四边形

平行四边形是指在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。

长方形是特殊的平行四边形。在几何中，长方形又称矩形，是四个内角均为直角的四边形，矩形两条相对的边等长，也就是说长方形是平行四边形。

长方形长与宽有两种定义，第一种是长方形长的那条边叫长，短的那条边叫宽，第二种是和水平面同方向的叫做长，反之就叫做宽。

长方形的判定定理有三条，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形。

在欧几里德几何中，平行四边形是具有两对平行边的简单四边形，它也是人们日常生活中常见的图形。

平行四边形性质

平行四边形是轴对称图形，它的相对或相对的侧面具有相同的长度，并且平行四边形的相反的角度是相等的。

特殊的平行四边形

特殊的平行四边形有：有一个角是直角的平行四边形的矩形；有一组邻边相等的平行四边形的菱形；一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形的正方形。

生活中的很多用具都有运用到平行四边形的特质，如伸缩衣架、电动门、商店门口的推拉门、绘图用的缩放支架等。

在欧几里德几何中，平行四边形是具有两对平行边的简单四边形。它是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。但是要注意，只有一对平行边的四边形是梯形。

平行四边形是不是特殊的梯形

一组对边平行且不相等的四边形是梯形。一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。根据平行四边形以及梯形的定义可知，平行四边形不是特殊的梯形。梯形有两条边无限延长的话，是会相交的。而平行四边形的对边是平行的，因此永远不会相交。

平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦的乘积。

四边形有正方形、矩形、平行四边形、菱形、梯形等等。由不在同一直线上的不交叉的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形或立体图形叫四边形。

由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形或立体图形叫四边形，由凸四边形和凹四边形组成。顺次连接任意四边形上的中点所得四边形叫中点四边形，中点四边形都是平行四边形。菱形的中点四边形是矩形，矩形中点四边形是菱形，等腰梯形的中点四边形是菱形，正方形中点四边形就是正方形。四边形有正方形、矩形、平行四边形、菱形、梯形等等。

平行四边形

1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、性质：

(1)平行四边形的面积等于底和高的积。

(2)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边、两组对角分别相等。

(3)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

(4)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。

(5)平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。

矩形

1、定义：矩形是至少有三个内角都是直角的四边形。矩形是一种特殊的平行四边形，矩形也叫长方形。

2、性质：

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;

(2)对角线相等的平行四边形是矩形。

(3)有三个角是直角的四边形是矩形。

(4)定理：经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形。

(5)对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

正方形

1、定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形，正方形是特殊的平行四边形。

2、性质：

(1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等;

(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

(3)正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形(有四条对称轴)。

菱形

1、定义：在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四边都相等的四边形是菱形。

2、性质：

(1)菱形的四条边都相等;

(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

(3)菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线;

(4)菱形是中心对称图形;

梯形

1、定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底。另外两边叫腰;夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。

等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

2、性质：

(1)梯形的上下两底平行;

(2)梯形的中位线，平行于两底并且等于上下底和的一半;

(3)等腰梯形的对角线相等(可能垂直);

(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴。

梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。而在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形。

梯形与平行四边形的关系

梯形不是特殊的平行四边形。因为梯形是只有一组对边平行的四边形，平行四边形是两组对边分别平行的四边形。所以梯形和平行四边形是两种不同的四边形，梯形不是平行四边形，平行四边形也不是梯形。

特殊的平行四边形

特殊的平行四边形有矩形也就是长方形，正方形、还有菱形。

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形属于平面图形，平行四边形属于四边形，平行四边形属于中心对称图形。

长方形是特殊的平行四边形吗

长方形是特殊平行四边形。长方形也叫矩形，是一种平面图形，是有一个角是直角的平行四边形。长方形具有平行四边形的特征，但是又有自己的特征。所以说，长方形是特殊的平行四边形。

平行四边形性质

如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等；如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等；如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补；夹在两条平行线间的平行的高相等；如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。

平行四边形定则

平行四边形定则是一个物理法则，两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这就叫做平行四边形定则（Parallelogram law）。

三角形定则

三角形定则是指两个力（或者其他任何矢量）合成，将一个力的起始点移动到另一个力的终止点时，合力为从未移动力的起点指向所移动力的终点的力。

两者关系

其实；三角形定则是平行四边形定则的简化。

有时为了方便也可以只画出一半的 平行四边形,也就是力的三角形法则。平行四边形法则：它是一种共点力的合成法则．这一法则通常表述为：以表示两个共点力的 有向线段为邻边作一平行四边形，该两邻边之间的对角线即表示这两个力的合力，这个合力的大小由该对角线的长度表示，方向是由作用点指向另一端。

三角形定则与 平行四边形定则的实质是一样的，都是矢量运算法则的表述方式。

平行四边形有两条对称轴，平行四边形全部都是中心对称图形，但又并不一定是轴对称图形。特殊的平行四边形全部都是轴对称图案，全部都会有对称轴。平行四边形是在同一个二维平面内，是由两个不同的平行线段组合而成。

平行四边形的性质

这是指双边平行的四边形，性质是两边相等，并且长度相等，相邻两角之间的夹角相等。另外对角线相交于中点，这就是平行四边形的主要特点。在满足这些条件之后，就构成了平行四边形，是学习中最为常见的形式。

平行四边形的类型

根据边长或者是角度的不同，平行四边形会有多种类型，可以分成矩形，长方形，正方形以及菱形。矩形是一个有4个直角的平行四边形，也是人们在生活中常说的长方形。正方形也属于平行四边形，是4个边长完全相等，而且还有4个指甲。长方形是指两对相等并且相互平行。菱形相对比较简单，这就是一个4个边长完全一致，相邻两个夹角，属于直角的平行四边形。

平行四边形的性质应用

平行四边形在很多的地方都会有一些应用性质，在实际的生活中，还有在几何学中全部都可以遇到。首先应该注重于面积，计算平行四边形的面积，基本都是通过底边长乘以高。另外还可以用向量来描述，比如可以用两条非共线向量直接作为对边，能有效确定平行四边形。与此同时，还需要注重于弧度的计算，平行四边形的内角和就可以达成180度，这是一个不容忽视的内容。许多人在计算时可能并不了解，没有选择合适的方法，容易会出现一些异常。

287.矩形、正方形和菱形是平行四边形吗？

要回答这个问题，我们必须先弄清平行四边形的含义和性质，然后才能作出肯定或否定的判断。

平行四边形的意思是两组平行四边形，它们的对边在平面上互相平行，称为平行四边形。

根据平行四边形的含义，两组对边AB∑CD为四边形AB∑CD；在图中；因此，四边形ABCD是

-3顶点，使用大写字母来标记。

平行四边形的性质是判断平行四边形的主要依据。这些属性包括:

(1)两边相等。也就是说，AB=CD，ad = bc。

(2)相邻角度互补。那就是:

∠A+∠B=∠B+∠C=180 .

(3)对角线相等。即:a =≈c；∠B=∠D .

(4)对角线被等分。即，ao = ocBO =外径.

根据上述含义和性质，问题可以确定:

矩形的两组对边分别是平行的，这符合平行四边形的含义，也有其性质。因此，矩形也属于平行四边形。同时，矩形的四个角都是直角。

正方形本身是一个特殊的矩形，除了四条边相等之外，它具有矩形的所有特征。因此，正方形也属于平行四边形。

菱形的四条边也是相等的，并且具有平行四边形的含义和性质。因此，它们也属于平行四边形。

一般来说，为了突出自己的特点，以上三个图形分别称为矩形、正方形和菱形。它们本质上是分开的，或者它们都是特殊的平行四边形。

平行四边形在生活中的

应用1：有一种衣架就是根据平行四边形的不稳定性设置的，可以用根据需要改变挂钩之间的距离，美观又实用。

应用2：还有电动伸缩门，也是利用平行四边形的不稳定性。

应用3：有很多地板砖是就平行四边形的，铺上地面无缝隙也无重叠，而且铺成后缝线也是很整齐的。

应用4：利用平行四边形的容易变形性，生活中的楼梯扶手、折叠椅子、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏和手工编的篮子等都利用了这一特性。

平行四边形是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。它的性质有：

1、平行四边形的两组对边分别相等。

2、平行四边形的两组对角分别相等。

3、平行四边形的邻角互补。

4、夹在两条平行线间的平行的高相等。

5、平行四边形的对角线互相平分。

6、连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。

7、平行四边形的面积等于底和高的积。

8、过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

9、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。

10、平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。

11、平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦的乘积。

几何公式定理：四边形

1、定理四边形的内角和等于360°

2、四边形的外角和等于360°

3、多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°

4、推论任意多边的外角和等于360°

5、平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

6、平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

7、推论夹在两条平行线间的平行线段相等

8、平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

9、平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

10、平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

11、平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

12、平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

四边形的相关概念

1、四边形

在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。

2、凸四边形

把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。

3、对角线

在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。

4、四边形的不稳定性

三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。

5、四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；

多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

6、多边形的对角线条数的计算公式

设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为。

▊定义：由不在同一直线上的不交叉的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形或立体图形叫四边形。

▊凸四边形

四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边均在其同侧。

平行四边形(包括：普通平行四边形，矩形，菱形，正方形)。

梯形(包括：普通梯形，直角梯形，等腰梯形)。

凸四边形的内角和和外角和均为360度。

▊凹四边形

凹四边形四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边有些在其异侧。

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。中点四边形的形状取决于原四边形的对角线。若原四边形的对角线垂直，则中点四边形为矩形；若原四边形的对角线相等，则中点四边形为菱形；若原四边形的对角线既垂直又相等，则中点四边形为正方形。

▊不稳定性

四边形不具有三角形的稳定性，易于变形。但正是由于四边形不稳定具有的活动性，使其在生活中有广泛的应用，如拉伸门等拉伸、折叠结构。

▊平行四边形

◆定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram)。

◆性质

（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）

（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）

（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补

（简述为“平行四边形的邻角互补”）

（4）夹在两条平行线间的平行线段相等。

（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）

◆判定

（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）

（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）

（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）

（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”）

（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）

◆面积

平行四边形的面积公式：底×高，用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S=ah。

◆周长

平行四边形的周长=2×两邻边的和，用“a”、“b”表示两邻边，“C”表示平行四边形的周长，则C=2（a+b）。

▊矩形

◆定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(rectangle)。

◆性质

（1）矩形的四个角都是直角；

（2）矩形的对角线相等且互相平分。

◆判定

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形：

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形；

（4）有三个角是直角的四边形是矩形（两个角是直角的同旁内角的四边形不是矩形是梯形）。

◆面积

设矩形的两条邻边长分别为a，b，则面积(S)为ab。

◆周长

设矩形的两条邻边长分别为a，b，则周长（C)为2(a+b)。

▊菱形

◆定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(rhombus)。

◆性质

（1）菱形的四条边都相等；

（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

注意：菱形也具有平行四边形的一切性质。

◆判定

（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）四条边都相等的四边形是菱形；

（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（4）有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；

（5）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

◆面积

（1）对角线乘积的一半（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）；

（2）设菱形的边长为a，一个夹角为x°，则面积公式是:S=a^2·sinx。

◆周长

菱形周长=边长×4用“a”表示菱形的边长，“C”表示菱形的周长，则C=4a。

▊正方形

◆定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形(square)。

◆性质

（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；

（2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

◆判定

因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以判定正方形有三个途径：

（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。（矩形+有一组邻边相等=正方形）

（2）有一个角是直角的菱形是正方形。（菱形+有一个角是直角=正方形）

（3）两条对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形。

◆面积

（1）正方形面积=边长的平方S=a×a（S表示正方形的面积，a表示正方形的边长）。

（2）对角线乘积的一半。

◆周长

正方形周长=边长×4用“a”表示正方形的边长，“C”表示正方形的周长，则C=4a。

▊梯形

◆定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形(trapezium)（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形）

◆等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形(isoscelestrapezium)。

◆直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

◆性质

（1）等腰梯形两腰相等、两底平行；

（2）等腰梯形在同一底上的两个内角相等；

（3）等腰梯形的对角线相等(可能垂直）；

（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴。

◆判定

（1）两腰相等的梯形是等腰梯形。

（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

◆面积

（1）梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2。

（2）梯形面积=梯形中位线×高。

◆周长

梯形的周长=上底+下底+腰+腰用“a”、“b”、“c”、“d”分别表示梯形的上底、下底、两腰，“C”表示梯形的周长，则c=a+b+c+d。

初中数学四边形知识点

一、平行四边形的定义、性质及判定

1.两组对边平行的四边形是平行四边形.

2.性质：(1)平行四边形的对边相等且平行;(2)平行四边形的对角相等，邻角互补;(3)平行四边形的对角线互相平分.

3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.

4.对称性：平行四边形是中心对称图形.

二、矩形的定义、性质及判定

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等.

3.判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;(2)有三个角是直角的四边形是矩形;(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形.

4.对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形.

三、菱形的定义、性质及判定

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2.性质：(1)菱形的四条边都相等;(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形;(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半：

3.判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形;(2)四条边都相等的四边形是菱形;(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

4.对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形.

要判定四边形是菱形的方法是：

法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。(这就是定义证明)。

法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。(这是判定定理2)

法三：只需证出四边都相等。(这是判定定理1)

四、正方形定义、性质及判定

1.定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

2.性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等;(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角;(3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;(4)正方形的对角线与边的夹角是45°;(5)正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

3.判定：(1)先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等;(2)先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角.

4.对称性：正方形是轴对称图形也是中心对称图形.

要判定四边形是正方形的方法有

方法一：第一步证出有一组邻边相等;第二步证出有一个角是直角;第三步证出是平行四边形。(这是用定义证明)

方法二：第一步证出对角线互相垂直;第二步证出是矩形。(这是判定定理1)

方法三：第一步证出对角线相等;第二步证出是菱形。(这是判定定理2)

五、梯形的性质及判定

1.定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形.两腰相等的梯形是等腰梯形;一腰垂直于底的梯形是直角梯形.

2.等腰梯形的性质：等腰梯形的两腰相等;同一底上的两个角相等;两条对角线相等;等腰梯形是轴对称图形.

3.等腰梯形的判定：两腰相等的梯形是等腰梯形;同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;两条对角线相等的梯形是等腰梯形.

六、中位线

三角形的中位线平行于三角形的第三边并等于第三边的一半;梯形的中位线平行于梯形的两底并等于两底和的一半.

1.三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

说明：三角形的中位线与三角形的中线不同。

2.梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。

3.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

4.梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

七、重心

线段的重心是线段的中点;平行四边形的重心是两对角线的交点;三角形的重心是三条中线的交点.

八、中点四边形

依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

九、多边形的面积

多边形的面积常用的求法有：

(1)将任意一个平面图形划分为若干部分再通过求部分的面积的和，求出原来图形的面积这种方法叫做分割法。

(2)将一个平面图形的某一部分割下来移放在另一个适当的位置上，从而改变原来图形的形状。利用计算变形后的图形的面积来求原图形的面积的这种方法。叫做割补法。

(3)将一个平面图形通过拼补某一图形，使它变为另一个图形，利用新的图形减去所补充图形的面积，来求出原来图形面积的这种方法叫做拼凑法。

常见考法

四边形与三角形复习要求是能运用这些图形进行镶嵌，能根据图形的条件把四边形面积等分.能够对特殊四边形的判定方法与联系深刻理解.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和常用判别方法，特别是梯形添加辅助线的常用方法.掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用.

会画出四边形全等变换后的图形，会结合相关的知识解题.结合几何中的其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力.同时，四边形的概念建立在三角形的基础上，是知识的拓展与深化.研究它的性质，常常是将四边形转化成若干三角形，通过三角形的性质来研究，或者是运用作辅助线的方法将四边形转化成三角形和平行四边形来讨论.

至于矩形、菱形、正方形的性质是在平行四边形的基础上扩充的.它们的判定方法也是在平行四边形的基础上增加一些特定的条件.梯形也是一种特殊的四边形，它是平行四边形和三角形知识的综合.

通过适当的添设辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形的组合图形，再运用三角形、平行四边形的知识解决梯形的有关问题.

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1.性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等;

(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角;

(3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;

(4)正方形的对角线与边的夹角是45。;

(5)正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

2判定：

(1)先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等

(2)先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角.

3定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

4.对称性：正方形是轴对称图形也是中心对称图形.

1.s菱=争6(n、6分别为对角线长).

2.判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

(2)四条边都相等的四边形是菱形;

(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

(1)菱形的四条边都相等;。

(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形.

(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半：

4.对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形.

这篇教程是向大家介绍3DMAX制作一个漂亮的四边形镂空球体方法，教程很不错，喜欢的朋友一起来学习吧!

不同的球体使用不同的建模方法可以变化出无数个既个性又漂亮的装饰品。大家可以回顾一下以前的球体，比如：足球、篮球、高尔夫球、星星球……如果你的头脑里没有制作的思路，那就赶快翻看下以往的教程试着做一下吧，今天我要给大家带来的又是一个漂亮的球体。小伙伴儿们看看下图，知道这样菱形的球体怎么做出来的吗?跟随着我的步骤一起来吧。

1.先建一几何球体 参数 : 分段数如图

2.把几何球体转换成可编辑多边形物体

3.塌陷为可编辑多边形后，全选边，

4.在边层级中，添加面板中细化操作，在细化选择中 选择 面，ok确定

5.OK确定后，移除所选择的边线

6.移除边后所得出的4边形轮廓.

7.把所选的边，转换到面。

8.选择多边形(插入)后的所有面，参数如下图：

9.把所选的面进行一次挤出，类型选择“按多边形”，挤出高度给个负数。然后删除挤出后的面。

10.选择边界进行再次删除

11.删除边界后的效果。

12.选择所有的多边形给个“自动平滑”(这样做主要是让面部更平滑)

13.给4边形再加个厚度吧“壳”数值自己来定，....OK完成

教程结束，以上就是3DMAX制作一个漂亮的四边形镂空球体方法介绍，希望大家喜欢!

判定一个四边形是特殊四边形的步骤：

误区提醒

（1）平行四边形的所有性质矩形、菱形、正方形都具有，但矩形、菱形、正方形具有的性质平行四边形不一定具有，这点易出现混淆；

（2）矩形、菱形具有的性质正方形都具有，而正方形具有的性质，矩形不一定具有，菱形也不一定具有，这点也易出现混淆；

（3）不能正确的理解和运用判定定理进行证明，（如在证明菱形时，把四条边相等的四边形是菱形误解成两组邻边相等的四边形是菱形）；（3）再利用对角线长度求菱形的面积时，忘记乘；（3）判定一个四边形是特殊的平行四边形的条件不充分。

矩形、菱形、正方形与平行四边形、四边形之间的联系：

1.矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，其性质都是在平行四边形的基础上扩充来的。矩形是由平行四边形增加“一个角为90°”的条件得到的，它在角和对角线方面具有比平行四边形更多的特性；菱形是由平行四边形增加“一组邻边相等”的条件得到的，它在边和对角线方面具有比平行四边形更多的特性；正方形是由平行四边形增加“一组邻边相等”和“一个角为90°”两个条件得到的，它在边、角和对角线方面都具有比平行四边形更多的特性。

2.矩形、菱形的判定可以根据出发点不同而分成两类：一类是以四边形为出发点进行判定，另一类是以平行四边形为出发点进行判定。而正方形除了上述两个出发点外，还可以从矩形和菱形出发进行判定。