法，所以他从浴缸里跳出来，光着身子跑回家，大喊他找到了他要找的东西。因为当他跑的时候，他大声地用希腊语反复喊着，我找到了！我找到了！”他发现了什么？阿基米德意识到，由于金是密度最高的金属，重量为W的纯金皇冠的体积将小于掺杂相同重量的金皇冠的体积。他把一个容器装满水，放入一个重量为20公斤的黄金.然后他收集溢出的水，水的体积等于金子的体积。接下来，他把另一个容器装满水，然后在监督下把皇冠放入水中。果然，它排出的水量相对较大，证明了卑鄙的金匠偷走了西伦国王的黄金。

（二）事件的概率

1．能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率（参看例73、例74）。

在某种意义上，所谓简单随机事件，就是指古典概型。首先，我们要了解一个古典概率模型，我们可以列表，画图，把所有的结果都列出来，这是一个计算的过程，方法。虽然计算方法很重要，但是了解古典概率这种等和的模式是非常必要的。第二，教师应该通过实验来让孩子认识到，通过大量地重复实验，可以用频率来估计概率。也是要来首先应该是不确定和随机的，其次才是定性，大量重复实验体现频率问题，即频率稳定性。所以你不能指望向全班咱们扔硬币扔一百次就出现50次正面，有的老师就不知道怎么处理的，处理的次数一次，孩子就不对，就不应该，实际上第一位是随机的，这东西太正常了，其次呢，这是怎么样，大量重复实验体现频率问题，频率稳定性，比如说掷出现正负二分之一，掷一个色子出现六分之一，这个二分之一，还是两次，出现一次，六分之一，也不是六次出现一次，他是大量地实验，所以我想我们老师在这些把握上，可能还不够，否则给孩子带来些误导。

学习目标：

1.掌握有理数大小的比较法则.

2.能利用数轴及绝对值的知识，比较两个有理数的大小.

重难点：

重点：掌握有理数大小的比较法则.

难点：比较有理数的大小

学法指导：

交流讨论，归纳类比

教学过程：

预习课本：

第12到第13页有理数大小比较

下面是我国5座城市某天的最低温度：

武汉-5℃，北京-10℃，上海0℃，哈尔滨-20℃广州10℃

(1)将这5座城市这一天的最低气温按照由低到高的顺序排列出来.

(2)这5座城市这一天的最低气温在温度计上对应的位置有什么规律?

(3)将这5座城市这一天的最低气温在数轴上表示出来，这些数的大小与它们在数轴上所表示的点的位置有什么关系?

归纳在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数.

正数0，0负数，正数负数.

(4)比较下列两座城市之间最低气温的高低(填“高于”或“低于”)

北京__________武汉;北京__________哈尔滨.

(5)求出下列各数的绝对值：-5-10-20，并比较它们绝对值的大小.

(6)由上你发现了什么?

思考：结合绝对值，两个负数之间如何比较大小?

归纳两个负数，绝对值大的反而.

因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。

因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④

因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)

公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。

提取公因式步骤：

①确定公因式。②确定商式③公因式与商式写成积的形式。

分解因式注意；

①不准丢字母

②不准丢常数项注意查项数

③双重括号化成单括号

④结果按数单字母单项式多项式顺序排列

⑤相同因式写成幂的形式

⑥首项负号放括号外

⑦括号内同类项合并。

“这该死的马瘟”猪八戒一路骂着。不久，他来到一个农舍，看见一个农妇正在赶鸭子进笼子。他急忙上前问候她:“恩人，我从东方来到智慧山获取智慧。我想你家会有一些素食。”农夫的妻子:“最初，我是来获取智慧的。如果你能回答我的问题，我会邀请你到我家。如果你不能回答，请去其他当地餐馆。”农夫的妻子瞥了一眼她面前的鸭子，说道:“太阳下山了，夕阳是红色的。我会把鸭子赶回笼子。一半在外面吵闹，一半在笼子里。剩下的15个人围着我，请数一数总数。”八戒想了很久，但想不出有多少只鸭子。他只能继续开车。当他看到一座大寺庙时，他想，“嗯，和尚不会让和尚难堪的。”当我到达寺庙时，我遇见了主人并介绍了我自己。主人叫了一个小和尚把猪带到五景堂(食堂)。当我到达五景堂时，小和尚没有给猪任何素食，而是指着舞台上的碗说:“在我们寺庙里，每三个和尚给一碗饭，四个和尚给一碗汤。有70个碗。我们寺庙里有多少和尚？当答案出现时，我会给你一顿素食。如果你不能回答，请回来。”八戒知道他不能回答，只好空手回去。

唐僧见八戒回来，问道:“八戒，你做的素饭在那里？”八戒沮丧地说了没有食物的原因。唐僧:“你平时不听别人的话。你看到有一堵墙。事实上，这两个问题并不难。它们是分数。第一个问题是，你认为:外面一半的噪音表明鸭子在外面，笼子里一半的鸭子表明鸭子在笼子里，所以只要用15 u 1-(1-)就可以找到总共60只鸭子。第二个问题是三个和尚给一碗米饭，这意味着每个和尚得到一碗，四个和尚给一碗汤，这意味着每个和尚得到另一碗。加起来，每个和尚实际上可以得到一个(+)然后用70(+)得到总共120个和尚。”八戒听后，连连点头，“师傅聪明，走吧！我们现在将回答他们的问题。我已经饿了很长时间了。”

“这该死的马瘟”猪八戒一路骂着。不久，他来到一个农舍，看见一个农妇正在赶鸭子进笼子。他急忙上前问候她:“恩人，我从东方来到智慧山获取智慧。我想你家会有一些素食。”农夫的妻子:“最初，我是来获取智慧的。如果你能回答我的问题，我会邀请你到我家。如果你不能回答，请去其他当地餐馆。”农夫的妻子瞥了一眼她面前的鸭子，说道:“太阳下山了，夕阳是红色的。我会把鸭子赶回笼子。一半在外面吵闹，一半在笼子里。剩下的15个人围着我，请数一数总数。”八戒想了很久，但想不出有多少只鸭子。他只能继续开车。当他看到一座大寺庙时，他想，“嗯，和尚不会让和尚难堪的。”当我到达寺庙时，我遇见了主人并介绍了我自己。主人叫了一个小和尚把猪带到五景堂(食堂)。当我到达五景堂时，小和尚没有给猪任何素食，而是指着舞台上的碗说:“在我们寺庙里，每三个和尚给一碗饭，四个和尚给一碗汤。有70个碗。我们寺庙里有多少和尚？当答案出现时，我会给你一顿素食。如果你不能回答，请回来。”八戒知道他不能回答，只好空手回去。

唐僧见八戒回来，问道:“八戒，你做的素饭在那里？”八戒沮丧地说了没有食物的原因。唐僧:“你平时不听别人的话。你看到有一堵墙。事实上，这两个问题并不难。它们是分数。第一个问题是，你认为:外面一半的噪音表明鸭子在外面，笼子里一半的鸭子表明鸭子在笼子里，所以只要用15 u 1-(1-)就可以找到总共60只鸭子。第二个问题是三个和尚给一碗米饭，这意味着每个和尚得到一碗，四个和尚给一碗汤，这意味着每个和尚得到另一碗。加起来，每个和尚实际上可以得到一个(+)然后用70(+)得到总共120个和尚。”八戒听后，连连点头，“师傅聪明，走吧！我们现在将回答他们的问题。我已经饿了很长时间了。”

小学数学日记的父子为智慧而战

今天，爸爸得意洋洋地说:“小杰，我们来玩纸牌游戏吧！”“没问题，我还是怕你！”我自信地说。

比赛规则是:两个人轮流抓59张扑克牌，每个人一次可以抓1-4张，但不能不抓。规定谁抓到最后一个谁就输，我先抓到它。

我知道我父亲已经明白了这个秘密。要打败他，必须了解其中的奥秘。

“如果我赢了，我在最后一局应该只剩下一张牌了。在这之前的一轮中，我应该留下6张牌。不管我父亲如何抓住他们，我都能抓住最后一张牌。如果我父亲钓到四条，我会钓到一条。爸爸抓了3张牌，我抓2张...简而言之，我应该和爸爸加5张卡。只要按照这个规则，不管我父亲抓到多少块，我都会牢牢地咬他，和他拼上五块。按照这个推进，我剩下的牌数应该是:1 → 6 → 11 → 16 → 51 → 56，这说明我应该第一次抓到3张牌，然后按照我刚刚发现的规则打败我的父亲！”

最后，我真的赢了！似乎如果你遇到问题，仔细思考并找出规则，你就能很容易地处理它们。

应用题解题步骤

度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：

第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义．

第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）．

第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错．

第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位．

学习目标

1．掌握有理数的减法法则．

2．熟练地进行有理数的减法运算．

3．了解加与减两种运算的对立统一关系，掌握数学学习中转化的思想.

知识重点

有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的________，即a－b＝a＋(－b)．

精典范例

知识点一 有理数减法法则

例1 下列运算正确的是( )

A．(－3)－(＋5)＝(＋5)－(－3)＝＋2

B．(＋3)－(－5)＝(＋3)＋(＋5)＝＋8

C．(－3)－(－5)＝(－3)＋(＋5)＝－2

D．(－3)－(＋5)＝(－3)＋(－5)＝－2

例2 (1)(教材P23练习第1题节选)计算：

①(＋4)－(－7)；②(－5)－(－8)；③0－(－5).

(2)(教材P25习题1.3第4题节选)计算：

①2(1)－3(1)；②(－2)－3(2)；

③4(3)－4(1)－2(1).

知识点二 有理数减法法则的实际应用

例3 某矿井下A，B，C三处的海拔分别为－32.5米，－120.7米，－63.8米.

(1)B处比C处高多少米？

(2)A处比C处高多少米？

变式练习

变式1 计算：

(1)0－2＝0＋________＝________；

(2)7－9＝7＋________＝________；

(3)3－(－3)＝3＋________＝________；

(4)－7－9＝－7＋________＝________．

变式2 (1)(2019·台湾)算式－3(5)－(－6(1))之值为何？( )

A．－2(3)B．－3(4)

C．－6(11)D．－9(4)

(2)(2018·山东淄博)计算2(1)－2(1)的结果是( )

A．0B．1

C．－1D．4(1)

(3)计算：－5－(－3)－(－4)－[－(－2)]．

变式3 某同学在计算时－38(7)－N，误将－N看成了＋N，从而算得结果是54(3)，请你帮助算出正确结果.

巩固练习

1．(2019·河池)计算3－4，结果是( )

A．－1B．－7

C．1D．7

2．(2019·遵义)遵义市2019年6月1日的最高气温是25℃，最低气温是15℃，遵义市这一天的最高气温比最低气温高( )

A．25℃B．15℃

C．10℃D．－10℃

3．下列说法正确的是( )

A．0减去一个数，仍得这个数

B．负数减去负数，结果是负数

C．正数减去负数，结果是正数

D．被减数一定大于差

4．有下列计算：①(－4)－|－4|＝0；②4(1)－2(1)＝－2(1)；③0－(＋5)＝－5；④(－5)－(－4)＝－1.其中正确的有( )

A．1个B．2个

C．3个D．4个

5．(2019·玉林)计算：(－6)－(＋4)＝________．

6．(2018·四川南充)某地某天的最高气温是6℃，最低气温是－4℃，则该地当天的温差为________℃.

7．计算：

(1)(－61)－(－71)－|－8|－(－2)；

(2)(－20)－(＋3)－(－5)－(＋7)；

(3)0－(＋3)－(－5)－(－7)－(－3)；

(4)(＋20)－(－10)－(－12)－(＋5)－(＋26)．

8．下列结论错误的是( )

A．若a＞0，b＜0，则a－b＞0

B．a＜b，b＞0，则a－b＜0

C．若a＜0，b＜0，则a－(－b)＜0

D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a－b＞0

9．有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图，则计算|a－b|的结果为( )

A．a＋bB．a－b

C．b－aD．－a－b

10．若数轴上A，B两点表示的有理数分别是－62(1)和74(3)，则A，B两点之间的距离为________．

11．已知a，b互为相反数，且|a－b|＝6，求b－1的值．

12．已知|m|＝37，|n|＝31，且|m＋n|＝－(m＋n)，求m－n的值．