算数学的妙招推荐20篇

数学故事——体验十进制数

十进制数是十进制分数的另一种表示。拥有十进制数使计数更加方便。诸如

一位著名的美国数学家说:“现代计算的神奇力量来自三项发明:印度计数法、小数和对数。”这里的小数是指小数。

中国人第一个使用小数。公元3世纪，刘徽在他对魏晋《九章算术》的注释中指出，当处方不足时，可以用十进制分数表示，比西方早1300年。元代(约1300年)刘瑾在其著作《吕禄》中记载如下:

将小数部分减一格可以说是世界上最早的十进制表示法。

第一个在中国之外使用小数的阿拉伯人是凯西，他使用十进制分数(小数)来给出π的17位有效值。

在欧洲，比利时人史蒂文于1585年首次明确阐述了十进制理论。他记录了32.57秒

①②

3257或325①7②

小数点。在1492年由法国人佩洛斯出版的算术书中首次使用。然而，他的意思是，如果除数是10的倍数，例如12356÷ 600，最后两个数字首先用点分开，然后除以6，即123.56÷ 6，只是为了方便除法。

直到1608年，意大利克拉福斯出版的代数书才明确采用了点作为整数部分和小数部分之间的界限，即现代用法。

同时，有些人用“，”作为小数点标记。直到19世纪末，小数点仍以各种方式书写，如2.5可以写成25；2.5；2？5；2△5等。

现代小数点的使用可以大致分为两大类。欧洲大陆(德国、法国、苏联等。)使用逗号作为小数点和点“？”作为乘法符号，脸不需要“x”，因为它很容易与“x”混淆。英美学校的小数点是“点”逗号用作区段号(每三位数字分成一个区段)。例如，1.5亿将被记录为1.5亿，而大陆的学校将写1.5亿，每三位数字留出一个空格，没有一个章节号。

无论是在东方还是在西方，人们对小数的理解经历了数百年甚至数千年的演变。

数学童话——独眼狼王的狐狸童话

最近几天，树林里没有听到狼嗥叫，但有更多的狐狸脚印。这些脚印左边深，右边浅。

“这是一只跛脚狐狸的脚印！”白兔非常肯定地说。

“开玩笑！”熊摇摇头说:“瘸腿狐狸和独眼狼王都淹死了。我亲眼看见的！”

这是怎么回事？

很快，答案出来了。一只狐仙出现在不远处的一个小山洞里。洞口也有一副对联。上联写着“祈求吉凶”，下联写着“治病救人”，横切面的四个字是“狐仙显形”。那时，一些迷信或生病的动物去治病和算命。

“狐仙是一只瘸腿狐狸的转世。这是一个很好的治疗！”

"狐仙有本事，算命是必须的！"

熊生气地说:“什么狐狸精？我不相信！我会遇到这个狐狸精。”

熊跑到洞口，看到仍然有许多动物来算命和治病。小熊挤进了洞里。里面的光线很暗。一只动物用黄布裹住全身，只露出一双眼睛。

一只生病的豹子在算命。豹子问他什么时候能治好他的病。我看见狐仙喃喃地说，从石板下拿出一张纸。纸条上写道:“三位数除以37，剩下17和36，剩下3。”

狐狸仙女说:“你先计算三个数字。当你的病痊愈时，这一切都隐藏在这个三位数里。”

豹子摇摇头说:“我不会数数。”

狐狸仙女从黄布里伸出一只毛茸茸的爪子说:“给我10元钱，我会帮你解决的。”

豹子交了10元钱。

狐狸仙女接过钱，仔细地看了看是否是假的，然后慢慢地说:“让这个三位数是x。这个数除以37和剩余的17，可以写成x = 37 x商+17 = 36 x商+17。然而，它被36和余数3除，所以(商+17)必须被36和余数3除，并且满足这个条件的商是22。因此，x = 37 x 22+17 = 831。”

豹子问:“这831是什么意思？”

狐狸仙女说:“这个831就是答案！它告诉你，你的病将于8月31日痊愈！”

豹子一数手指，就高兴地说:“再过11天我就会好的！”豹子高兴地离开了。

狐狸仙女小声说:“傻瓜！每年8月31日。你知道8月31日是哪一年吗？”

熊跑到老山羊家，向老山羊解释了他看到的一切。

熊最后说:“奇怪的是，我非常熟悉这只狐仙的声音，尤其是像独眼狼王。”

老山羊问:“这只狐仙有几只眼睛？”

“两个，还能转！”熊非常肯定地回答。

老山羊抚摸着他的胡子说:“这太奇怪了！”

1、重点

从现实物体中抽象出几何图形，把立体图形转化为平面图形是重点;

正确判定围成立体图形的面是平面还是曲面，探索点、线、面、体之间的关系是重点;

画一条线段等于已知线段，比较两条线段的长短是一个重点，在现实情境中，了解线段的性质“两点之间，线段最短”是另一个重点。

2、难点

立体图形与平面图形之间的转化是难点;

探索点、线、面、体运动变化后形成的图形是难点;

画一条线段等于已知线段的尺规作图方法，正确比较两条线段长短是难点。

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

学习目标

1．掌握有理数的减法法则．

2．熟练地进行有理数的减法运算．

3．了解加与减两种运算的对立统一关系，掌握数学学习中转化的思想.

知识重点

有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的________，即a－b＝a＋(－b)．

精典范例

知识点一 有理数减法法则

例1 下列运算正确的是( )

A．(－3)－(＋5)＝(＋5)－(－3)＝＋2

B．(＋3)－(－5)＝(＋3)＋(＋5)＝＋8

C．(－3)－(－5)＝(－3)＋(＋5)＝－2

D．(－3)－(＋5)＝(－3)＋(－5)＝－2

例2 (1)(教材P23练习第1题节选)计算：

①(＋4)－(－7)；②(－5)－(－8)；③0－(－5).

(2)(教材P25习题1.3第4题节选)计算：

①2(1)－3(1)；②(－2)－3(2)；

③4(3)－4(1)－2(1).

知识点二 有理数减法法则的实际应用

例3 某矿井下A，B，C三处的海拔分别为－32.5米，－120.7米，－63.8米.

(1)B处比C处高多少米？

(2)A处比C处高多少米？

变式练习

变式1 计算：

(1)0－2＝0＋________＝________；

(2)7－9＝7＋________＝________；

(3)3－(－3)＝3＋________＝________；

(4)－7－9＝－7＋________＝________．

变式2 (1)(2019·台湾)算式－3(5)－(－6(1))之值为何？( )

A．－2(3)B．－3(4)

C．－6(11)D．－9(4)

(2)(2018·山东淄博)计算2(1)－2(1)的结果是( )

A．0B．1

C．－1D．4(1)

(3)计算：－5－(－3)－(－4)－[－(－2)]．

变式3 某同学在计算时－38(7)－N，误将－N看成了＋N，从而算得结果是54(3)，请你帮助算出正确结果.

巩固练习

1．(2019·河池)计算3－4，结果是( )

A．－1B．－7

C．1D．7

2．(2019·遵义)遵义市2019年6月1日的最高气温是25℃，最低气温是15℃，遵义市这一天的最高气温比最低气温高( )

A．25℃B．15℃

C．10℃D．－10℃

3．下列说法正确的是( )

A．0减去一个数，仍得这个数

B．负数减去负数，结果是负数

C．正数减去负数，结果是正数

D．被减数一定大于差

4．有下列计算：①(－4)－|－4|＝0；②4(1)－2(1)＝－2(1)；③0－(＋5)＝－5；④(－5)－(－4)＝－1.其中正确的有( )

A．1个B．2个

C．3个D．4个

5．(2019·玉林)计算：(－6)－(＋4)＝________．

6．(2018·四川南充)某地某天的最高气温是6℃，最低气温是－4℃，则该地当天的温差为________℃.

7．计算：

(1)(－61)－(－71)－|－8|－(－2)；

(2)(－20)－(＋3)－(－5)－(＋7)；

(3)0－(＋3)－(－5)－(－7)－(－3)；

(4)(＋20)－(－10)－(－12)－(＋5)－(＋26)．

8．下列结论错误的是( )

A．若a＞0，b＜0，则a－b＞0

B．a＜b，b＞0，则a－b＜0

C．若a＜0，b＜0，则a－(－b)＜0

D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a－b＞0

9．有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图，则计算|a－b|的结果为( )

A．a＋bB．a－b

C．b－aD．－a－b

10．若数轴上A，B两点表示的有理数分别是－62(1)和74(3)，则A，B两点之间的距离为________．

11．已知a，b互为相反数，且|a－b|＝6，求b－1的值．

12．已知|m|＝37，|n|＝31，且|m＋n|＝－(m＋n)，求m－n的值．

1、整式：单项式和多项式统称整式。

2、单项式：表示数字与字母的乘积的代数式，叫做单项式。

3、单项式的系数：单项式中的数字因数。

4、单项式的次数：单项式中所有字母的指数和。（这个很重要，很多同学容易记不清）

需要注意的是：单项式的次数只与字母有关，和数字与π无关，切记，π是数字，不是字母哦。

5、多项式：几个单项式的和叫做多项式（单项式加减在一起，就是多项式了）

6、一个多项式中，每个单项式叫做这个多项式的项（这个地方需要说明的是，加号和减号都是单项式的符号，切记切记）,不含字母的项叫做常数项。

7、多项式的次数：取最高次项的次数为次数。

“切一个圆？”铁蛋觉得很奇怪。

刘辉看到铁丹不明白，笑着说:“你饿了吗？今天我请你吃馅饼。”然后他走进厨房，从里面拿出一堆大蛋糕。这些大蛋糕通常又大又圆。

蒂丹真的有点饿了。他只是伸手去拿馅饼。刘辉拦住他说，“慢点。拿着它吃是多么无聊啊！”

铁蛋缩回手，咽了咽口水，问道:“吃蛋糕有什么意思？”

刘辉用刀把一个正六边形切成第一个圆形蛋糕，然后把切好的六个小蝴蝶结蛋糕递给铁蛋说:“吃吧！”尽管铁蛋太少了，我还是饿了。双手接过来，完成它。蒂丹说，“我还是想吃。”

“让我们切第二个圆饼。”刘辉在圆饼上切了一个12边的圆，切了12个又薄又短的弓形饼，递给铁蛋，说:“吃吧！”

“啊！就这些吗？”铁蛋用一只手拿着这12块蛋糕，一口吞下去。

刘辉说:“够吃吗？不足以让我再切一个圆蛋糕。”

“不要切，不要切。”铁蛋很快拦住了他，说:“你必须切一个有24条规则边的圆。恐怕你切的24个小蛋糕还不够我闭上牙！”

"哈哈"刘辉笑着说:“娃娃，你从我切蛋糕中得到什么？”

“正多边形的边越多，切下的蛋糕就越少，”铁蛋在遮住后脑勺一会儿后说。

“完全正确！”刘辉高兴地说:“前人用正六边形的周长来代替圆的周长。这是一个太大的误差，找到等于3的周长比是不准确的。如果用一个规则的12边形的周长来代替一个圆的周长，那么计算出的周长比必须更精确。”

“如果一个圆的周长被一个规则的24边形的周长代替，误差将会更小，”铁蛋说。如果一个圆的周长被一个规则的24边形状的周长所代替，计算出的周长比将会更精确。"

“你完全正确！”刘辉说:“我用这种一次把边数加倍的方法来计算圆内192条边的周长，周长比等于3.14。”

“3.14？这本书叫3.14徽章率，是为了纪念你的伟大成就！”蒂丹又问，“你用什么方法？”

刘辉回答说:“切除。”

铁蛋竖起大拇指，称赞道:“你不仅是个好面包师，还是个好圆场主！”

二、例题分析：

例4、如图，锐角三角形ABC的边长BC＝6，面积为12，P在AB上，Q在AC上，且PQ∥BC，正方形PQRS的边长为x，正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积为y。

（1）当SR恰落在BC上时，求x，

（2）当SR在△ABC外部时，求y与x间的函数关系式；

（3）求y的最大值。

略解：（1）由已知，△ABC的高AD=4。

∵△APQ∽△ABC，（如图一）

设AD与PQ交于点E ∴

∴

∴

(2)当SR在△ABC的外部时，同样有，

则，即AE=

∴y=ED·PQ＝x（4-）=-2+4x（）

（3）∵a=-

∴当x=3时,y取得最大值6.

说明:此例将线段PQ的长设为x,正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积设为y,寻找它们之间的函数关系.注意自变量的取值范围;在y取最大值时,要注意顶点(3,6)的横坐标是否在取值范围内.

比特币的一切都深深浸透在数学之中——数学的定义是研究数量、结构、空间和变化。对于密码投资者和交易员来说，数量一直是他们特别感兴趣的问题——在增加自己的持有量方面，以及BTC的硬性上限对其长期价值的影响方面。

最近，推特上的一个帖子质疑为什么第一种加密货币的创造者中本聪(Satoshi Nakamoto)选择2100万比特币作为总供应量，而不是另一个任意数字。答案就像围绕比特币的一切一样，可以在非常简单的数学中找到。

比特币的刚性供应为其提供了独特的属性。这给了它一层法定货币所不具备的稀缺性，但像黄金这样的避险资产却广受赞誉。它还通过从不增加比特币供应量来防止通货膨胀。我们都知道为什么比特币的价值很重要，但为什么是2100万比特币呢?

Arca是一家专注于加密货币和区块链的资产管理公司。该公司的交易员萨沙弗莱希曼(Sasha Fleyshman)在Twitter上发起了一个详细而发人深虑的帖子，探究比特币的创造者为何选择2100万比特币作为比特币的总数量。像大多数与Satoshi有关的事情一样，原因一直不为人知。

经过多次讨论，弗莱希曼汇集了大家的想法，并基于一个简单的数学公式，可能已经发现了2100万比特比特供应量背后的原因。

这个理论大部分是基于时间的。使用的变量是每天小时、每年天、每周期年和每小时块。

此外，硬编码到比特币的一个事实是，每一个新区块被添加到区块链大约需要10分钟。弗莱什曼指出，这种情况会有几秒钟的变化，但最终会在每14天发生一次“难度调整”时得到补偿。

当你以每小时6个区块的速度分解四年的区块时，每半周期大约有210,000个区块。

在比特币下一次减半时，其供应量将从12.5比特币削减至6.25比特币。在此之前，区块奖励是25个BTC，在此之前是50个BTC。所有方块奖励大小的总和为100。

当你用100乘以210,000个总块每半周期，你得到2100万个BTC。至少这是根据弗莱希曼的理论，这是合乎逻辑的。

虽然所有的计算结果都是一致的，但这也可能只是一个巧合，而真正的答案可能永远不会为人所知，因为中本聪的真实身份可能永远不会被披露。在那之前，这个理论是最令人信服的。

我们每天看日历。这是我们生活和学习的必需品。日历不仅告诉我们今天是星期几，而且与数学密切相关。你能找到日期的规律性吗？

不管日历上是哪个月，你都可以取出代表日期的任何数字组成一个正方形，然后这个正方形的两个对角线数的和总是相等的。

例如，2002年10月的日历

四个数字组成一个正方形:6+14 = 7+13

九个数字组成一个正方形:3+11+19 = 17+11+5

十六个数字组成一个正方形。请圈出它们，看看对角线上的数字是否相等。你可以知道原因是什么。他和一周七天有什么关系？你可以考虑一下。

2002年10月2日星期三，又是哪一天85天？

5+7=1 1+3=4

85天后就是星期四了。

中考四边形与三角形复习要求是，能运用这些图形进行镶嵌，你必须会计算特殊的初中数学四边形，能根据图形的条件把四边形面积等分。能够对初中数学特殊四边形的判定方法与联系深刻理解。掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和常用判别方法，特别是梯形添加辅助线的常用方法．掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用。会画出四边形全等变换后的图形，会结合相关的知识解题．结合几何中的其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力

一、日期

13578年12月，蜡，

三十一天从来都不坏。

469年冬天(11月)30日；

和平年的2月28日，

在闰年，二月加起来就是一年。

第二，素数公式在100以内

2，3，5，7和11，

13，然后是17，

19，23，29，(19，23，29)

31，37，41，(31，37，41)

43，47，53，(43，47，53)

59，61，67，(59，61，67)

71、73、79，(73、79年7月1日)

83、89、97 .(83，89，97)

三首多位数的法语歌曲

阅读应该从高水平开始，谁应该学习几次？

如果在每个阶段的末尾都有一个零，就没有必要去阅读和记住它。

其他数字连续为零，只能读取一个数字。

一万级末，读一万，一亿级末，读一亿。

四、多位数写歌

要写的人数应该从最高的位置开始，无论是谁，都应该写尽可能多的人。

哪一个没有单位，用0来占据记忆的地方。

五、多位数大小比较歌曲

位数不同于大小，位数越大，位数越小。

如果位数相同，则比值较小，如果位数较高，则比值已知。

六、操作顺序歌

玩竹板会发出很大的噪音。各位，听我说。

今天，我将不谈论其他表，但只有四个操作。

混合试题需要计算，清晰的顺序是关键。

从左到右，最好进行相同级别的操作。

两级运算都会发生，先是乘法和除法，然后是加法和减法。

如果我遇到括号，我该怎么办？括号是第一位的。

在括号之后，顺序不能是无序的。

计算的每一步都经过检查，既正确又快速。

七、“划分”的含义

参见“划分”，

在圈子里，

单词“divide”前面有一个除数。

单词divide后的被除数，

别忘了交换位置

8.在商的中间或末尾有0的除法

我是一个零，有很大的技能。

组织是一个魔术。

我将补足差额。

有空的时候我会坐下。

如果其他人想除掉我，

常胜将军永远是我。

九、知道钟表

跑得最快的是第二只手，又高又好。

跑得最慢的是时针，又矮又胖。

不高不矮是分针，匀速跑步有很大的效果。

十、测量角度

中心到顶点

0线到一边，

当阅读标尺时

应该区分内部和外部。

十一、计量单位之间的换算

把它变得越来越大越来越小，越来越好。

小变大，但不坏。

十二，大月，流产记忆

七年前，一个月大，

八个月后，两个月大。

我身高1厘米

1厘米，很顽皮，仔细看，只看到你。

指甲盖1厘米，手指比。

长度和我的差不多，大约一厘米。

100我1米，我是我的小弟弟，

当物体长大时不要用我，否则你会筋疲力尽的。

十四、大于数量，小于使用数量

大于符号，小于符号。

张开嘴，对着塔尔苏斯微笑。

确定函数定义域的方法

(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数;

(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零;

(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零;

(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零;

(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

用待定系数法确定函数解析式的一般步骤

(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;

(2)将x、y的几对值或图像上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程

(3)解方程得出未知系数的值;

(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。

为了更好的学好，预习科目是很有必要，但是也发现了一些孩子并不懂得如何预习，下面小编就和大家分享小学生数学预习方法，希望对大家有帮助!

小学生数学学习方法：

1、列条件

找出课本中的一道例题，将例题的已知条件和求解求证一一列出;

2、做题

把题目做出来;

3、检查

检查自己的答案是否有错误;

4、订正

根据题目的答案订正自己做的题目;

5、做对

把题目做对;

6、节奏

找出做题目的节奏感，分几大步?

7、小结

这个题目考什么?

8、改变

对知识点的条件或结论做出改变，重新出题;

9、解题

每做一种改变就是一个新的题目，解出来;

10、整理

整理出一个知识点的所有题目类型。

看了小学生数学预习方法的人还看：

小学生数学预习方法：

1.任务落实预习法

教师对相关学习内容要进行了认真研读，提出既有一定的价值，又有吸引力的，能促使同学产生浓厚的学习、探索兴趣的预习任务。教师布置任务时，可以采取表格的形式或者提问的形式，让同学去预习。布置预习任务时一定要注意难度适中，具有诱发性和趣味性，预习要求要明确，可操作性要强。

2.笔记预习法

开始，可以让同学在书上做简单的眉批笔记，在阅读课本后，把自己的理解、体会或独特见解写在书上的空白处;其次，可以让同学做摘录笔记，就是预习后，在笔记本上摘抄重点概念、关键语句等等，以加深对重要知识的记忆、理解，并简单地记下预习过程中的疑惑和不解之处，也可以记录自己在预习中的收获。开始时教师都要抽出一定的课内时间带着同学进行，在要求、步骤、方法、格式上均要给以细致的指导，然后再放手让同学独立预习、做笔记。对于基础比较好的同学，还要会做思维含量较高的反思型预习笔记。在研究过程中，一方面要验证这几种预习方法的适用性，另一方面要寻求其他适用的科学预习方法。

3.温故知新预习法

这是新旧知识联系的预习法。在预习过程中，一方面初步理解新知识，归纳新知识的重点，找出疑难问题，另一方面复习、巩固、补习与新知相联系的旧知识。要求预习新内容时要与学过的旧知识联系起来，做到“温故知新”，联系旧知，学习新知，使知识系统化。

4.尝试练习预习法

对于计算类新授课、练习课，预习时先进行尝试练习，遇到疑难再返回预习例题，然后再尝试练习。通过尝试练习，可以检验同学预习效果，这是数学预习不可缺少的过程。数学学科有别于其他学科的一大特点就是要用数学知识解决问题。同学经过自己的努力初步理解和掌握了新的数学知识，要让同学通过做练习或解决简单的问题来检验自己预习的效果。

5.动手操作预习法

对于公式的推导等操作性较强的知识，要求同学在预习过程中亲自动手去实践，通过剪、拼、折、移、摆、画、量、观察、比较等活动，体验、感悟新知识。因为课堂中有动手操作的内容，自然少不了要通过熟悉教材，了解操作过程中所需要用到的工具、材料等，在课前准备好。同学只有亲历了数学知识形成的过程，才能知其所以然。

数学故事

在中国古典神话小说《西游记》中，据说唐僧师徒孙悟空、猪八戒、沙僧到西天取经，在平顶山莲花洞里，把想吃唐僧肉的妖怪金角王、阴角王都消灭了。然后，师徒们继续前行，他们遇到了一座又高又陡的山。当他匆匆赶路时，他看着风景，并没有意识到天色已晚。

故事发展到这里，小说写道:

......师徒们正在玩山景，信步时，早不觉红轮西落。它是:

十英里长的亭子没有游客，九楼的天空布满了星星。

八条河流对船只关闭，7000个县关闭。

六宫五府归官杀，四海三河钓尼龙。

两座楼前的钟鼓在响，月亮上挂满了干巴巴的鲲。

这首诗从10，9，8，7到6，5，4，3，2，1。星星和月亮点缀着夜晚。该停止工作了。该下班了。该关门了。路上没有人。那些从经文中学习的人应该找个地方休息。

为了学习经文，穿越山川是极其困难的。征服恶魔甚至更危险。八戒要回家，唐僧心里打鼓。幸运的是，孙悟空不断地鼓励大家去看看沿途群山和森林的宁静景色，放松一下。小说中的这首山水诗只是紧张情节中一点轻松的琐事和一点解脱。所有的十个数字都嵌在诗中，数字从大到小颠倒过来，成为一首独特的“对等诗”，增加了更多的趣味。

《西游记》是明代吴承恩写的，已出版400多年。根据我们目前的数学习惯，我们用阿拉伯数字写出诗歌中的数字，并把它们按顺序排列成一串

10987654321

现在让我们玩一个小数学游戏:使用上面写的十个数字，在不打乱顺序的情况下添加适当的数学符号，并形成十个公式，这样计算结果分别等于10、9、8、7、6、5、4、3、2和1。

很容易形成任何一个公式。要形成一套完整的十个，你必须动动脑筋。如果组成十个公式的方法改变了，那就更有趣了。

您可以形成许多满足条件的公式。这是其中之一。

10+9-8-7+6+5-4-3+2×1 = 10；

(10+98+76)×5÷4(3+2)+1 = 9；

(10+9+8-7)×6÷5÷4+3-2+1 = 8；

(109-87 )( 6+5)+4+3-2×1 = 7；

(10+9+8-7-6)×5-43-21 = 6；

(10+9+8+7+6)5-4(3-2)+1 = 5；

10×9-87+65-43-21 = 4；

(109-8+7)6-54 3+2+1 = 3；

(109+87-6)5-4-32×1 = 2；

(10×9-87 )( 6×54-321)= 1 .

涉及交点情况

■找交点及交点个数：已知交点的某一横坐标，代入即可求出其纵坐标，反之亦然；当要求交点坐标时，将反比例函数与一次函数联立方程组，进行求解；

■求解交点个数：将一次函数和反比例函数联立方程组的解的个数就是交点个数。

■求解析式：求解析式一般需要函数图像上的点的坐标，函数图像上有几个未知数，一般需要找几个点。反比例函数的综合应用中，通常寻找交点的坐标，从而得出解析式并分别求得解析式中的常数值。

初二数学知识点：分式的通分

①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；

Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

常见考法

（1）由点的位置确定点的坐标，由点的坐标确定点的位置；（2）求某些特殊点的坐标。

误区提醒

（1）求点的坐标时，容易将横、纵坐标弄反，还容易忽略坐标符号；（2）思考问题不周，容易出现漏解。（如点P到x轴的距离为1，这里点P的纵坐标应当是，而不是1）。

【典型例题】（2010江苏常州）点p(1,2)关于x轴的对称点p1的坐标是，点p(1,2)关于原点O的对称点P2的坐标是。

【解析】关于x轴的对称点的坐标是横坐标不变，纵坐标相反，关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标都要乘以-1，故本题应当填(1,-2),(-1,-2)。

一般解法：

ⅰ去分母：两边同乘以各分母的最小公倍数；

ⅱ去括号；

ⅲ移项：移项要变号；

ⅳ合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；

ⅴ系数化为1：两边同除以未知数的系数,得到方程的解x=b/a。

一元一次方程的应用(重点难点)：

列方程解应用题的关键是：仔细审题，找出能正确表达题目整体数量关系的一个相等关系，再设未知数，并将这个相等关系用含未知数的式子表示出来。

几种常见问题：

1.和差倍分问题：这类问题主要是正确理解是几倍“增加了几倍”“增加到几倍”“多少”“大小”“不足“剩余”等关键词语的意义。

2.行程相遇问题：三个基本量的关系路程=速度×时间

(1)两人在圆形跑道上同时同地背向而行求首次相遇时间:甲的路程+乙的路程=一圈的长度(直线路上两人面对面行走首次相遇的时间求法与之相同)；

(2)两人在圆形跑道上同时同地同向而行求首次相遇时间:快人的路程-慢人的路程=一圈的长度。

3.工程任务问题：三个基本量的关系:工作量=工作效率×工作时间

一般情况下，把全部工作量看做1(即100%)，工作效率=1／工作时间(各个量一定要对应,自己的效率乘以自己的时间等于自己的工作量)。合作效率=各个人的效率之和。

4.利润问题：利润=售价-成本=成本×利润率；利润率=利润÷成本；实际售价=标价×折扣率。

5.分配问题：例：某车间有22名工人加工生产一种螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓120个或螺母200个，一个螺栓要配两个螺母(建立等量关系的依据)，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套？

6.水上航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度。

应用举例：

1.一本书，小明第一天读了十分之一，第二天读了10页，已读的是未读的1／4,请问这本书一共有多少页?

等量关系：已读的+未读的=总页数(或已读的=总页数-未读的，未读的=总页数-已读的)。

2.某服装七月份下降了10%，八月份上升了10%，则八月份价格与原价比()

A.不变B.增加1%C.减少9%D.减少1%

注意：不要误以为不变,百分数的基数不一样会变化,7月份是在原价基础上下降10%,8月份是在7月份基础上上升10%而不再是在原价基础上上升。

3.甲乙两人在400米的圆形跑道上跑步,甲每秒跑9米,乙每秒跑7米,

(1)当两人同时同地背向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?

(2)当两人同时同地同向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?

分析(1):设经过x秒首次相遇。两人加起来跑完一圈即400米时首次相遇,所以等量关系式是:甲的路程+乙的路程=一圈的长度400米甲的路程=甲的速度×时间x乙的路程=乙的速度×时间x得到方程:9x+7x=400

(2)设经过x秒首次相遇。同向首次相遇,即快的人多跑一圈与慢的人相遇,所以等量关系式是:快人的路程-慢人的路程=一圈的长度400米,在这即是甲的路程-乙的路程=400。

4.一项任务,甲独做需x天,乙独做需y天,若两人合作需________天

分析:合作时间=工作量／合作效率工作量=1合作效率=甲的效率+乙的效率

甲的效率=工作量／甲的时间=1／x乙的效率=工作量／乙的时间=1／y

∴合作时间=1／(1／x+1／y)

5.某种商品每件的进价为250元,按标价的9折销售时,利润率为15.2%,这种商品每件标价多少元？

分析：设标价x元,等量关系:利润(求)÷成本(已知250元)=利润率(已知15.2%)

利润=实际售价(标价的9折即90%x)-成本250

∴(90%x-250)／250=15.2%

练习：小明、小红买工具，所带钱之比为7：6，小明用掉50元，小红用掉60元，两人余下钱之比为3：2,，求他们分别余下多少钱？

同学们，你们一定都知道“乌龟和兔子赛跑”的故事。骄傲的小兔子在路上睡着了，被乌龟留下了。今天，小兔子厚颜无耻地来到了乌龟的家。

“龟哥哥，快开门！”

“哦，是白兔姐！我不认为你是来比赛的！”

“没错，让我们走吧！”

随着裁判猴子的命令，乌龟和兔子开始拼命跑。经过5分钟的长时间等待，结果终于宣布了。兔子吸取了上次比赛的教训，以绝对优势赢得了冠军。在这场比赛中，兔子遥遥领先，当它到达终点线时领先乌龟100米。乌龟不相信。他提议让兔子离开起跑线100米，然后再跑一次，说他们可以同时到达终点线。兔子同意了，但结果仍然是兔子赢了。

乌龟很困惑，邀请了山羊博士。“医生，你知道这是怎么回事吗？”山羊博士沉思了一下，说道:“兔子每分钟跑250米，而你每分钟只能跑20米。她跑1000米，你同时跑900米，而兔子跑1100米的时间比你跑1000米的时间短，所以兔子仍然赢了。”“医生，如果我和兔子同时到达，我应该在她前面跑多少米？”

“一只兔子跑1000米需要4分钟，但你4分钟只能跑80米，所以你应该跑在兔子前面920米。”

“非常感谢，非常感谢，慢慢走，山羊博士……”

生命之源对数学充满兴趣。在这里，我为每个人编了一些小学生的数学故事。我希望济南的父母和孩子们能够理解数学，并且幸福地热爱数学。

小学生的数学故事:乐乐球的数学

小舒看了电视上的乐乐球广告，觉得很有趣。她告诉父母她想玩乐乐球。

星期天，爸爸带小舒去玩具店买乐乐球。当她到家时，她迅速打开塑料袋，拿出来玩。但是拿出记分卡后，她愣住了。我心想，“我怎么才能得分？”我看到计分袋里有8张有这样数字的牌:1，2，2，5，10，10，20，50。小舒非常着急，他喊道:“爸爸，快来。”“为什么？”爸爸说着走了过来。小舒指着卡片说，“你认为这样会得多少分？一次一点，但是没有足够的牌。它是错误的包吗？我们去商店换衣服吧。”我父亲慢慢地说，“没什么错。你可以记住它。请仔细观察，用你的头脑。”

萧舒皱了皱眉头，把八张卡片放在桌子上，看了看它们，然后又开始把它们放了起来。突然，他的眼睛亮了:“对了，爸爸，我知道。”小舒说:“你看，如果你得到1，你就用1；如果你得到2，你得到1，然后变成2；如果你得到3，你就加1；如果你得到4，你得到1，然后变成2，...使用这8张卡片来记住100分以内的所有分数真的很有趣。”小舒很开心。我父亲说，“当我测试你的时候，我怎么记得48分？”小舒拿起一张写着20的卡片和两张写着10的卡片说:“这是40。”之后，他拿起三张数字为5、2和1的卡片说，“这些加在一起就是48。”爸爸笑了。

一、坐标

1、数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫这个点在数轴上的坐标。数轴上的点与实数(包括有理数与无理数)一一对应，数轴上的每一个点都有唯一的一个数与之对应。

2、平面直角坐标系由互相垂直、且原点重合的两条数轴组成。横向(水平)方向的为横轴(x轴)，纵向(竖直)方向的为纵轴(y轴)，平面直角坐标系上的任一点，都可用一对有序实数对来表示位置，这对有序实数对就叫这点的坐标。(即是用有顺序的两个数来表示，注：x在前，y在后，不能随意更改)坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的，每一个点，都有唯一的一对有序实数对与之对应。

二、象限及坐标平面内点的特点

1、四个象限平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限(或第Ⅰ象限)、第二象限(或第Ⅱ象限)、第三象限(第Ⅲ象限)和第四象限(或第Ⅳ象限)。

注：ⅰ、坐标轴(x轴、y轴)上的点不属于任何一个象限。例点A(3，0)和点B(0，-5)

ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变;坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标也相应发生改变。

2、坐标平面内点的位置特点

①、坐标原点的坐标为(0，0);

②、第一象限内的点，x、y同号，均为正;③、第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正;

④、第三象限内的点，x、y同号，均为负;⑤、第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负;

⑥、横轴(x轴)上的点，纵坐标为0，即(x，0)，所以，横轴也可写作：y=0(表示一条直线)

⑦、纵轴(y轴)上的点，横坐标为0，即(0，y),所以，纵横也可写作：x=0(表示一条直线)

例：若P(x,y),已知xy>0,则P点在第____________象限，已知xy

3、点到坐标轴的距离坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴(y轴)的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴(x轴)的距离。

例：点A(-3，7)表示到横轴的距离为_______，到纵轴的距离为_______;点B(-9，0)表示到横轴的距离为_______,到纵轴的距离为_______。

注:①、已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，可能有多个解的情况，应注意不要丢解。例：点P(x,y)到x轴的距离是3，到y轴的距离是7，求点P的坐标为________________。

再例：已知A(3，2)，AB平行x轴，且AB=4，求B点的坐标为___________________。

②、坐标平面内任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)之间的距离公式为：d=根号下[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]

4、坐标平面内对称点坐标的特点

①、一个点A(a,b)关于x轴对称的点的坐标为A(a,-b),特点为：x不变，y相反; 例：A(-3，5)关于x轴对称的点的坐标为A(____,____)

②、一个点A(a,b)关于y轴对称的点的坐标为A(-a,b),特点为：y不变，x相反;例：A(-3，5)关于y轴对称的点的坐标为A(____,____)

③、一个点A(a,b)关于原点对称的点的坐标为A(-a,-b)，特点为：x、y均相反。例：A(-3，5)关于原点对称的点的坐标为A(____,____)

5、平行于坐标轴的直线的表示

①、平行于横轴(x轴)的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a(a为纵坐标)的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值;

②、平行于纵轴(y轴)的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b(b为横坐标)的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值。

例如：直线y=-5上与点A(-3，-5)距离为8的点P坐标为：________________________;

直线x=6上与点B(6，7)距离为9的点K坐标为：_________________________。

6、象限角平分线的特点

①、第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等(同号);例：A(3，____)和B(-5，____)均在第一、三象限的角平分线上。

②、第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)。例A(-3，____)和B(5，____)均在第二、四象限的角平分线上。