数学概率笔记(汇编20篇)

1989年，美国国家研究委员会发布了关于美国数学教育的最后一份报告，“每个人都关心数学教育的未来”。全国数学教师委员会发布了《学校数学课程与评价标准》等新文件，阐明了美国数学教育改革的必要性，提出了数学教育改革的目标，并逐步建立了全国数学教育改革的共识。一些美国人认为，为所有学生提供高质量的数学教育是繁荣经济的必要条件。为了使美国在未来世界保持其强国的地位，美国应该在本世纪末拥有世界上最好的数学教育。”。

经过20年的探索和改革，中小学数学教材发生了巨大的变化。最重要的是提高思想认识。与多年前相比，小学和学前低年级数学阅读材料中渗透数学思想和方法的内容增加了很多。一些父母认为他们的孩子可以加减两位数。他们还需要播放这些类似游戏的内容吗？事实反映出我们不了解现代数学的思想、方法和结构。

我们知道，在19世纪末，康托创立了集合论(当然，还有以前的非欧洲几何和伽罗瓦发现的那一组)，它发展了现代数学的理论和方法，并使它像今天一样繁荣。集合论和群论这些新思想的诞生不仅改写了整个古典数学理论，而且是现代数学理论和方法的基石。

集合是一个原始的概念，它主要来自感性认识，加上一些简单的性质和数学思想，可以从生活实践中感知。儿童玩具、用品、食物等都可以成为道具。当然，不要使用术语集，因为孩子们需要学习其他量词。例如，这是一堆玩具，那是一篮子水果。然而，有必要认识到在这个整体中有不同的个体，个体形成一个整体。

其次，它是张教授在分类游戏中强调的重要规则。我进一步阐述了其中包含的重要的现代数学思想。在一些儿童数学书籍中，我看到了许多张教授提到的不同层次和维度的不同分类的例子。

对孩子们来说，最好玩真正的道具:“宝贝，让我们玩玩具，好吗？”"这是一堆玩具，有几个？""顺便问一下，有多少辆车？""顺便问一下，有多少个积木？""顺便问一下，有多少小动物？""顺便问一下，婴儿能把它们分成小堆吗？"“放一堆小汽车……”

总之，我们可以不时地设计不同的方法。首先要注意那些分类较低的，这有助于有理数的分解和加减。逐一相加有助于解决数字的顺序关系。

最后，让我们谈谈数学归纳法。多米诺骨牌游戏也能理解这种极其重要的数学方法的原理。结合军事象棋，它们被一个接一个地放置在一排远处，这样当第一个被按下时，连锁反应就会发生，一个接一个地倒下。只有两个条件，1)第一个倒下(当然是向象棋的方向移动)；2)当前面的一个落下时，后面的一个必须落下。那么当第一个被推下时，所有的东西肯定都会掉下来。你看，一个简单有趣的游戏实现了数学中的一个伟大真理。

现代世界三大最难的数学问题之一。四色猜想来自英国。1852年，当伦敦大学毕业生弗朗西斯·格思里来到一个科学研究所做地图着色工作时，他发现了一个有趣的现象:“似乎每张地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家有不同的颜色。”这个结论能从数学上得到严格证明吗？他和他正在大学学习的哥哥格里斯决定试一试。为了证明这个问题，兄弟俩已经堆积了很多手稿，但是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟向他的老师，著名的数学家德·摩根寻求这个问题的证明。摩根找不到解决这个问题的方法，所以他写信给他的好朋友、著名数学家汉密尔顿爵士征求意见。汉密尔顿收到摩根的信后，演示了四色问题。但是直到1865年汉密尔顿去世，这个问题才得以解决。

1872年，当时最著名的英国数学家凯利向伦敦数学学会正式提出了这个问题，因此四色猜想成为了世界数学界关注的问题。许多世界级的数学家参加了四色猜想会议。从1878年到1880年，两位著名的律师和数学家坎普和泰勒提交了证明四色猜想的论文，并宣布他们已经证明了四色定理。每个人都认为四色猜想从此已经解决了。

11年后，1890年，数学家海伍德通过自己的精确计算指出，坎普的证明是错误的。很快泰勒的证据也被否定了。后来，尽管越来越多的数学家绞尽脑汁，他们还是一无所获。结果，人们开始意识到这个看似简单的话题实际上是一个相当于费马猜想的难题:前人数学家的努力为后来的数学家揭示四色猜想的奥秘铺平了道路。

自20世纪初以来，科学家对四色猜想的证明基本上是基于坎普的想法。1913年，boekhoff引入了一些基于Kemp的新技术。1939年，美国数学家富兰克林证明了22个国家以下的地图可以用四种颜色着色。1950年，一些人从22个国家搬到了35个国家。1960年，证明了39个国家以下的地图只能用四种颜色着色。然后它被推广到50个国家。这一进展似乎仍然非常缓慢。电子计算机出现后，由于计算速度的迅速提高和人机对话的出现，证明四色猜想的过程大大加快了。1976年，美国数学家阿佩尔和哈肯花了1200个小时，在美国伊利诺伊大学的两台不同的计算机上做了100亿次判断，最终完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明在世界上引起了轰动。它不仅解决了一个持续了100多年的难题，而且可能成为数学史上一系列新思维的起点。然而，许多数学家对计算机取得的成就并不满意。他们仍在寻找一种简单明了的书面证明方法。

平行四边形

1、平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积

比特币是一种加密数字货币，这种货币没有实体的存在形式。比特币的及其数学原理很多人都很关注，那比特币的及其数学原理是什么呢？今天就来了解一下有关这个的信息，让你知道更多有关比特币的内容。比特币现在真的很多人都在投资，当然，很多人都不是很清楚，现在投资比特币是否还值得，毕竟比特币的价值已经很大了，升值空间还有多大是不确定的。那么比特币现在值得投资吗？

一、比特币数学原理哪里了解？

比特币这种加密数字货币的产生是有原理的，要了解比特币，一定要先搞清楚比特币的及其数学原理。要了解这个原理，直接在网上搜索一下就可以知道。比特币的及其数学原理并不是很复杂，稍微看一下就能够搞懂。比特币的原理虽然不难，但是这种数字货币是非常难破解的。很多人担心随着时间的发展，比特币这种加密货币会被破解，到时候比特币就会不断的被复制。其实，比特币是非常安全的，即便是未来科技发达，要破解比特币密码还是很难的，所以不用过度担心。

二、比特币值得投资吗？

过去十年投资比特币的人都赚到钱了，这是因为过去比特币的价值完成了千万倍的增长。那么现在投资比特币还能够赚到钱吗？答案是肯定的。尽管现在比特币的价值增长速度已经没有之前那么快了，但是比特币的价值还在增长，只要价值有增长，投资就可以赚到钱。比特币的及其数学原理我们一定要搞清楚。比特币真的非常的值钱，投资这种货币是需要支付巨大的成本的，所以投资风险也是相对比较高的。如果你不想投资的时候面临巨大的风险，你一定要多看有关比特币的信息，掌握的信息多了，投资赚到钱也就相对简单得多了。

三、比特币应该如何投资？

现在进行比特币投资的人是很多的，进行比特币投资不能盲目，一定要慎重一点。多了解有关比特币的信息，然后再去投资，这样投资赚到钱才不难。比特币投资首先需要的就是多去OKLink掌握有关比特币的相关信息，掌握的信息多了，投资赚到钱才不难。另外，投资比特币的时候要搞清楚比特币的及其数学原理，这样你能更懂比特币。比特币投资还需要去正规大型的平台上面进行，只有在正规大型的平台上面投资，才是稳妥的。

实数

有理数和无理数统称实数

1、有理数：任何有限小数或无限循环小数都是有理数。

2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

实数的有关概念

一、科学记数法

1、定义：将一个数字表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|

2、快速科学记数的方法

（1）大于10的数的表示方法

对于10的指数大于0的情形，数出“除了第一位以外的数位”的个数，即代表0的个数。

如1800000000000，除最高位1外尚有12位，故科学记数法写作1.8×1012

（2）小于0的数的表示方法

10的指数小于0的情形，数出“非有效零的总数（第一个非零数字前的所有零的总数）”

如0.00934593，第一位非零数字（有效数字）9前面有3个零，科学记数法写作9.34593*10-3。即第一位非零数字前的0的个数为n，就为10-n

二、数轴

1、定义

在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求:(1)在直线上任取一个点表示0这个点叫做原点(origin);(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向;(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1(向右1个单位长度)，2(向右2个单位长度)，3(向右3个单位长度)，…;从原点向左，用类似方法依次表示-1(向左1个单位长度)，-2(向左2个单位长度)，-3(向左3个单位长度)…

在数轴上，除了数0要用原点表示外，要表示任何一个不为0的有理数，根据这个数的正负号确定它所在数轴的哪一边(通常正数在原点的右边，负数在原点的左边)，再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度，然后画上相应的点。

2、几何意义

数轴是一种特定几何图形;原点、正方向、单位长度称数轴的三要素，这三者缺一不可。

1)从原点出发，朝正方向的射线(正半轴)上的点对应正数，相反方向的射线(负半轴)上的点对应负数，原点对应零。

2)在数轴上表示的两个数，正方向的数总比另一边的数大。

3)正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

注:单位长度则是指取适当的长度作为单位长度，比如可以取2m作为单位长度"1"，那么4m就表示2个单位长度。长度单位则是指米，厘米，毫米等表示长度的单位。

二者不容混淆。

数轴上的点和数是一一对应的。(任何一个数，包括虚数，都可以用数轴上的一个点来表示。)

数轴的正方向一般向右，但也不排除向左的可能，而且越靠近正方向的数越大，相反离正方向越远的数越小。

画数轴时一般要先画横线和正方向，其次画零，再根据题意画单位长度。

相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中的一个数叫做另一个数的相反数。

(a≠0)a的相反数是-a，0的相反数是0。

绝对值

在数轴上表示一个数的点离原点的距离就叫做这个数的绝对值

一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。

公式|a|=?

若a大于0，则a的绝对值还等于a;

若a等于0，则a的绝对值等于0;

若a小于0，则a的绝对值等于-a。

性质:绝对值有非负性

倒数

1、倒数是指乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数。

2、倒数的特点:一个正实数(1除外)加上它的倒数一定大于2.一个负实数(-1除外)加上它的倒数一定小于-2.

实数的大小的比较

1、一切正数大于0，0大于一切负数，正数大于一切负数。

说明:数轴上右边的数总比左边的数大，两个负数相比较，绝对值大的反而小。

2、关于二次根式的大小的比较

如a√b与c√d的比较，先将其转化为√a2b与√c2d的形式，再比较a2b与c2d的大小，谁大谁的被开方数也就大

实数的运算

一、乘方

求n个相同因数的积的运算，叫乘方

如an=a×a×a×......×a（n个a相乘）

二、开方

1、平方根与算术平方根

1.平方根

一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。比如9的平方根是3和-3。

零的平方根是0。负数没有实数平方根。

2.算术平方根是指一个正数的正的平方根。比如9的算术平方根是3。规定,零的算术平方根是0。

算术平方根是定义在平方根基础上，因此负数没有算术平方根。

2、立方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根，也就是说，如果x3=a,那么x叫做a的立方根

其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。(a等于所有数，包括0)

中考必考题型

题型一正负数的意义

1、陆地上最高处是珠穆朗玛峰顶，高出海平面8844m，记作+8844m；陆地上最低处是地处亚洲西部的死海，低于海平面415m，记作（）

A+415mB-415mC415mD-8844m

分析：根据用正负数表示两种具有相反意义的量的方法，高出海平面为正时，低于海平面记为负

答案：B

题型二倒数、相反数、绝对值

2、负实数a的倒数是（）

A-aB1/aC-1/aDa

分析：互为倒数的两个数的乘积等于1

答案：B

3、|-3|的相反数是（）

A3B-3C1/3D-1/3

答案B

题型三实数的大小比较

4、下列各数中，最小的实数是（）

A-√3B-1/2C-2D1/3

答案：C

题型四科学记数法

5、据不完全统计，全国每年浪费的食物若折合成粮食可养活约350000000人，将350000000用科学记数法可表示为（）

A3.5×1010B3.5×109

C3.5×108D3.5×107

题型五数轴

6、如图所示，数轴上的A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，根据图中各点位置，下列各式正确的是（）

A（a-1）（b-1）＞0B（b-1）（c-1）＞0

C（a+1）（b+1）＜0D（b+1）（c+1）＜0

分析：根据题意得C＜-1＜0＜a＜1＜b，所以（a-1）（b-1）＜0，（b-1）（c-1）＜0，（a+1）（b+1）＞0，（b+1）（c+1）＜0

答案：D

题型六实数的运算

7、计算（√2016+1）0+（-1/3）-1-|√2-2|-2sin45°

解（√2016+1）0+（-1/3）-1-|√2-2|-2sin45°

=1+（-3）+√2-2-√2=-4

《高等数学》是大学中最为基础的一门课程。那么你对高等数学了解多少呢?以下是由小编整理关于高等数学基础知识的内容，希望大家喜欢!

高等数学考研知识

一、高等数学考试内容包括：函数、极限、连续

考试要求

1、理解函数的概念

2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法、

8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。

二、一元函数微分学

考试要求

1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式、了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

4、会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

5、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理。

6、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

7、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。

8、会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间 内，设函数 具有二阶导数。当 时， 的图形是凹的;当 时， 的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

9、了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

三、一元函数积分学

考试要求

1、理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。

3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4、理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。

5、了解反常积分的概念，会计算反常积分。

6、掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值。

四、向量代数和空间解析几何

考试要求

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。

6、会求点到直线以及点到平面的距离。

7、了解曲面方程和空间曲线方程的概念。

8、了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。

9、了解空间曲线的参数方程和一般方程、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。

五、多元函数微分学

考试要求

1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2、了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。

3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4、理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。

5、掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

6、了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

7、了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8、了解二元函数的二阶泰勒公式。

9、理解多元函数极值和条件极值的概念，并会解决一些简单的应用问题。

六、多元函数积分学

考试要求

1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

2、掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

4、掌握计算两类曲线积分的方法。

5、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。

6、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。

7、了解散度与旋度的概念，并会计算。

8、会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等)。

七、无穷级数

考试要求

1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件。

3、掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4、掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5、 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念。

6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7、理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8、会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10、掌握麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11、了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。

八、常微分方程

考试要求

1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

2、掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3、会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程、

4、会用降阶法解下列形式的微分方程。

5、理解线性微分方程解的性质及解的结构。

6、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7、会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

8、会解欧拉方程。

9、会用微分方程解决一些简单的应用问题。

看过“高等数学基础知识”

高等数学基础知识

1、函数、极限与连续

重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。

2、一元函数积分学

重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。

3、一元函数微分学

重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算(包括隐函数求导)、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。

4、向量代数与空间解析几何(数一)

主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。

5、多元函数微分学

重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

6、多元函数积分学

重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。

7、无穷级数(数一、数三)

重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。

8、常微分方程及差分方程

重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。数一还要求会伯努利方程、欧拉公式等。

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数学故事——破译密码

在追捕嫌疑犯的过程中，黑猫警长发现了一张写有电话号码的纸，被嫌疑犯丢弃了。上面写着“电话号码:38796”和以下公式:

3×3=38×7=87×7×7=6(8+7+3)×9=39

在侦察过程中，黑猫警长进一步了解到公式中使用的符号“+、-、×、()、=”与通常意义相同，进位为十进制。虽然每个数字都是用和我们一样的方式书写的，但是它所代表的数字是不同的。结果，黑猫警长很快破译了电话号码。小朋友，你能破译这个密码吗？

思考与解决方法:根据黑猫警长对“+、-、×、、()、=”和数字的侦察知识，推导并分析了几个公式:⑴3×3=3，如果被乘数和乘积是同一个值，只有1×1=1，也就是说，“3”表示1；⑵8×7=8。有两种可能使被乘数和乘积等于相同的数值:8×1=8或0×7=0。然而，“8”只能代表0，因为“所代表的数字是不同的”，也就是说，“8”不能代表8；(3) 7× 7× 7 = 6，三个相同的单个数字的乘积仍然是一个单个数字，有两种可能:1×1×1=1或2×2×2=8，但“7”和“6”代表不同的数字，所以“7”只能代表2，“6”只能代表8；(4) (8+7+3) × 9 = 39。从前面的推导可知，“8”代表0，“7”代表2，“3”代表1，然后有(0+2+1)ד9”= 1“9”，3ד9”= 1“9”，数字乘以3等于这个数。显然，“9”意味着5。因此，电话代码38796被解码为10258。

在日常的生活中，大家难免有需要贷款的时候，因为现在有了网络贷款平台，所以很多人会选择比较容易申请的网贷平台，来解决小额贷款需求。不过，有人在从信用飞借钱的时候，发现信用飞今日额度已抢光。出现这样的情况，是怎么回事呢？大家应该怎么应对？今天，就为大家说一说这个问题。【】

从目前网友反映的情况来看，信用飞采用了抢额度的方式来控制了放款金额。如果大家申请的时间较晚，那么就会抢不到额度。据了解，每天10点钟是从信用飞获得贷款额度的好时机。因此，一旦大家收到了“信用飞今日额度已抢光”的提示，就只能等到第二天去尝试了。

为了大家能够更加顺利的获得贷款，建议大家这样去做：

2、在申请信用飞贷款之前，将信用飞手机APP升级到最新版本，并将自己的个人账户补充完整，且保证所有信息真实完整。

3、尽量选择在每天的10点钟去抢额度，且在抢额度之前要检查自己的网络稳定性和手机性能。

4、在看到“信用飞今日额度已抢光”的提示以后，先不要放弃，可以再刷新屏幕尝试几次。

以上，就是信用飞今日额度已抢光的原因和应对方式，希望能对大家有所帮助。

初二数学知识点：分式的通分

①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；

Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

有趣的数字

宋代大诗人苏东坡年轻时和几个同学考上了北京。当他们到达考场时，已经太晚了。考官说:“如果你是对的，我会让你进入考场。”主考人的第一副对联是:一艘单叶船，两三个学生，四只桨和五张帆，六个海滩和七个海湾。经历了各种起起落落后，已经很晚了。

苏东坡的第二幅对联是:十年寒气之后，入了98所书院，弃世俗之欲，苦读五经四书，考了三两次，今天一定要成功。

主考官和苏东坡在对联中嵌入了10个1到10的数字，最大限度地描述了读者的艰辛和勤奋。

错误的小数点

学习数学不仅需要在解决问题时有正确的思维，而且在解决问题的具体过程中不能有错误。差别通常只有一英里那么小。

美国芝加哥一位靠养老金生活的老太太在医院做了一次小手术后回到了家。两周后，她收到医院的账单，金额为63，440美元。看到这个巨大的数字，她震惊了。她心脏病发作，摔死了。后来，有人去医院检查了一下。原来，计算机放错了小数点，实际上只需支付63.44美元。

一个错误的小数点夺去了一个人的生命。正如牛顿所说:“在数学中，最小的误差是不可忽视的。

21世纪从哪一年开始？

世纪是计算年龄的单位，100年是一个世纪。

第一世纪的开始年份和结束年份分别是公元1世纪和公元100年。常见的错误是，有些人把年初视为公元0年，这显然不符合逻辑和我们的习惯，因为一般来说，序数计算从“1”开始，而不是“0”。正是这种误解导致人们错误地认识到本世纪末是公元99年。这也是为什么人们错误地认为1999年是二十世纪的末，2000年是二十一世纪的初。由于公元计数是有序的，它应该从“1”开始，二十一世纪的第一年是2001年。

布冯试验

一天，法国数学家蒲风邀请许多朋友到他家做实验。布冯在桌子上摊开了一大张白纸。白皮书覆盖着等距的平行线。他取出许多等长的小针。小针的长度是平行线的一半。布冯说:“请随意把这些小针留在这张白纸上！”客人们照他说的做了。

布冯的统计结果是:每个人投了2212次，其中小针与纸上的平行线相交704次，2210÷704≈3.142。布冯说:“这个数字是π的近似值。每次我们得到圆周率的近似值，我们抛出它的次数越多，近似值就越精确。”这就是著名的“布冯测试”。

数学魔术师

1981年的一个夏天，印度举行了一场心算比赛。表演者是一位来自印度的37岁妇女，她的名字叫沙昆塔纳。那一天，她将与一台拥有惊人心算的先进电子计算机竞争。

工作人员写了一个201位的大数，并要求他们23次找到该数的根。作为计算的结果，萨金塔纳在50秒内给了观众正确的答案。为了得到相同的答案，计算机必须输入20，000条指令，然后进行计算，这比萨金塔纳要花更多的时间。

这个奇怪的消息在世界上引起了轰动，沙科塔娜被称为“数学魔术师”

华，工作到最后一天

华出生于江苏省。他喜欢数学，并且非常聪明。1930年，19岁的华去清华大学学习。华在清华的四年里，在熊庆来教授的指导下，刻苦学习。他连续发表了十多篇论文，后来被派往英国留学并获得博士学位。他深入研究数论，获得了著名的华氏定理。他特别注重理论联系实际，走访了20多个省、市、自治区，动员群众将优化方法应用于农业生产。

记者在采访中问他:“你最大的愿望是什么？”

他不假思索地回答:“工作到最后一天。”在为科学努力工作的最后一天，他实现了自己的诺言。

数学故事——古希腊数学文化

人们认为“黄金比例”是美的代码。无理数的发现引发了第一次数学危机。在一艘小船上，毕的弟子们愤怒地将希帕索斯抛入水中。芝诺说:上帝的赛跑者永远赶不上乌龟。

据说古希腊位于爱琴海周围，不仅包括希腊半岛，还包括爱琴海中的岛屿、克里特岛和小亚细亚半岛西海岸，与希腊半岛隔海相望。荷马史诗中提到的特洛伊位于小亚细亚半岛的西海岸。

这部史诗的作者是一个盲人荷马，他将希腊文明的出现推至公元前2800年。

希腊人创造的辉煌文明是现代西方文化的源泉，为现代文明奠定了基础。杰出的古希腊学者在建筑、雕塑、天文学和数学方面做了大量开创性的工作，对世界上许多国家的文化产生了深远的影响。甚至现代奥运会也可以追溯到古希腊。

爱琴海与大河流域的文明摇篮大不相同。这个地方不大，但是陆地和海洋交错，山脉重叠，所以这个地方被城邦所统治。再说，这个地方到处都离海很近，几乎没有一个地方离海岸超过50公里。爱琴海的岛屿散布在世界各地，有480多个，就像在海面上聚集的跳石。如果船不是很好，水手们不会太担心。他们可以看到这个岛，到处都是陆地。此外，像雅典这样的大城市人口众多，所以食物供应必须在外面购买。尼罗河与埃及隔海相望，所以这项外贸业务是在埃及完成的。

古希腊和巴比伦的河流流域也不远，可以通过陆地或海洋旅行。所以这个古希腊“对外开放”做得很好。那时，不仅许多人去尼罗河和巴比伦做生意，而且许多著名的学者也参观和旅行。他们似乎是世界上最早的“访问学者”。

因此，虽然古希腊不能说是大自然的瑰宝，但它也是一个杰出的人。吸收位于爱琴海边缘的两大文明，却没有创造出优秀的文化，这对世界人民来说有点遗憾。

那么为什么古希腊数学经常被认为是现代数学的基石呢？

关键在于“为什么”这个词。

原来，这位古希腊仁者和智者不仅经常问“如何”，而且还经常问“为什么”，也就是说，不仅要知道它是什么，而且要知道它是为什么。

例如，对于等腰三角形，许多古人知道两个底角是相等的。对于圆，也知道它们被直径一分为二，这就是所谓的“如何”。那么，为什么两个底角相等？为什么一个圆被它的直径一分为二？“为什么”的问题不是每个人都想做和愿意做的。在当时的古希腊，有这样一种氛围，一切都是关于理性和证据。也许，现代意义上的数学就是在这样的氛围中诞生的。

例如，古希腊第一所数学学校的创始人泰勒斯就有证明一切的癖好。

泰纳是小亚细亚西海岸富裕城市米利都的成员。他是古希腊七贤之一，生活在公元前6世纪。这位泰国圣人多才多艺，并获得了各种专业头衔，如哲学家、律师、工程师、天文学家和数学家。不仅如此，他还经历了商业和“渡海”。

换句话说，泰勒斯预见到有一年橄榄油会大丰收，购买了附近地区所有的采油设备，并在每个人都需要的时候把它们租出去。当然，他赚了很多钱。

当所有人都向他祝贺时，泰勒斯笑了:“我只想证明赚钱很容易。”

泰勒斯先生过着自然的生活，是个独身主义者。另一个七贤，梭伦，一个著名的古希腊改革家，问他为什么没有结婚。第二天，他向梭伦撒了一个谎，说梭伦心爱的儿子突然被杀了。然后他走向极度悲伤的父亲，拍拍他的肩膀说:“我只想告诉你为什么我一辈子都没有结婚。”有一次，他在夜间观察天空时滑倒在沟里。一位陷入困境的老妇人嘲笑他:“你甚至看不到脚下的东西。你仍然可以看到天空中的东西。”我不知道泰勒斯是否说过“燕子知道天鹅的野心”，但我相信泰伊斯先生一定笑得很灿烂。

当然，我们不能认为泰勒斯是一个只会偷工减料的东方朔。他是一位非常博学的大师。赚了很多钱后，泰勒斯集中精力到处学习和旅行。

他曾住在埃及，从事学术交流。埃及法老想知道他死后睡的“大房子”有多高。经过长时间的搜寻，没有人敢测量这个非常高的金字塔。后来法老请外国专家泰勒斯来解决这个问题，他愉快地接受了邀请。

虽然泰勒斯根本不可能访问中国，但大地测量方法也使用了太阳的阴影，这与上一本书中所说的完全一样。看来我们又要说一句老话了:英雄所见略同。然而，在那个时候，他真的用这样的技巧征服了他周围的人。我非常钦佩他。

数学是一门高深而奥妙无穷的学科，良好的学习方法对学好数学有很大的帮助。下面小编就和大家分享小学生数学复习方法，希望对大家有帮助!

小学生数学复习方法1

1.及时复习。人们对于刚学过的东西，总是一开始忘得快，过一段时间就逐渐减慢。所以小朋友在复习时，必须要注意这个规律，做到及时复习。你们每天从学校回来都学了一些新东西，您可以先复习当天所学的内容，复习之后再做作业。同时在每天晚上睡觉前想一想："我今天都学了什么!"然后在头脑里把这些东西回忆一遍。如果不及时复习，时间一长你们就忘记了，许多内容最后集中到一小段时间复习，效果自然不好。

2.分散复习。如果有60分钟的复习内容，您是一下子复习完呢?还是分成几段间隔复习呢?心理学家很早就对这个问题进行了实验，实验的结果表明：分散复习要比长时间的集中复习效果好。对于小朋友来说，其身心发育的特点也要求采用分散复习的方式。所以，您不妨每次复习20分钟，中间休息之后再复习，这样你们就不会疲劳，复习的效果也会更好。

3.交叉复习。当你们同时面临几门课程的复习任务时，最好采用交叉复习的方式，即这10分钟复习语文，休息后换成数学，再之后又变成别的什么，这样复习的好处是不会使你们产生厌倦心理。

4.多种方式复习。长时间用同一种方式复习效果不好，尤其对于你们更是如此。想想看，我们成人学习英语时，有时是默读，有时大声朗读，有时抄写，不断变换方式或者结合并用。对于小朋友更要这样。比如复习语文，可以以朗读、背诵、默写、造句、写作文等不同的方式变换进行。复习数学，就可以看书、记公式、做练习题(计算题、应用题)，而且习题也要注意变化题型。

5.灵活应变。您们在复习时，不能只看一会儿书或做几道题就算完事了，而是要尽可能根据自己的实际情况随时作出调整。如果发现某一部分的内容自己已经掌握了，您就可以跳过这一段，复习下面的内容。如果你做了几道这方面的题目仍然出错，就需要您加强对这一部分的复习力度。根据复习时间的长短，您也要采用不同的复习策略：如果时间很宽裕，您就可以从头至尾将书过一遍;如果时间紧迫，再平均分配时间显然不合适，就得重点复习自己的薄弱环节，有时只研读平日整理的错题库也能达到理想的效果.

看了小学生数学复习方法的人还看：

小学生数学复习方法2

1思考：

思考是数学学习方法的核心。在学这门课中，思考有重大意义。解数学题时，首先要观察、分析、思考。思考往往能发现题目的特点，找出解题的突破口、简便的解题方法。凡是真正学得好的同学，都有勤于思考，经常开动脑筋的习惯，于是脑子就越用越灵，勤于思考变成了善于思考。

2动手试一试：

动手有助于消化学习过的知识，做到融会贯通。课下后，可以把老师讲过的公式进行推导，推导时不要看书，要默记。这样就能使自己对公式掌握滚瓜烂熟，可为公式变形计算打下扎实的基础。

3培养创造精神：

所谓创造，就是想出新办法，做出新成绩，建立新理论。创造，就要不局限于老师、课本讲的方法。平时，有一些难度高的题目，在听懂了老师讲的方法后，还要自己去找一找有没有另外的解法，这样能加深对题目的理解，能比较几种解法的利弊，使解题思维达到一个更高的境界。

在现在越来越多的二婚夫妻诞生了，但是大家都知道二婚生活是相对普通生活来说比较难的，那么二婚女性幸福的概率高吗？下面跟着小编我们一起来了解一下吧。

二婚女性幸福的概率高吗

女人二婚幸福的概率是否高，在于你的内心是否强大，在于你是否是一个高情商的女人，一个高情商的女人，他会总结自己第1段婚姻失败的经验，在第2段婚姻中他会把握时机，也会去学会如何经营自己的婚姻，相信如果你是这样的想法，而且在结婚之后你也是这样做的，自然你的二婚幸福的概率会比较高，但是如果你是一个很懒惰的人，而且对于感情的忠贞度，对于感情的信任度，你也不是特别高的女人，那么你的二婚幸福的概率自然就不会高了，因为你不懂得总结经验，你也不懂得去如何爱别人，这样的人他是不会轻易的就获得幸福的。

女人二婚幸福的概率是多少

女人离婚之后幸福的概率很大，但都要靠自己争取。较关键的就是你选择什么样的男人和你过日子，这直接决定日后的婚姻生活。有的人贬低自己，找了一个不爱的老实人就嫁了，结果还是不幸福。要是找到真心对待自己的人，幸福的概率就很高。他不会嫌弃你曾经结过婚，给你较好的生活，两人能够真心相待。要是做不到真心对待，在婚姻里比较，不幸福是注定的结局。

女性二婚以后会幸福吗

女人二婚幸福的概率还是比较大的。有人这样说过：受过伤的人，就怕心变冷，变硬，然后对周围的感动，没知觉，没热情。无论我变得如何强大，你仍然会是我的弱点。感情就是这样，你伤了别人，无论有意无意，总会有另一个人来伤你。其实，感情中最大的伤害莫过于婚姻中途变故，离婚，无论是以何种形式，无论结局怎样，对曾经相爱的来来说，都是一种莫大的伤害，因为它是曾经那些美好感情的否定，也是对人的否定。在第一次婚姻里受伤的安妮，经过了很长一段时间的疗愈后，终于发现了自己内心深处的伤痛竟然来自她的原生家庭，原来她不幸的婚姻，竟是被自己的父母所影响，当然，要不是在旅行中遇到了那个心灵疗愈师，她还不会成为现在的自己。

二婚和复婚哪个会幸福

1、二婚和复婚哪个会幸福？首先我们来说一下，二婚吧，爱好讲的就是你的第2次婚姻，在这段婚姻当中，你也一定会总结了第1次婚姻的失败原因，而且如果你是一个特别聪明的女人，那么在二婚的时候，你也会去学着如何去爱对方，如果你能够学会如何经营自己的婚姻，如何去与你的丈夫搞好关系，自然你们两个人也会很幸福的。

2、如果说现在的你们决定了复婚，但是在你决定复婚的那一刻，就一定要彻底的忘记寄过去，彻底的与你们两个人之前的生活说再见，只有重新开始，只有你们在一起之后不提旧事才有可能有一个幸福的生活，所以说无论是二婚还是复婚，只要是你们两个人能够知错就改，只要是你们两个人的心紧紧的贴在一起，相信你都会很幸福的。

每年总有孕妇因宫外孕而不得不丧失胎宝宝，而有的宫外孕患者还因为出现输卵管破裂，大出血现象而将一生无法生育，甚至搭上自己的生命。那我们患宫外孕的概率有多大呢？下面就跟着小编一起来看一下吧！

我们患宫外孕的概率有多大

孕妇罹患宫外孕的比例是在逐年递增的。一般宫外孕的比例是在3%~6%，所以在数据结果看来宫外孕的发生概率并不是特别大。

可是到了每个女性个体上，这些数据其实不应该是这样统计的。我认为每个女性罹患宫外孕的概率要么是0要么是100%，所以宫外孕需要我们格外的重视怀孕的自己。从医的经历告诉我，宫外孕离我们女人都很近，每个人都有宫外孕的可能性。只是对于平时有吸烟史，患过阑尾炎以及输卵管发育不良，盆腔炎症或者肿瘤的人群，会增加罹患宫外孕的可能性。

所以，我们宫外孕发生的概率不是0就是100%。如果不想宫外孕的悲剧在我们身上上演，就要及早关注自己，关注孕中的自己，做好针对性的检查，尽早排除宫外孕，彻底粉碎宫外孕的可能，让宫外孕的发生概率控制在0，让宫外孕对我们的伤害永远不会发生。宫外孕可以离我们很近，也可以离我们很远，就看你怎么善待自己了。摒弃恶劣的生活习性，注意养生保健，及早排查身体异常让宫外孕的发生概率永远是0。

数学童话

尽管铁蛋告诉了哈利排列的规则，但四手大神不擅长算术，也无法算出来。

铁丹解释道:“一只手是固定的，可以有6种排列方式，而这只手可以握4种不同的东西，总共6×4=24种！”“哈哈，我有24个不同的名字。”哈利开心地笑了。

铁蛋走进了另一个大厅。大厅里供奉的雕像更加奇特。它有10只手。十只手拿着绳子、钩子、蛇、鼓、头骨、三叉戟、床架、匕首、箭和弓。

蒂丹问，“你是什么神？你怎么有十只手？”

偶像回答说:“我的名字是湿婆，印度教的主神，我也是毁灭之神。你刚刚给了哈利24个不同的名字，所以你可以帮我数一数！”

“啊，你有10只手，太多了，需要多长时间？我不算！”说完，铁蛋转身走了。

湿婆生气了，哭了，"儿子，你必须数，如果你能数，如果你不能数，你必须数！"

别忘了，我是毁灭之神。看，大门已经关上了。“我只看到大厅的两扇门‘草裙舞’

它砰的一声关上了。

“啊，大门是关着的，所以我不得不放弃它。”铁蛋拍了拍脑袋，说道，“这次我不能一个一个划了，要想个新方法。当一只手握住一件东西时，只有一种方法可以握住它。当用两只手握住两个东西时，有两种方法可以握住它们。三只手拿三样东西时，有六种握法。有24种方法可以用四只手握住四样东西。”

湿婆有点不耐烦:“你想明白了吗？”

“你等等。四个数字1、2、6和24之间的规则是什么？”铁蛋发现了一些东西，他写道:一只手:1 = 1；两只手:2 = 1×2；三只手:6 = 1×2×3；四只手:24 = 1×2×3×4；五个指针应为:1×2×3×4×5=120。我找到了算法。你有10手牌，有1×2×3×4×5×6×7×8×9×10种不同的方法。”蒂丹说，“我乘以3628800。"

“哈哈”湿婆笑得老高，“我有362.8万个名字，谁能比得上我！”

进门开了一条缝，铁蛋“噌”地跳了出来。蒂丹摇摇头说，“这种寺庙是不能进的。神仙总是让我计算问题。”

突然，一条黑蛇向他走来，吓得铁蛋跑开了，黑蛇跟在他后面。我该怎么办？

实数的运算贯穿于初中数学的始终，是学好初中代数的基础。熟练掌握实数的运算法则、运算律以及运算顺序并能正确、灵活地运用它们解决计算问题是学好数学的关键。

1、加法法则：互为相反数的两个数相加，和为0；同号相加，取相同的符号，然后把它们的绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，然后用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与0相加，和仍然是该数。

2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3、乘法法则：同号相乘得正（如果有偶数个负数为因数，则积为正数），异号相乘得负（如果有奇数个负数为因数，则积为负数）；任何数与0相乘，积为0。

4、除法法则：除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。

5、混合运算：先算幂，再乘除，后加减；如果有括号，要先算括号里面的。混合运算遵循交换律、结合律。

中考数学考试复习指导：直角三角形

◆备考兵法

1.正确区分勾股定理与其逆定理，掌握常用的勾股数.

2.在解决直角三角形的有关问题时，应注意以勾股定理为桥梁建立方程(组)来解决问题，实现几何问题代数化.

3.在解决直角三角形的相关问题时，要注意题中是否含有特殊角(30°，45°，60°).若有，则应运用一些相关的特殊性质解题.

4.在解决许多非直角三角形的计算与证明问题时，常常通过作高转化为直角三角形来解决.

5.折叠问题是新中考热点之一，在处理折叠问题时，动手操作，认真观察，充分发挥空间想象力，注意折叠过程中，线段，角发生的变化，寻找破题思路.

◆考点聚焦

1.运用勾股定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题.www.zhongkao5.com//

2.运用勾股定理及其逆定理从数的角度来研究直角三角形.

3.折叠问题.

4.将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用.

◆识记巩固

1.勾股定理：____________.

2.勾股定理的逆定理：___________.

识记巩固参考答案：

1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即c2=a2+b2(c为斜边)

2.如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形

数学故事——古代绳子的计数方法

这种计算结的方法不仅在古代使用，而且在一些民族中也使用过。宋朝的人们在一本书里说:“鞑靼人无话可说，他们每次出兵，都和草签订契约，这使人们交流，渴望火花。”这是用草来派遣部队和传达要派遣的部队的数量。其他人，如藏族和彝族，也有书写语言，但这种方法在一般文盲中仍然使用了很长时间。中央民族大学有一对高山绳结，由两条绳子组成:每条绳子上有两个结，两个结系在一起。

有趣的是，我们不仅在东方绑绳子，在西方也是如此。我们的星球似乎一直像一个地球村，但当时没有电报或电话。传说古代波斯国王曾经打过一场战争，命令他的军队守卫一座桥60天。为了让士兵们至少呆一天，波斯国王用一条长皮带在上面系了60个扣子。他对守桥的官兵说:“我走后，你们一天可以解开一个扣子。完成后，你就可以回家了。”

让我们稍后看一件有趣的事情。在我国古代甲骨文中，数学“数”的意思是右手拿着一只右手，左手拿着一根有许多结的木棍:“数”的意思是绑一根绳子并记住它。因此，在数学研究所的入口处，最好用木棍打几个结来标记“记号”，甚至不用挂招牌。

一种几乎与绑绳子同时或稍后的计数方法被认为是一种契约。该书契是雕刻和划痕，在竹子，木材，龟甲或骨头，泥板和“纪”号留下痕迹。”说:“齐，刻也，刻也知其数。”它的意思是在某个物体上划一些符号来计数。

1974年，我国在青海省乐都县原始社会末期的古墓中发现了49块骨头，它们的大小和形状都差不多，都是一个小手指大小的长方形，但是非常薄。在骨切片中间的两边都有缺口，一些有3个缺口，一些有5个缺口，许多有一个缺口。如果一个缺口代表一个数字，那么40多个骨头碎片可以表达从1到50或60的任何自然数。当然，这些小骨头碎片也可以用于计算。有趣的是，1937年，在维斯瓦发现了一块40万年前的骨头。那是狼惠子的小腿骨。七个？龙，有55个深痕。这是迄今为止最早的分数计算的历史见证。因此，如果你将来在荒野中捡到一些骨头碎片，你必须小心不要错过成为业余考古学家的机会。

随着刻绘的发展，纯数字符号逐渐出现。这是一项光荣而伟大的成就。

抗凝中药可以降低血管疾病的发生概率。血栓、栓塞性疾病时刻危害老年人的身体健康，然而合理服用抗凝中药，降低各种心脑血管疾病的发生：

我国抗凝药物的使用情况很不理想。著名心血管专家曾指出“在自然人群中，97%以上的患者从不服用抗凝药物。”有些老年人为预防冠心病、脑血栓形成的发生，接受口服抗凝药物治疗。常用的药物有肠溶阿司匹林、潘生丁、华法令等，合理应用的确能够降低血栓、栓塞性疾病的发生率，然而用药过量可导致颅内出血，应当引起人们的高度重视。国外资料显示，口服常规剂量的抗凝药物增加脑出血的危险性7～10倍。

专家提出复方丹参片具有很好的抗凝作用，副作用小，价格便宜，及早服用，提前预防，降低重大心脑血管疾病的发生。当然，不同品牌的复方丹参片效果也不同。在全国600多个生产厂家中白云山牌复方丹参片是首选良药。

作为著名品牌的白云山复方丹参片是全国率先拥有防治老年痴呆专利和缓释技术研究成果的药物，主要中药材来源于GAP基地，从而使药品从源头上得到了保证。目前，白云山复方丹参片年产量80亿片，市场占有率60%以上。作为预防用药，许多消费者碰到药店搞优惠活动而多卖，在服务上，白云山和黄中药斥资8000万元，与当地药店联手，在全国推出6600家“永不过期”的药店，凡购买白云山中药，均可以旧换新,这意味着白云山和黄中药将“永不过期”。

轴对称(1)

实践和应用

1．下列图片是生活中的一些建筑物，它们是轴对称图形吗?

2．下列图形是部分汽车的标志，哪些是轴对称图形?

奔驰宝马大众奥迪

3．下图中的两个图形是否成轴对称?如果是，请找出它的对称轴．

4．请在下图这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形。

注：这是从数字1到7组成的轴对称图形，问题有一定的难度，需要学生有较强地观察、辨别能力．