算数学的妙招(合集20篇)

一、用字母表示数和代数式

【知识点总结和归纳】

一、用字母表示数定义和需要注意的事项：

1、定义：用字母表示数，就是为了把数量和数量关系一般而又简明的表示出来，为研究和叙述问题带来方便。最常见的就是我们的各种公式。

2、需要注意的问题有：

同一问题中不同的东西的数量要用不同的字母表示。

B、用字母表示数具有任意性，但要考虑实际意义或取值范围，如a个人，a肯定是自然数；（不能是负数，也不能是分数或者小数。）如树上有N只猴子，n的取值范围是自然数。

二、代数式：

定义：代数式是用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也是代数式。

代数式的值，根据题目的要求，用具体数值代替代数式中的字母，求得的结果就是代数式的值。

二、整式

【知识点总结和归纳】

1、整式：单项式和多项式统称整式。

2、单项式：表示数字与字母的乘积的代数式，叫做单项式。

3、单项式的系数：单项式中的数字因数。

4、单项式的次数：单项式中所有字母的指数和。（这个很重要，很多同学容易记不清）

需要注意的是：单项式的次数只与字母有关，和数字与π无关，切记，π是数字，不是字母哦。

5、多项式：几个单项式的和叫做多项式（单项式加减在一起，就是多项式了）

6、一个多项式中，每个单项式叫做这个多项式的项（这个地方需要说明的是，加号和减号都是单项式的符号，切记切记）,不含字母的项叫做常数项。

7、多项式的次数：取最高次项的次数为次数。

三、整式的加减（合并同类项和去括号）

【知识点总结和归纳】

一、合并同类项：

1、同类项定义：同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。（考试重点）

2、合并同类项的方法：就是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

3、合并同类项的步骤：

A、找出同类项

B、将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变

C、写出合并后的结果

注意：同类项与字母的顺序无关，如3x2y和-5yx2也是同类项。

合并同类项时，只把系数相加，其他的都不变。

单项式前面没有数字因数的时候，那么这个单项式的系数为1.如abc它的系数为1；如果单项式前面只有一个负号，没有其它数字时，那么这个单项式的系数为-1.如-abc的系数为-1。

在计算合并同类项的时候，只需系数相加即可，例abc+bac=2abc，-abc+abc=0

二、去括号：

1、去括号口诀：括号前面是加号，去掉括号和加号，括号里面各项不变号。

括号前面是减号，去掉括号和减号，括号里面各项都变号。

2、括号里面的首项如果没有符号，其实是省略了+，如果要变号，不要忘了。

3、求代数式的值：有括号先去括号，然后合并同类项，最后求值。

三、整式的加减

整式的加减就是同类项系数的加减。做整式的加减题目就是去括号合并同类项的一个过程。

具体步骤：1）根据题意，列出式子。

2）有括号，先去括号

3）合并同类项

四、探索与表达规律

【知识归纳与总结】

探索规律是一个通过观察、分析、比较、综合、猜想等一系列的思维活动，运用已知的数学知识与数学方法通过推理与计算得出式子中隐含的结论。

方法点评：

①、先找到规律题里面的n，n有时候是从1开始，有时候是直接在题目中告诉你（如三棱柱，四棱柱，五棱柱，n棱柱）

②、通过前几个提示，准确找到用n表示规律的式子，列出来（点睛，一般n都是主导变化的某一个量，因此，找到不变的量，剩下的就是含有n的量）验证你的结论，并作答。

米切尔和罗克正朝乌什的领导所在的大茅屋跑去。突然，有东西绊了他们的脚。罗克先摔倒在地上，米切尔也摔倒了。罗科回头一看，发现一根长绳子绊倒了他们。

“别动！”随着喊声，两个蒙面人从树后跳了出来，每个人都拿着一把锋利的刀，一个又高又胖，另一个又矮又瘦。高个子男人用绳子把米切尔绑起来，矮个子男人把罗科绑起来。他们推推搡搡，把米切尔和罗克押到右边的一条路上。

米切尔边走边喊道:“黑塔，别以为你遮住脸，我就认不出你了！你为什么绑架我们？”

“黑塔？”罗科心想，“那个高个子是黑塔。这个矮的一定是个戴眼镜的小家伙！他今天为什么不戴眼镜？我要试试他的视力。”罗科在前面找到了半个树桩。罗科故意跨过树桩，但他身后的矮个子男人没有看见。“扑通！”他被树桩绊倒，咬了一口。

"哈哈"罗科笑着说，“他是黑塔。你一定是个戴眼镜的小个子男人！你为什么不戴眼镜？我一无所获。”

小个子男人从地上站起来，拍拍身上的灰尘，从口袋里拿出眼镜，戴在鼻子上。他推了推罗科，示意他继续前进。又走了一段路后，前面有一个小茅屋，两个蒙面人把罗克和米切尔推了进去。

这两个人收起了锋利的刀子，脱下了带兜帽的衣服。是黑色的铁塔和戴眼镜的小个子男人。他们俩都能说一口流利的英语。

戴眼镜的小个子男人笑着说，“这两个人都受了委屈。米切尔，你正在尽一切可能寻找一百年前被老领袖埋葬的宝藏。黑塔和我也一直在寻找这个宝藏。如果我们不秘密交谈，谁得到宝藏，谁就是神圣部落的真正主人，也是这个岛国的真正主人。”

米切尔愤怒地问道，“当你在这里绑架罗克和我的时候，你到底想干什么？”

小个子男人把手放在眼镜上说，“罗克是中国人。他不可能知道我们神圣部落的秘密。否则，他会把这个秘密传播出去，一些外国的好运战士会来抢走它，这会给我们部落带来灾难。”

米切尔反驳道，“100多年来，没有人发现宝藏的秘密。罗克帮助我们揭开了神秘的面纱。”

“是的，是的。”小个子男人用手示意说，“罗科帮了大忙。我能清楚地听到你们两个在山洞里和外面黑塔之间的对话。你的计算结果是从洞口向前33步，向右32步，向下100个手指。我们也知道！”

“不可能！”米切尔不相信小个子男人的话。他说:“当洞口离我们说话的地方很远，而我们两个人的声音很小的时候，你怎么能听到我们呢？”

“嘿嘿。”小个子男人笑着说，“几个月前我们修好了这个洞，我们用‘鸟雀秀耳朵’听到了这个声音。"

“什么是‘刁妮秀的耳朵’？”米切尔不明白。

小个子男人指着罗科说，“我不明白你为什么要问这位伟大的数学家！”

米切尔问道:“罗克，你知道什么是‘刁妮秀的耳朵’吗？”

“是的。”洛克说，“在古希腊，西西里的统治者雕刻一个洞穴作为监狱。关押在山洞里的囚犯不能忍受这种不人道的待遇。晚上，他们秘密聚集在洞穴附近的石桌旁，低声谈论逃跑和暴乱的方法。然而，他们制定的计划很快就被警卫知道了。警卫事先采取措施阻止囚犯们同意的计划实施。囚犯们开始互相怀疑囚犯中一定有叛徒，但无论如何找到他们，都找不到告密者。后来才发现这个洞穴不是随意挖掘的，而是由一位名叫刁泥秀的官员专门设计的。他设计的洞穴监狱有一个椭圆形结构，而石桌在椭圆形的一个焦点上，守卫在另一个焦点上。这样，囚犯在石桌前窃窃私语的声音可以通过反射清晰地传到洞口守卫的耳朵里。后来，这个椭圆形结构被称为“鸟雀秀耳”。"

小个子男人看到米切尔不太明白，所以他把两个木桩A和B钉在地上，找到了另一根绳子。他把绳子的两端分别绑在木桩A和B上。小个子男人找到一根短棍子来拉紧绳子，把它拉成一条折叠线，朝一个方向画，然后画了一个椭圆。

小个子男人说，“两个木桩所在的a点和b点是椭圆的焦点。椭圆有一个重要的特性:从一个焦点发出的光或声音在被椭圆反射后都可以聚焦在另一个焦点上。“刁倪休斯尔”就是根据这种性质设计的，你明白吗

米切尔怒视着这个小个子男人，问道:“你打算怎么办？”

“我该怎么办？”小个子男人骄傲地说，“你和罗科先呆在这里，我去黑塔挖宝藏。对不起，先委屈你了！黑塔，我们走！”小个子男人和黑铁塔从外面匆匆出去，锁上了门，“噔噔噔”一溜小跑去挖宝藏。

罗科问，“我该怎么办？我们大声喊怎么样？”

“不，这是猎人的临时休息室。它很孤独，周围没有人。”米切尔摇摇头。

“我们只是在这里等吗？”罗克有点担心。

“你过来。”米切尔在罗克的耳边低语道，“我们能做这个，这个吗？？”罗克笑着点了点头。

谈话分为两部分。此外，戴眼镜的小个子男人和黑色的铁塔去挖宝藏了。他们来到洞穴的入口，黑塔说，“在离开洞穴的入口前走33步。我走着去。”说着黑塔向前迈了一大步。

“慢点！小个子男人拦住了黑塔，说道:“你有1.90多米高，而我不到1.60米高。你走的距离离我很远。你走了33步吗？还是我走了33步？"

“这个？？”黑塔拍了拍它的头，想了一会儿说:“没有多少人像我这么高，也没有多少人像你这么矮。我想我们可以这样做。我会走33步停下来，你会走33步停下来。占据我们位置的中点是不合适的。”

“是的，我们不妨试一试。”小个子男人说着，带着黑塔走了上去。

这两个人试了一次，挖了一个深坑。什么都没有。这两个人又试了一次，挖了另一个深坑，但仍然一无所获。这两个人在左边挖了一个坑，在右边挖了一个坑。他们在一个下午挖了十几个坑，但仍然一无所获。当太阳即将落山时，两个人坐在地上，一个劲儿地擦汗。

突然，戴眼镜的小个子男人想起米切尔和罗科还锁在小屋里。他拉起黑色的铁塔，跑进小屋。他用钥匙打开门，看到房子里只有两条绳子绑在米切尔和洛克身上。没有人在那里！

他可能已经走了48步或16步。"

黑塔说，“小家伙，你真的很擅长数学！然而，你是走了48步还是16步？”

小个子男人说:“按照48级台阶，他每级只能走0.33米，这太小了。按照16步，每一步正好是1米。对你这样身材的人来说，一次走一米几乎是一样的。”

“太好了！”黑塔高兴地跳了起来，说道:“这次我们要用卷尺向前测量33米，然后右转再测量32米，这样我们就可以找到宝藏的确切位置了。哈哈，宝藏属于我们俩！”

小个子男人相对平静，他说，“刚才的距离不对。我们花了半天时间挖掘。在不知道需要多长时间的情况下，似乎不可能找到宝藏的确切位置。这叫做“一英里短，一英里短！”说完后，他兴奋地走到有黑色铁塔的洞口。

发生什么事了？山洞的入口被一块大石头从外面堵住了！虽然黑铁塔很坚固，但因为洞口太小而不够坚固，黑铁塔用了很大的力气，挡住洞口的大石头纹丝不动。

小个子男人拍着他的大腿说:“唉！让我们上当吧！是罗克把我们骗进了山洞。他们从外面用大石头把它堵住，然后他们就可以安全地挖掘宝藏了。”

黑铁塔失去了它的霸气。他低下头，沮丧地说:“我不知道我在这个山洞里呆过多少次。我从未在大石头上见过这些线条。很明显，岩石把它们分开了。”两个人不能出去，所以我们必须等着有人来救我们！

是的，这正是罗科设置的陷阱。他把小个子男人和黑铁塔骗进了洞里，并用一块大石头从外面堵住了洞。米切尔并不放心，而且顶上还有一大块木头。

米切尔笑着说:“即使黑塔有100万磅的力量，你也不能推开这块石头。”

罗科拿起测量过的绳子，开始测量距离，向前测量33倍，向右测量32倍。罗科说，“好吧！这就是宝藏的确切位置。”

米切尔指着远处一个新挖的坑说，“真是个谜！差点被小个子挖出来。”

这两个人正要开始挖掘，突然一名士兵跑过来冲他们喊道:“罗科，米切尔，尤希长官有重要的事情要找你。告诉你们两个马上走！”

“啊，乌兹首领在找我们，莫非？？”

二、填空题

1（2014年山东泰安第17题）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（）

【分析】：根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．

【解答】：由图可知，m＜﹣1，n=1，所以，m+n＜0，

所以，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1），

反比例函数y=的图象位于第二四象限，

【点评】：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．

2（2014.福州第10题）如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于E，F两点.若AB=2EF，则k的值是【】

【考点】：1.反比例函数与一次函数交点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.相似三角形的判定和性质；4.轴对称的性质.

诗是古代中国广为流传迄今的一项丰富的文化艺术方式，另外也是古时候文化教育中十分关键的一部分。运用诗的平仄规律性和句型构造等特性，还可以将诗文作得富有趣味性，回文诗便是趣诗里的一种方式。回文诗将词语依照一定的规律性排成诗，不论是依照次序阅读文章還是依照倒序从诗的最终一个字读到第一个字，都能详细成诗且顺口。唐宋八大家之一苏东坡也做过回文诗。

苏东坡有两首七绝回文诗，一首是“空落花尽酒倾缸，日进山融冰化雪涨江；红焙浅瓯新火活，龙团小碾斗晴窗”，倒读即“窗晴斗碾小团龙，活火新瓯浅焙红；江涨雪融山顶日，缸倾酒尽花落空”；其二是“酡颜玉碗捧纤柔，乱点视线唾碧衫；歌咽水云凝静院，梦惊松雪成空岩”，倒读即“岩空落流苏树惊梦，院静凝云水咽歌；衫碧唾光余点乱，纤柔捧碗玉颜酡”。这两首诗，不但正读可成诗词，从最终一个字倒读到第一个字也十分有诗意。

在数学中，也是有与回文诗相近的数字。比如121、23432那样正读与倒读都一样的数字。

回文数是休闲娱乐数学课的一个定义，说白了，休闲娱乐数学课的特性与趣诗相距并不大，全是为趣味性而作。对随意正整数来讲，回文数的总数是无尽的，由于要是头尾数字同样且非零，在中间的数位中能够 添充随意总数的0，就可以组成无数回文数。因而，我们可以形象化地见到，针对一切进制而言，回文数全是无尽多的。

虽然回文数一般 在十进制中应用，可是一般实际意义上的回文数可以运用于随意进制数字系统软件中的自然数，依据回文数从头开始读完尾与从尾读停止都完全一致的特性，大家可以得出那样的界定：回文数是个位；或回文数是2个同样数字构成的二位数；或当回文数有三个或三个之上的数位时，它的第一位与未尾数字同样，且除掉第一位和未尾数字后的第一位和未尾数字同样……为此不断直至剩下一位数或2个数字同样的二位数。

因而，在十进制下，全部的一位数字均为回文数；二位数中的回文数有9个，三位数中的回文数有90个……那麼四位数中的回文数有多少个呢？在一般状况下，n十位数中的回文数又有多少个呢？大家假定一个回文数有n个数位，它由本身的前个。

一元二次方程是初中数学的重要内容，是中考的热点，它是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程。应该说，一元二次方程是本书的重点内容。

一、目标与要求

1.了解一元二次方程及有关概念，一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单题目。

2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程，掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法，应用熟练掌握以上知识解决问题。

二、重点

1.一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。

2.判定一个数是否是方程的根;

3.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。

4.运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，领会降次──转化的数学思想。

5.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.

三、难点

1.一元二次方程配方法解题。

2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。

3.用公式法解一元二次方程时的讨论。

4.通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。

5.建立一元二次方程实际问题的数学模型，方程解与实际问题解的区别。

6.由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。

7.知识框架

四、知识点、概念总结

1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程有四个特点：

(1)含有一个未知数;

(2)且未知数次数最高次数是2;

(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

(4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足(a≠0)

3.一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)。

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项。

生命之源对数学充满兴趣。在这里，我为每个人编了一些小学生的数学故事。我希望济南的父母和孩子们能够理解数学，并且幸福地热爱数学。

小学生数学故事:充满数学的旅程

爸爸和聪聪一起去了一个城市。他们来到长途汽车站。公共汽车离开车站后不久，就通过了9公里的标志。我父亲指着正在向后移动的速度计卡对聪聪说:“在你看到的9个数字中，任何8个随机排列的数字都可以构成一个8位数。这8位数字中有些可以被12整除，而有些则不能。你能写出所有8位可被12整除的最大和最小的数字吗？”

聪聪起初觉得无法开始，但当他冷静思考时，他只用了一些算术知识来解决问题。让我们来看看聪聪的解决方案。

聪聪注意到以下四件事:第一，数能被12整除的条件是它能被3和4整除；第二，数字可被3整除的条件是:其位数之和可被3整除；第三，数可被4整除的条件是由十位数和十位数组成的两位数可被4整除。第四，从1，2，...9，它们以不同的顺序排列。如果要求这个多位数是最大的，那么大的数字应该放在尽可能高的位置。相反，如果要求这个多位数是最小的，那么小的数字应该放得尽可能高。

因为9个数字1，2，...，9是45，丢弃3、6或9后剩余的8个数的和可以被3整除。因此，最小的3被丢弃，然后最后两个数字的位置从大到小排列，这样由该排列形成的两个数字可以被4整除，从而获得满足父亲要求的最大的8个数字98765412。同样，丢弃9，并将其从小到大排列，这样由最后两位数字组成的两位数字可以被4整除，得到最小的12345768。

分组分解法

如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。

例如am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。

但如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式。

所以原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)。

再看，这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式

=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).

这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。

数学故事-土耳其商人和帽子

有一个土耳其商人想找一个助手。两个人来报名，商人想测试他们谁更聪明。他带着这两个人进了一所既没有镜子也没有窗户的房子，房子里有灯光。然后商人打开一个盒子说:“里面有五顶帽子，两顶红色的和三顶黑色的。现在我要关灯了。我们三个会碰一个，然后把它戴在头上。然后我会盖上盒子，打开灯。之后，你会尽快告诉我们你戴的是什么颜色的帽子。”他说完话后，就按照吩咐做了。当灯亮的时候，两个人都看见那个商人戴着一顶红色的帽子。过了一会儿，其中一个说，“我戴着一顶黑色的帽子！”这个人猜对了。想想看，他怎么猜对了？

思考:我们应该首先排除不可能，然后一步一步地排除不可避免的事情。

解答:正确的猜测是总共有两顶红帽子。这个商人头上已经戴了一顶红帽子。如果我戴了一顶红帽子，对方可以立即断定他戴了一顶黑帽子。

我们不能马上判断。显然，对方和我戴着同样的黑帽子。因为他领先一步，所以他猜对了。

数学故事-牵牛花照片

8月15日凌晨3: 30左右，一名保安在一栋建筑中被杀。看起来潜伏在大楼里的劫匪在被保安发现并杀死后逃跑了。

由于搜查的结果，嫌疑犯很快被发现，当晚，一个单身男子住在郊区。

警察立即赶到了他的家。

"今天早上3: 30你在哪里？"国际刑警正在询问他是否有不在场证明。

“那时，我起得很早，在我的院子里用一次性相机从初出茅庐的牵牛花到公开组每4分钟拍一系列照片。”那人指着院子角落里的一片牵牛花说，“这牵牛花大约在凌晨3点10分开始开花，大约40分钟后就结束了。我一直在拍照。”

把照片和花比较一下，确实是今天早上在院子里拍的。为了安全起见，警察把他们送到了一所大学的植物研究所，给他们看了照片，以了解牵牛花的开花时间。

根据调查结果，该地区的牵牛花在8月中旬最早在凌晨2: 00开花，通常在凌晨3: 00开始开花，大约在凌晨4: 00结束。这样，就确立了该男子不在犯罪现场的证据。从他家到犯罪现场，开快车不下一个小时。

然而，留在现场的指纹证明罪犯仍然是他。

他没有搭档，他用什么手段伪造这些照片？

学习完四边形专题的各个知识点，我们就需要掌握一些巧妙的解题方法~想必童鞋们都知道：在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线进行解题，下面小编介绍一些辅助线的添加方法。

1.和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。

（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形

（2）利用两组对边平行构造平行四边形

（3）利用对角线互相平分构造平行四边形

2.与矩形有辅助线作法

（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题。

（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题。和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。

3.和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题。

（1）作菱形的高

（2）连结菱形的对角线

4.与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多。解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。

5.与梯形有关的辅助线的作法

和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：

（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形

（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形

（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形

（4）延长两腰构成三角形

（5）作两腰的平行线等

数学故事——竹林中的珠宝

一天晚上，马来西亚首都吉隆坡的一处豪华住宅发生了一起入室盗窃案。一个海外中国百万富翁家庭的所有珠宝都被偷了。

有一次，小偷把偷来的东西带回了家，但由于害怕被警察发现，他们把它们装在塑料袋里，并在附近的竹林里挖了一个洞来埋葬它们。他计划在这里埋一段时间，然后自己出去避风。一天，当他从国外旅行回来时，他立刻被在家等候的警察逮捕了。

“这些珠宝是你埋在附近竹林里的。珠宝上有你的指纹。”当刑事警察打开塑料袋里的赃物时，小偷们目瞪口呆。

“谁发现了它并把它挖了出来？”他莫名其妙地问道。

“哈哈哈，谁没把它挖出来，它就出来了。把它埋在竹林里是你的错。”刑警带着幽默的微笑说道。

为什么会这样？

数学故事——一只六条腿的怪物

树林里有越来越多奇怪的东西。我不知道是什么整夜嚎叫。早上，白兔和山羊在地上发现了六只脚怪物的脚印。

小白兔跑过去喊道:“不！在树林里发现了六条腿的怪物。过来看看他们！”

每个人都来看这些奇怪的脚印。猴子问老山羊:“你知道这个脚印吗？”

老山羊拿出放大镜仔细看了看。他摇摇头说，“真是奇怪的事情！前四个脚印和狼的非常相似，但后两个不是狼的。”松鼠问:“那些是什么动物的脚印？”“有两个黑色的圆圈，我甚至看不到几个脚趾。”老山羊又摇了摇头。小白兔紧张地问，“这个怪物有四只狼爪子。它一定吃了我们的兔子。我们能做什么？”“嘿嘿！”猴子笑了两次。“我只见过6英尺高的小昆虫，还没见过6英尺高的大怪物。我想见见这个怪物！”猴子在鹿姑娘的耳边低语了几句。过了一会儿，鹿小姐拿着黑板跑了过来。她喊道,“兔子和野鸡今晚在森林里值班。小黑板上写着多少！”

夜幕降临时，月光透过树枝洒在地上。一只六条腿的怪物出现了。他有两个头串联在一起。头儿们不停地四处张望。不久，他发现一个小黑板挂在一棵树上。黑板上写着:

今天，兔子和野鸡在东区和西区值班。首先，在东边:如果15只兔子被15只野鸡取代，那么兔子和野鸡的数量是相等的；如果10只野鸡被兔子取代，那么兔子的数量是野鸡的三倍。此外，在西部，西部的兔子数量等于东部的野鸡数量，西部的野鸡数量等于东部的兔子数量。

“哈哈，兔子！”前面的负责人喊道。“嘻嘻，野鸡！”后面的负责人喊道。前面的头说:“兄弟，你数的是哪只兔子？”

“说得好。”后面的头说:“我敢肯定，东方的兔子比野鸡多30只，否则，我们怎么能把15只换成相等的呢？”

前面的头说，“是的！这假设有x只野鸡和(x+30)只兔子，那么根据条件可以得到x+30+10=3(x-10)，并且可以得到x=35。换句话说，东方有35只野鸡，所以有65只兔子。在西边，正好有65只野鸡和35只兔子。”“哈，东方有很多兔子。让我们去东方。”前面的头朝东。“不，西方有许多野鸡。向西走。”后面的头朝西。只听到一个“声音”，一个怪物变成了两个。

所谓"自主学习"是指在教学过程中，学生在学习时表现出的自觉性、积极性、独立性特征的总和，下面小编就和大家分享小学数学自主学习方法，希望对大家有帮助!

小学数学自主学习方法1

明确参与教学活动的目标

教学过程是一种简约的、经过提炼的认识过程。这个过程中，学生的观察、操作、讨论等实践活动都带有明确的目的性，都是学生获取知识、巩固知识、运用知识、发展智力、培养能力的重要手段，这样的参与活动是紧密地围绕着教学目标进行的，而不是盲目的、形式主义的。

例如，在四年级家校半日活动公开课上，我执教了《平均数》一课。为了让学生理解平均数的含义，掌握求平均数的方法，我引导学生进行了三个层次的参与活动。

1.复习铺垫。口算：(22+38+30)÷3(4+3+4+5)÷4，(52+48)÷2(7+9+8+6+10)÷5。

2.实践操作理解平均数的含义。(1)有三堆小棒、第一堆放3根，第二堆放4根，第三堆放5根。平均每堆有几根?(2)读题讨论。①这三堆小棒数量相等吗?②平均每堆有几根指的是什么?③用什么方法使三堆小棒同样多?(3)学生经过讨论、操作出现了二种方法。

3.归纳说理小结。在学生的观察、思考、讲述后，我进一步追问：怎样使三堆小棒数量相等?学生说思考过程后，这时教师小结：把多的给少的，移多补少得到的这个相同数就是这几个数的平均数。使学生在操作、观察、探索思考中，理解了平均数的含义。

从以上的例子可以看出，课堂教学中的学生参与活动是在教师指导下，有目的地进行的。因此充分发挥教师主导作用，明确参与目标，才能提高学生主动参与的效果。

让学生自己去发现问题

在教学中，把学习主动权还给学生，让学生自己主动发现问题，探索新知，这对学生自己来说印象、感受最深，理解得也最深刻。在课堂教学中，我力求培养学生这种自主探求，积极思考的良好品质。如：在学习了一步计算的应用题后，我出示了这样一道补充问题的应用题："饲养场买来黑兔12只，白兔24只，____?"并鼓励学生可以通过各种想法，提出不同的问题。思考之后学生提出："黑兔和白兔一共多少只?白兔比黑兔多多少只?黑兔比白兔少多少只?再买多少只黑兔就和白兔同样多了?白兔的只数是黑兔的几倍?"短短几分钟，没有经过老师任何提示，学生积极主动，自主学习得出了5个问题。这样做学生既灵活运用了知识，又掌握了本课学习的重点，其教学效果要比我一味地讲解好得多。可见，如果学生主动参与到学习的过程中，就会大大提高课堂效率。

让学生敢想、会说

要培养学生的自主学习能力，首先要让学生敢想。课堂上要给学生足够的动脑筋去想的时间，让学生有机会肯动脑筋去想问题。值得一提的是，在这一过程中应该保护学生的心理安全。我有时会在课堂中听到这样的话语："你真笨，这个问题我都跟你讲过多少次了，还做不出来?""你有没有脑子!"等等。可是我想，如果学生一边在解题，一边还在担心这样想会不会挨老师的批评，哪将是一种什么情景?缺乏安全感的学生通常都不敢越雷池半步，更谈何发展个性，培养创新能力了。让学生有心理上的安全感，这是非常重要的。在教学中，我对学生总是多鼓励，少批评，说错的并不是马上给予否定。"好的，听听别的小朋友是怎么说的?""动动脑筋，你能行!"经过一段时间的实践，我发现学生发言的积极性大大提高了，课堂讨论也热烈多了，学生的思路也更开阔了。

其次，要让学生会说。语言是表达思维的重要方式，语言和思维的发展是密切相关的。而小学生的语言表达能力和思维能力的发展又表现为不同步性，分析问题往往看到了、想到了就是表达不出来，再加上数学学科特有的抽象性、逻辑性，使学生更是感到无从说起。针对这种情况，在平时的教学中，我首先不断鼓励学生使他们敢说、爱说，怎样想就怎样说，说错了再重说，培养学生慢慢学会说话。其次，课堂中我充分利用讨论的机会，锻炼学生去说。组内能解决的问题，尽量自己解决，发挥学生的主观能动作用。例如，在学习"时分的认识"一课时，学生对"时针指在2、3之间，分针指在11"时，是2时55分还是3时55分出现了不同意见，我让学生结合自己手中钟表模型分组讨论、探索，最终得出了统一答案。这个答案不是老师强加的，而是通过学生自己的讨论、说理共同得出的。这样就能够更牢固地记住这一知识点。在获取知识的同时，表达能力也得到了很好地锻炼。还有，在教学过程中，一些简单的例题我会让学生自学，有能力的就模仿老师到讲台上给大家讲解，说说自己对知识的理解，为什么这样理解，表达出自己的思维过程。这样，让他们始终觉得自己是学习的主人，变要我学为我要学。

总之，近年来我始终把培养学生的自主学习能力放在第一位，让他们锻炼自我、展示自我，课堂教学收到了良好的效果。家校半日活动的《平均数》，校际交流活动中《复合应用题》，都受到了领导、家长和老师的一致好评。平时的教学质量也始终在稳步上升，在这次区四年级数学期末抽查中，我执教的两个班级，128位学生，以平均分85.9分和86.7分，使我校四年级获得了区平均分第一名的佳绩。通过这几年来的实践，课堂上学生发言积极，讨论热烈，整个课堂气氛异常活跃，学生的综合素质得到了很大的提高。

实践证明：小学数学课堂教学只有让作为主体的学生通过自己的双手亲自实践，运用自己的大脑主动地去思考，去发现和创新，使学生体会到自己就是学习活动中的发现者、研究者和探索者，才能充分调动学生学习的主动性和积极性，才能真正发挥学生的主体作用，才能切实、有效地实施素质教育。

看了小学数学自主学习方法的人还看：

小学数学自主学习方法2

一、激发学习兴趣，体验成功

1、为学生体验成功创设条件

要为学生体验成功创设条件，首先，对学生要予以成功的期待，因为教师对学生期待具有很大的感召力和推动力，能激起学生潜在力量，激发向上的学习主动性。教师的一举首，一投足，一个期待的眼神，一句鼓励的话语，一个真诚的微笑，都有可能激起学生求进的力量。其次，创设使他们都能获得成功的机会，进行分层教学，对不同层次学生提出不同的目标要求，精心设计练习，布置分层作业。其三，展示成功，让不同层次学生的学习成果得到展示的机会，营造享受成功的情境，促使其主动地参与学习。

2、培养学生获取知识的能力

我想，数学教学应该要彻底改变重结果、轻过程的一种倾向，不仅要向学生传授知识，而且更重要在于使学生在主动获取知识、解决问题的过程中积极思考，让他们在动手、动脑、动口的过程中懂得如何学习数学;在概念、法则、公式的推导过程中，体会数学知识的来龙去脉，从而培养其主动获取数学知识的能力。在教学中，我教给学生的是科学的学习方法，而不是一味的灌输。让他们养成良好的学习习惯，发展他们独立学、思、用的能力，只有这样才能真正地使学生喜欢学习，主动学习。

二、创设"开放型"课堂教学环境

课堂教学环境是课堂内各种因素的集合。"它是由课堂空间，课堂师生人际关系，课堂生活质量和课堂社会气氛因素构成的课堂生活情境"。那么，什么是"开放"呢?《现代汉语词典》这样解释："开放，即解除禁令、限制、封锁等。""开放型"的课堂教学是一种需要新思想的教学，把思维的空间留给学生，这是开放式教学必要条件。开放式数学教学不仅是一种教学模式，更是一种数学教学思想。

在创设"开放型"课堂教学环境时，我力求做到：

1、使学生在思考问题过程中有一定的开放度。

简单说教学就是"教学生会学"，一个好的开放的教学情景是一节课是否是开放式教学的必要条件。

如在教学"比多(少)求和"两步计算应用题时，教材有这样一个例题：果园里有梨树1480棵，桃树比梨树少280棵。梨树和桃树一共有多少棵?我在教学此例时没有直接单一的引入例题，而是让学生自己来编出多个以最后"求和"为基本数量关系的应用题。采用开放性的编题引入，使学生在主动建构的过程中，认识这类两步计算应用题的横向联系，从整体上把握了解题规律，同时在这一过程中训练了思维能力，使学生体验到获取新知的成功感。

2、设计"开放型"的训练题

在数学教学中，我精心构思以下四类情况的习题：

(1)答案不唯一。也就是一题有多个解答结果，而且大部分的题在解出不同结果的同时能总结出解题规律。例如，我在教学数的大小比较时出了这样一题：写出六个小于+3的数。学生写出了很多不同的答案，但是得出了相同的规律，那就是在数轴上+3左边的数。

(2)条件不唯一。学生通过对题目先从不同角度补上条件，然后解答。这种训练我在教学应用题时用的较多，如要求学生补上一个条件使它成为三步计算应用题："某电器厂今年四月份生产洗衣机240台，____，四、五月份共生产多少台?"此题条件的补充方法很多，我所要求的是让学生可根据自己的能力补充不同条件，解答出结果。这就体现了对不同层次学生的不同要求。

(3)问题不唯一。也就是使学生在补充不同问题中，得出不同的解答。如："一个运输队运送面粉，上午运走240袋，每袋50千克;下午运走480袋，每袋是50千克。"学生可以补上如下问题：这一天共运走了多少千克?下午比上午多运多少于克?下午运送的重量是上午的多少倍?下午比上午多运多少袋?

(4)解法不唯一。一道题思考的方法不一样，那么它的解题策略也就不一样。比如应用题可用算术解，也可用方程解，而同样是列方程解应用题，找到不同的等量关系，列出的算式也不同。

通过设计"开放型"的训练题，培养了学生的发散思维、求异思维、直觉思维和辩证思维，而这些都是创新思维的基本组成，可以充分培养学生的自主学习能力。

圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心：

圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴：

半径相等的圆是等圆：

能够重合的圆叫等圆：

过圆心的线段是直径：

在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合：

三点确定一个圆：

平分弦的直径垂直于这条弦：

垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧：

连接圆上任意两点的线段叫弦：

弦是直径：

直径是弦：

和半径垂直的直线是圆的切线

半圆是弧：

弧是半圆：

小于半圆的弧是优弧：

弧分为优弧和劣弧：

半径相等的两个半圆是等弧：

度数相等的弧叫等弧：

长度相等的弧是等弧：

能够互相重合的弧是等弧：

优弧大于劣弧：

一条弦所对的两条弧，不是优弧就是劣弧：

一个三角形只有一个外接圆：

三角形的内心到三角形的三个顶点相等：

三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点：

三角形的内心是三角形三个角的平分线的交点：

三角形的内心不在三角形的内部：

直角三角形的外心是其斜边的中点：

等弧所对的圆心角相等：

相等的圆心角所对的弧相等：

相等的弦所对的弧相等：

在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等：

顶点在圆心的角是圆心角：

顶点在圆周上的角是圆周角：

直径所对的圆周角是直角;

在圆的内部的四边形是圆的内接四边形：

四个顶点在圆上的是圆是圆的内接四边形;

圆内接四边形对角相等;

圆的内接四边形一个外角等于与它相邻的内对角;

三、统计概率教学中的困惑

2．天气预报经常说，降水概率是80%，学生的理解有很大的偏差

在杭州问一个老太太，说下雨概率是80%怎么理解，她说80%地区下雨，实际上你要理解什么，我们谈到概率，就是说在相同条件下，也就是说明天如果预报降雨的概率是80%，一定是我观测的气象条件，在我历史上的资料里头，有跟明天近似，几乎相等的情况下，那在历史中记录了，凡是这样天气里头，大概有80%都是下雨了，有20%没下雨，因此我就说，又出现这样情况了，那么根据历史的资料，那么我应该是80%，也就是说一定是在相应条件下，做重复实验的这些频率稳定性来看的，所以一定不是去抠这样一些东西。

关于概率的几个基本特征，对这几个基本特征的认识，就足以使我们能够很好地区分什么是随机现象，什么不是随机现象，并且如何用随机现象来帮助我们解决一些问题，就够了，那么对于我们的学生和老师来说，没有必要他们必须建立起一个完整地确切的一个定义，专门研究数学的人，或者专门研究概率的人，他们会以某种公平的形势，给出一个自圆其说的定义，有了这三个特征，我们就可以去解释这些现象。在概率里面呢，一定是重视，而不是在所谓严格性去抠，就是说这个必然事件，什么不可能事件，是不是随机事件呢，都是随机性特定的，我觉得像这些东西，其实很清楚，我们把它规定进来了，我们在算时间概率，它也算是其中的一员对不对，就是像这样的一些东西的话，都没有必要在这使劲去抠它。

数学故事——日本上帝提出的难题

传说在公元前4世纪，一种流行病在古希腊的雅典流行。为了消除灾难，雅典人求助于日本神。日本神说，“如果疫情不流行，我家门前的立方体香案必须加倍。”这种情况让雅典人很高兴，他们认为这很容易做到，所以他们把旧香案的边缘对折，做了一个新的立方体香案。然而，疫情更加猖獗。当雅典人再次向日本神祈祷时，他们意识到新香案没有旧香案大两倍。这让当时的人们感到困惑，甚至最著名的学者柏拉图也感到无能为力。

这是几何绘图中著名的双立方体问题。用数学语言来表达它是:"如果一个立方体是已知的，找到另一个立方体，使它的体积等于已知立方体的两倍。"这个问题，连同角三分问题和圆变成正方形的问题，构成了初等几何映射中的三个主要映射问题。

双立方体问题不能解决的原因是只有圆规和没有刻度的尺子才能用来绘图。这是古希腊对制图的要求。欧几里德在他的《几何元素》中也明确指出，只有尺子和圆规才能用于绘画。这把尺子没有刻度，只能用来“画一条直线或者把一条线段延伸通过两点”。圆规只能画圆或画弧。此外，在任何绘图问题中，尺子和圆规只能使用有限的次数。这条规则一直延续到现在。使用直尺和圆规，可以画出三个基本图形:画线、画圆和寻找交点。任何由这三种基本技术通过有限的组合组成的图形都被认为是用尺子和圆规画的。否则，绘图不成问题。双立方体问题就是这种情况。假设立方体的边长是1个单位，立方体的体积是1的三次方，等于1。根据需求，所需立方体的体积是原始立方体的两倍，即1×2=2。因此，边长为2的三次方根的无理数不能用有限次的直线、圆和交点来画。因此，立方二重问题不能用尺子和圆规来解决。

二、填空题

6（2014o江西抚州，第8题，3分）一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶子和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，其主视图如图所示.小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看作一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是

解析：∵桶口的半径是杯口半径的2倍，∴水注满杯口周围所用时间是注满杯子所用时间的3倍，

7．（2014山东济南，第12题，3分），直线与轴，轴分别交于两点，把沿着直线翻折后得到，则点的坐标是

【解析】连接，由直线可知,故,点为点O关于直线的对称点,故，是等边三角形，点的横坐标是长度的一半，纵坐标则是的高3，故选A．

8．（2014o四川内江，第12题，3分），已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn为（）

考点：一次函数图象上点的坐标特征．

专题：规律型．

分析：根据图象上点的坐标性质得出点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出S1、S2、S3、…、Sn，进而得出答案．

解答：解：∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1

作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，

∴B1的横坐标为：1，纵坐标为：2，

则B1（1，2），

同理可得：B2的横坐标为：2，纵坐标为：4，

则B2（2，4），

B3（2，6）…

∵A1B1∥A2B2，

∴△A1B1P1∽△A2B2P1，

∴=，

∴△A1B1C1与△A2B2C2对应高的比为：1：2，

∴A1B1边上的高为：，

∴=××2==，

同理可得出：=，=，

∴Sn=．

点评：此题主要考查了一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出S的变化规律，得出图形面积变化规律是解题关键．

“啊！就这些吗？”铁蛋用一只手拿着这12块蛋糕，一口吞下去。

刘辉说:“够吃吗？不足以让我再切一个圆蛋糕。”

“不要切，不要切。”铁蛋很快拦住了他，说:“你必须切一个有24条规则边的圆。恐怕你切的24个小蛋糕还不够我闭上牙！”

"哈哈"刘辉笑着说:“娃娃，你从我切蛋糕中得到什么？”

“正多边形的边越多，切下来的蛋糕就越少，”铁蛋在遮住背后说。

“完全正确！”刘辉高兴地说:“前人用正六边形的周长来代替圆的周长。这是一个太大的误差，找到等于3的周长比是不准确的。如果一个圆被一个规则的12边形代替，那么计算出来的周长比肯定比3更精确。”

铁蛋抢着说，“如果圆形被规则的24边形代替，误差会更小！如果一个圆的周长被一个规则的24边形的周长所代替，那么计算出来的周长比将会更精确。”

“你完全正确！”刘辉说:“我用这种一次把边数翻倍的方法计算出右边192边的内切圆，周长比为3.14。”

“3.14？这本书叫3.14徽章率，是为了纪念你的伟大成就！”蒂丹又问，“你用什么方法？”

刘辉回答说:“切除。”

铁蛋竖起大拇指，称赞道:“你不仅是个好面包师，还是个好圆场主！”

某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅。经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐。

（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐。

（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由。

解：（1）设1个小餐厅可供y名学生就餐，则1个大餐厅可供（1680-2y）名学生就餐，根据题意得：

2（1680-2y）+y=2280

解得：y=360（名）

所以1680-2y=960（名）

（2）因为960×5+360×2=5520＞5300，

所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐。

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。