算数学的妙招（汇总20篇）

数学故事

在中国古典神话小说《西游记》中，据说唐僧师徒孙悟空、猪八戒、沙僧到西天取经，在平顶山莲花洞里，把想吃唐僧肉的妖怪金角王、阴角王都消灭了。然后，师徒们继续前行，他们遇到了一座又高又陡的山。当他匆匆赶路时，他看着风景，并没有意识到天色已晚。

故事发展到这里，小说写道:

......师徒们正在玩山景，信步时，早不觉红轮西落。它是:

十英里长的亭子没有游客，九楼的天空布满了星星。

八条河流对船只关闭，7000个县关闭。

六宫五府归官杀，四海三河钓尼龙。

两座楼前的钟鼓在响，月亮上挂满了干巴巴的鲲。

这首诗从10，9，8，7到6，5，4，3，2，1。星星和月亮点缀着夜晚。该停止工作了。该下班了。该关门了。路上没有人。那些从经文中学习的人应该找个地方休息。

为了学习经文，穿越山川是极其困难的。征服恶魔甚至更危险。八戒要回家，唐僧心里打鼓。幸运的是，孙悟空不断地鼓励大家去看看沿途群山和森林的宁静景色，放松一下。小说中的这首山水诗只是紧张情节中一点轻松的琐事和一点解脱。所有的十个数字都嵌在诗中，数字从大到小颠倒过来，成为一首独特的“对等诗”，增加了更多的趣味。

《西游记》是明代吴承恩写的，已出版400多年。根据我们目前的数学习惯，我们用阿拉伯数字写出诗歌中的数字，并把它们按顺序排列成一串

10987654321

现在让我们玩一个小数学游戏:使用上面写的十个数字，在不打乱顺序的情况下添加适当的数学符号，并形成十个公式，这样计算结果分别等于10、9、8、7、6、5、4、3、2和1。

很容易形成任何一个公式。要形成一套完整的十个，你必须动动脑筋。如果组成十个公式的方法改变了，那就更有趣了。

您可以形成许多满足条件的公式。这是其中之一。

10+9-8-7+6+5-4-3+2×1 = 10；

(10+98+76)×5÷4(3+2)+1 = 9；

(10+9+8-7)×6÷5÷4+3-2+1 = 8；

(109-87 )( 6+5)+4+3-2×1 = 7；

(10+9+8-7-6)×5-43-21 = 6；

(10+9+8+7+6)5-4(3-2)+1 = 5；

10×9-87+65-43-21 = 4；

(109-8+7)6-54 3+2+1 = 3；

(109+87-6)5-4-32×1 = 2；

(10×9-87 )( 6×54-321)= 1 .

1.乘方的意义

求n个相同因数的积的运算，叫乘方，其中，n为自然数，乘方的结果叫幂.

一般地，a·a·...·a(n个a)记作an，其中a叫底数，n叫指数，读作a的n次方或a的n次罪。指数为1时，可省略不写，底数是分数或负数的应添括号.

应用乘方的定义时，要注意分清底数、指数，如(-3)2与-32中，前者底数是-3，后者底数为3；前者指数对负数起作用，后者指数“管不住”负号，这两个幂不相等，是互为相反数.

注意(1)任何数的偶次幂都是非负数.

(2)-1的偶次幂得1，-1的奇次幂为-1.

(3)1的任何欢幂都得1，0的任何次幂都为0.

2.科学记数法

一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤a

用科学记数法表示一个大于10的数时，10的指数(即n的值)比原数的整数位数少1.如原数有6位整数，n=5.

被表示的数若是负数时，用科学记数法表示一个数，不能改变被表示数的大小，并按记数的要求书写，不要遗漏了负号.

3.有效数字

经四舍五人的近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫这个近似数的有效数字.

4.精确度

精确度是近似数的精确程度，一般表现为两种形式：

(1)精确到某一位

一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，如近似数0.576精确到千分位，或称精确到0.001.

(2)保留若干个有效数字

一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字，如近似数0.324是保留三位有效数字.

注意：给定一个近似数，要确定其精确度，主要是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置所决定的.

5.有理数的混合运算

规则是：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号内，计算过程中，灵活运用运算律.

1.性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等;

(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角;

(3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;

(4)正方形的对角线与边的夹角是45。;

(5)正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

2判定：

(1)先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等

(2)先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角.

3定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

4.对称性：正方形是轴对称图形也是中心对称图形.

（一）概率的定位

4．理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述（参见例69）。

我们把数据进行加工后，构成了一些数字特征，其中平均数是最重要的。在这一阶段，可对平均要求最高的，了解他们是数据，几种趋势方法，第一，最重要还是要平均数，其次就是众数和中位数。

刻画集中趋势的参数中最核心的是平均数，我们对平均数作一点拓展，即加权平均数。对于加权平均数，它的出现是很自然的，在教学时要让学生比较自然的认识它。简单的讲，加权平均数就是反应大家做的贡献不一样，有的贡献大一点，有的贡献小一点。比如在一组分数中95分的多，那么95分在平均分里就贡献大一点，一百分的少，那么一百分在整个平均分中，做的贡献就小一点，占的成分多一点，权重大一点，从而拓展到我们对事物的看重程度。这样的理解是循序渐进的。对于加权的认识，在高中和大学仍然是我们要不断学习的。

歹徒没有发现，这里出现了以前已经出现过的89个。为了得到100的答案并发财，他愚蠢地继续数着，算出的答案仍然是145，42，

20？？

看到时间到了，黑蛋向窗外做了一个手势。小猴子偷偷溜到歹徒身后，轻轻地从他的腰间取下了地堡门的钥匙。突然，两只兔子出现在前面的草坪上。那恶棍被两只兔子的跳跃吓坏了。他对自己说:“两只肥兔子，抓住它们，晚上烤熟。别提它们有多香！”他只是想带把枪，但也认为他不能在这里随便开枪，因为一枪就意味着碉堡发生了什么事！歹徒试图活捉他，但他轻轻地摸了摸那两只兔子。两只兔子似乎没有感觉到危险的到来，仍然在那里跳来跳去。当强盗们全力扑向野兔时，野兔很快跑掉了。他们没有跑远，继续在短距离内跳跃。匪徒们再次扑向他们，并制造了一个空洞。野兔把强盗带得越来越远。？

小猴子很快拿出钥匙，打开了地堡的门。黑蛋带着十几个孩子出来，他们消失在茂密的森林里。

歹徒扑倒在地上，没有抓住野兔。他回来时破口大骂。他回忆起刚才玩的数字游戏，仔细考虑了一下，嗯？你如何计算这些数字？我掉进了一个数字陷阱。他朝掩体里看了看，发现一个孩子也没有了。再次触摸下背部的钥匙，啊，钥匙不见了！它坏了。孩子们逃走了！

歹徒边跑边喊，“不！孩子们都逃走了！”

“黑太狼”从房间里出来，右眼戴着黑眼圈面具。何“嘿嘿”一声冷笑:“一群孩子想逃离黑森林？做梦吧！他们不知道如何走路。插上翅膀很难飞翔。然而，黑蛋知道鸟类和动物的语言。我们应该更加小心。所有的兄弟，四人一组，向四面八方搜索我，一定要把他们带回来！”

数学故事-去别墅计算速度

“每个人都带着全家去了别墅，”鲍勃说。“那里真好。晚上非常安静，没有汽车喇叭。”

“但是警察照常在那里工作，”瑞安评论道。“你那里没有警察吗？”

“我们不需要警察！”鲍勃笑了。“当我们开车时，有一个问题值得思考。情况如何:在最初的15英里中，我们平均每小时行驶40英里。然后我们在十分之九的路程上开得更快。在剩下的七分之一路程中，我们开得很快。整个旅程的平均速度正好是每小时56英里。”

“你说‘第九个是什么’是什么意思？”瑞安问道。

“这里的‘少数’是一个精确的整数，”鲍勃回答，“最后两英里的速度也是一个整数英里每小时。”

鲍勃不会和他的家人一起以疯狂的速度开车，尽管路上可能没有警察！

我可以问一下，在旅程的最后七分之一，鲍勃，他们的平均速度是多少？

图2图3悟空一本正经地说:“我有空的时候没事做。我已经重新安排了。他们有很多。去摘些水果吧。”八戒收了野葡萄，转身含盐而走。

八戒走开了，悟空捂住嘴笑了，“好书呆子！最初的安排有16个桃子。经过这样的变化，我只剩下12个桃子了。”他从口袋里拿出四个桃子，看着它们，然后从方阵里拿出两个桃子，把它们藏在一起。

眨眼间，八戒又回到了一口袋野山梨。他不敢相信自己的眼睛。"为什么，只剩下这么多桃子了？"

“很多，很多！”悟空指着桃子说:“两边各五个，你自己数吧！”

猪每边数了五个桃子。八戒拍了拍脑袋，心想，发生了什么事？

小学生数学日记:赛车中的数学秘密

在我们的数学王国里有许多有趣的事情。

我无法抗拒正在播出的电视广告的诱惑，那就是“霹雳闪电线”。我还买了一辆不同颜色的车，比如红色、黄色、蓝色等。我把它们放在一个圆形轨道上，排成一条长队。突然，我发现了一个有趣的问题:红色汽车后面有5辆车，前面有5辆车。我买回了多少辆赛车？

我决定考考我同龄的玩伴。他们被邀请在周日回家，并要求他们的母亲给他们一些问题。听完这个话题后，伙伴们的大脑都快速移动。

陈伯阳脱口而出:“11！”其他伙伴也立即向观众点头致意。

喜欢思考的沈宇摇着手说:“不，不，应该是六点！”其他人困惑地看着她。

陈伯阳马上接着说:“前面有5辆车，后面有5辆车，一共10辆车，加上一辆车，那不是11辆车吗？”

这时，沈宇耐心地解释道，“因为在环形跑道上，向前和向后看，我们实际上看到的是同样的五辆车。如果你不相信我，看我一眼。”

听了她的话后，伙伴们急切地在跑道上示威。现在，每个人都明白了！

我妈妈看着我们，笑着说:“我发现你们都很棒。陈伯阳能看到隐藏的数学知识，并且有一双在玩的时候能发现它的眼睛。沈煜的思想是全面的、有思想的，每个人都可以主动去验证它。我真为你高兴。”我的朋友都对我微笑，但我是我心中最快乐的人。

1、首先用喜欢的颜色写出主题文字并画出文字框，接下来在左下角用直尺画一个三角尺文字框，在右下角画一个五边形文字框，中间空白处画一个小书包。

2、在右上角空白处画一个小卡通人物，左上角空白处画数字做装饰，在五边形文字框下方画一道波浪线。

3、接下来把主题文字框描边，再把装饰图案填充上自己喜欢的颜色，三角尺用绿色填充，波浪以下的空白部分用淡蓝色填充。

4、接着在周围的空白添加标点符号等装饰图案，最后画上写作线，手抄报就完成啦。

三、统计概率教学中的困惑

6．老师举出来的例子，引入的例子，可能不是我们所谓随机现象，对这样的一些情况有什么样的建议？

概率的最基本的三条，相同条件下做重复实验，结果不确定，和频率稳定性，把这三条我觉得我们把握住了，这样我们就不会出现大的偏差，否则有时候我们老师自己也有讲糊涂，把这些东西全都混在一起，我觉得，因为在初中我没有怎么教，但是我非常希望在初中开发一些好的例子，这些例子不一定是很难，但是呢，比如说要让他觉得还是有用的，别管你是估计鱼也好，估计什么，有用，另外让他知道，因为概率嘛，他既然结果不确定，很多人就觉得，学概率有什么用啊，但实际上你要让他体会，你比如说有两个工厂，这个工厂生产的产品，四平米只有百万分之一，那个四平米只有十分之一对不对，那么如果我不知道，我去买那十分之一的产品，我可能买到好的，十分之一，如果我告诉你概率了，说这个百万分之一，你去上这买去，偏偏那个百万分之一就让你给买到了，好像学到概率没什么，知道以后也没什么用，但是首先我们要知道，第一这是随机现象，本性无法避免的，现实，这随机现象就是这样，但是他对我们还是有指导作用，也就是说如果我是买，还是要去买这个产品，也就是说我们能通过一些简单的例子，让孩子对这个了解的随机现象。

一、列一元一次方程解应用题的一般步骤

（1）审题：弄清题意

（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系

（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程

（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值

（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案

二、一元一次方程解决应用题的分类

1.市场经济、打折销售问题

（一）知识点

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价

（2）商品利润率＝商品利润/商品成品价×100%

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原价的80%出售．

（二）例题解析

1.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅。经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐。

（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐。

（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由。

解：（1）设1个小餐厅可供y名学生就餐，则1个大餐厅可供（1680-2y）名学生就餐，根据题意得：

2（1680-2y）+y=2280

解得：y=360（名）

所以1680-2y=960（名）

（2）因为960×5+360×2=5520＞5300，

所以如果同时开放7个餐厅，能够供全校的5300名学生就餐。

2.工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等。该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

解：设该工艺品每件的进价是元,标价是（45+x）元。依题意，得：

8（45+x）×0.85-8x=（45+x-35）×12-12x

解得：x=155（元）

所以45+x=200（元）

3.某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦则超过部分按基本电价的70%收费。

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦？应交电费是多少元？

解：（1）由题意，得0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72

解得a=60

（2）设九月份共用电x千瓦时，0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x

解得x=90

所以0.36×90=32.40（元）

答：90千瓦时，交32.40元。

4.某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？

利润率=利润/成本40%=(80%X×60)/60

解之得X=105

105×80%=84元

5.甲乙两件衣服的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将家服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装成本各是多少元？

解：设甲服装成本价为x元，则乙服装的成本价为（50–x）元，根据题意，

109x(1+50%)–x+(500-x)(1+40%)90%-(500-x)=157

x=300

6.某商场按定价销售某种电器时，每台获利48元，按定价的9折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等，该电器每台进价、定价各是多少元？

(48+X)90%×6–6X=(48+X-30)×9–9X

解之得X=162

162+48=210

7.甲、乙两种商品的单价之和为100元，因为季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高2%，求甲、乙两种商品的原来单价？

解：[x(1-10%)+(100-x)(1+5%)]=100(1+2%)

解之得x=20

8.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

解：设这种服装每件的进价是x元，则：

X(1+40﹪)×0.8-x=15

解得x=125

2.方案选择问题

（一）例题解析

1.某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工．

方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．

你认为哪种方案获利最多？为什么？

解：方案一：获利140×4500=630000（元）

方案二：获利15×6×7500+（140-15×6）×1000=725000（元）

方案三：设精加工x吨，则粗加工（140-x）吨

依题意得=15解得x=60

获利60×7500+（140-60）×4500=810000（元）

因为第三种获利最多，所以应选择方案三。

2.某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费。

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？应交电费是多少元？

解：（1）由题意，得0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72

解得a=60

（2）设九月份共用电x千瓦时，则0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x解得x=90

所以0.36×90=32.40（元）

答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．

3.某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元。

（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案。

（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？

解：按购A，B两种，B，C两种，A，C两种电视机这三种方案分别计算，设购A种电视机x台，则B种电视机y台。

（1）①当选购A，B两种电视机时，B种电视机购（50-x）台，可得方程：1500x+2100（50-x）=90000

即5x+7（50-x）=3002x=50x=2550-x=25

②当选购A，C两种电视机时，C种电视机购（50-x）台，

可得方程1500x+2500（50-x）=900003x+5（50-x）=1800x=3550-x=15

③当购B，C两种电视机时，C种电视机为（50-y）台．

可得方程2100y+2500（50-y）=9000021y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意

由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是购A种电视机35台，C种电视机15台．

（2）若选择（1）中的方案①，可获利150×25+250×15=8750（元）

若选择（1）中的方案②，可获利150×35+250×15=9000（元）

9000>8750故为了获利最多，选择第二种方案。

3.储蓄、储蓄利息问题

（一）知识点

(1)顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税

(2)利息=本金×利率×期数

本息和=本金+利息

利息税=利息×税率（20%）

(3)利润=每个期数内的利息/本金×100%

（二）例题解析

1.为了准备6年后小明上大学的学费20000元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：

(1）直接存入一个6年期；

(2）先存入一个三年期，3年后将本息和自动转存一个三年期；

一年2.25

三年2.70

六年2.88

(3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？

[分析]这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少，再进行比较。

解：(1）设存入一个6年的本金是X元,依题意得方程

X（1+6×2.88%）=20000，解得X=17053

(2）设存入两个三年期开始的本金为Y元，

Y（1+2.7%×3）(1+2.7%×3）=20000，X=17115

(3）设存入一年期本金为Z元，

Z（1+2.25%）6=20000，Z=17894

所以存入一个6年期的本金最少。

2.小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700元，问这种债券的年利率是多少（精确到0.01%）．

解：设这种债券的年利率是x，根据题意有

4500+4500×2×X×（1-20%）=4700，解得x=0.03

答：这种债券的年利率为3％

3.白云商场购进某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元（销售价与进价的差价2元就是卖出一件商品所获得的利润）．现为了扩大销售量，把每件的销售价降低x%出售，但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%，则x应等于（）

A．1B．1.8C．2D．10

点拨：根据题意列方程，得（10-8）×90%=10（1-x%）-8，解得x=2，故选C

4.工程问题

（一）知识点

1.工程问题中的三个量及其关系为：

工作总量＝工作效率×工作时间

2.经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．

（二）例题解析

1.一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？

解：设还需要X天完成，依题意，

得(1/10+1/15)×4+1/15X=1

解得X=5

2.某工作，甲单独干需用15小时完成，乙单独干需用12小时完成，若甲先干1小时、乙又单独干4小时，剩下的工作两人合作，问：再用几小时可全部完成任务？

解：设甲、乙两个龙头齐开x小时。由已知得，甲每小时灌池子的1/2，乙每小时灌池子的1/3。

列方程：1/2×0.5+(1/2+1/3)x=2/3,

1/4+5/6x=2/3,5/6x=5/12

x==0.5

x+0.5=1（小时）

3.某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？

解：(X/26+5)×24-60=X，

X=780

4.某工程，甲单独完成续20天，乙单独完成续12天，甲乙合干6天后，再由乙继续完成，乙再做几天可以完成全部工程?

解：1-6(1/20+1/12)=(1/12)X

X=2.4

5.已知甲、乙二人合作一项工程，甲25天独立完成，乙20天独立完成，甲、乙二人合5天后，甲另有事，乙再单独做几天才能完成？

解：1－(1/25+1/20)×5=(1/20)X

X=11

6.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

解：1-1/6×1/2=(1/6+1/4)X，

X=11/5，2小时12分

5.行程问题

（一）知识点

1.行程问题中的三个基本量及其关系：

路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间

2.行程问题基本类型

（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系

（二）例题解析

1.从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为_____。

解：等量关系步行时间－乘公交车的时间＝3.6小时

列出方程是：X/8-X/40=3.6

2.某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？

解：等量关系

⑴速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程

⑵速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟

提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。

方法一：设预定时间为x小/时，则列出方程是：15（x－0.25）＝9（x＋0.25）

方法二：设从家里到学校有x千米，则列出方程是：

X/15+15/60=X/9-15/60

3.一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米？

提醒：将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。

等量关系：快车行的路程＋慢车行的路程＝两列火车的车长之和

设客车的速度为3X米/秒，货车的速度为2X米/秒，

则16×3X＋16×2X＝200＋280

4.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。

⑴行人的速度为每秒多少米？

⑵这列火车的车长是多少米？

提醒：将火车车尾视为一个快者，则此题为以车长为提前量的追击问题。

等量关系：

①两种情形下火车的速度相等

②两种情形下火车的车长相等

在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。

解：

⑴行人的速度是：3.6km/时＝3600米÷3600秒＝1米/秒

骑自行车的人的速度是：10.8km/时＝10800米÷3600秒＝3米/秒

⑵方法一：设火车的速度是X米/秒，则26×(X－3)＝22×(X－1)解得X＝4

方法二：设火车的车长是x米，则(X+22×1)/22=(X+26×3)/26

6.一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。汽车速度是60千米/时，步行的速度是5千米/时，步行者比汽车提前1小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。出发地到目的地的距离是60千米。

问：步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）

提醒：此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈，即步行者行的总路程＋汽车行的总路程＝60×2

解：设步行者在出发后经过X小时与回头接他们的汽车相遇，则5X＋60(X-1)＝60×2

7.某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地，但他因事将原计划的时间推迟了20分，便只好以每小时15千米的速度前进，结果比规定时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离。

解：方法一：设由A地到B地规定的时间是x小时，则

12x＝15×(X-20/60-4/60)

X＝2

12X＝12×2＝24(千米)

方法二：设由A、B两地的距离是x千米，则（设路程，列时间等式）

X/12-X/15=20/60+4/60

X＝24

答：A、B两地的距离是24千米。

温馨提醒：当速度已知，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。

8.一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间。隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？若不能，请说明理由。

解析：只要将车尾看作一个行人去分析即可，前者为此人通过300米的隧道再加上一个车长，后者仅为此人通过一个车长。

此题中告诉时间，只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式。

解：方法一：设这列火车的长度是x米，根据题意，得

(300+X)/20=X/10

x＝300

答：这列火车长300米。

方法二：设这列火车的速度是x米/秒，

根据题意，得

20x－300＝10xx＝3010x＝300

答：这列火车长300米。

9.甲、乙两地相距x千米，一列火车原来从甲地到乙地要用15小时，开通高速铁路后，车速平均每小时比原来加快了60千米，因此从甲地到乙地只需要10小时即可到达，列方程得________。

X/10-X/15=60

10.两列火车分别行驶在平行的轨道上，其中快车车长为100米，慢车车长150米，已知当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口所用的时间为5秒。

⑴两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少？

⑵如果两车同向而行，慢车速度为8米/秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒？

解析：①快车驶过慢车某个窗口时：研究的是慢车窗口的人和快车车尾的人的相遇问题，此时行驶的路程和为快车车长！

②慢车驶过快车某个窗口时：研究的是快车窗口的人和慢车车尾的人的相遇问题，此时行驶的路程和为慢车车长！

③快车从后面追赶慢车时：研究的是快车车尾的人追赶慢车车头的人的追击问题，此时行驶的路程和为两车车长之和！

解：⑴两车的速度之和＝100÷5＝20（米/秒）

慢车经过快车某一窗口所用的时间＝150÷20＝7.5（秒）

⑵设至少是x秒，（快车车速为20－8）

则（20－8）X－8X＝100＋150

X＝62.5

答：至少62.5秒快车从后面追赶上并全部超过慢车。

11.甲、乙两人同时从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时。求两人的速度。

解：设乙的速度是X千米/时，则

3X＋3(2X＋2)＝25.5×2

∴X＝5

2X＋2＝12

答：甲、乙的速度分别是12千米/时、5千米/时。

12.一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离。

解：设船在静水中的速度是X千米/时，则

3×(X－3)＝2×(X＋3)

解得x＝152×(X＋3)＝2×(15＋3)＝36（千米）

答：两码头之间的距离是36千米。

13.小明在静水中划船的速度为10千米/时，今往返于某条河，逆水用了9小时，顺水用了6小时，求该河的水流速度。

解：设水流速度为x千米/时，

则9(10－X)＝6(10＋X)

解得X＝2

答：水流速度为2千米/时

14.某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头，共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米，求A与B的距离。

解：设A与B的距离是X千米，(请你按下面的分类画出示意图，来理解所列方程)

①当C在A、B之间时，X/(7.5+2.5)+40/(7.5-2.5)=20

解得x＝120

②当C在BA的延长线上时，

X/(7.5+2.5)+(X+X-40)/(7.5-2.5)=20

解得x＝56

答：A与B的距离是120千米或56千米。

6.环行跑道与时钟问题

（一）例题解析

1.在6点和7点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？

解析：6：00时分针指向12，时针指向6，此时二针相差180°，在6：00～7：00之间，经过x分钟当二针重合时，时针走了0.5x°分针走了6x°

以下按追击问题可列出方程，不难求解。

解：设经过x分钟二针重合，

则6x＝180＋0.5x

解得X=360/11

2.甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？

提醒：此题为环形跑道上，同时同地同向的追击与相遇问题。

解：①设同时同地同向出发x分钟后二人相遇，则

240X－200X＝400

X＝10

②设背向跑，X分钟后相遇，则

240x＋200X＝400

X＝1/11

3.某钟表每小时比标准时间慢3分钟。若在清晨6时30分与准确时间对准，则当天中午该钟表指示时间为12时50分时，准确时间是多少？

解：方法一：设准确时间经过X分钟，则

x∶380＝60∶(60－3)

解得x＝400分＝6时40分

6：30＋6：40＝13：10

方法二：设准确时间经过x时，则

3/60×(X-6.5)=X-12×5/6

7.若干应用问题等量关系的规律

（一）知识点

（1）和、差、倍、分问题

此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。

增长量＝原有量×增长率

现在量＝原有量＋增长量

（2）等积变形问题

常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变。

①柱体的体积公式

V=底面积×高＝S·h＝r2h（2为平方）

②长方体的体积

V＝长×宽×高＝abc

（二）例题解析

1.某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的。问每个仓库各有多少粮食？

设第二个仓库存粮X吨，则第一个仓库存粮3X吨，根据题意得

5/7×(3X-20)=X+20

X=303X=90

2.一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，π≈3.14）

设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得

π·（200/2）2x=300×300×80（X前的2为平方）

X≈229.3

答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米

3.长方体甲的长、宽、高分别为260mm，150mm，325mm，长方体乙的底面积为130×130mm2，又知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高？

设乙的高为Xmm，根据题意得

260×150×325=2.5×130×130×X

X=300

8.数字问题

（一）知识点

（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。

（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。

（二）例题解析

1.一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数。

解：设这个三位数十位上的数为X，则百位上的数为X+7，个位上的数是3x

x+x+7+3x=17解得x=2

x+7=9，3x=6答：这个三位数是926

2.一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数。

等量关系：原两位数+36=对调后新两位数

解：设十位上的数字X，则个位上的数是2X，

10×2X+X=（10X+2X）+36

解得X=4，2X=8，

答：原来的两位数是48。

9.日历问题

（一）知识点

日历中的规律：横行相邻两数相差1，竖行相邻两数相差7。

（二）例题解析

1.如果某一年的5月份中，有5个星期五，且它们的日期之和为80，那么这个月的4号是星期几？

设第一个星期五为x号，依题意得：

x+x+7+x+14+x+21+x+28=80，

5x+70=80，

5x+70-70=80-70，

5x÷5=10÷5，

x=2．

因此这个月的4日是星期日

答：这个月的4号是星期日

2.下表是2011年12月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数，

(1)若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它分别是哪4天？

(2)框出的4个数的和可能是26吗？为什么？

（1）设第一个数是x，

则根据平行四边形框框出4个数得其他3天可分别表示为x+1，x+6，x+7，

则：x+x+1+x+6+x+7=74，

解得：x=15；

所以它分别是：15，16，21，22；

（2）设第一个数为x，则4x+14=26，4x=12，x=3，

本月3号是周六，由平行四边形框框出4个数，

得出结论：无法构成平行四边形。

大家知道初三数学的学习方法有哪些吗?以下是小编整理的关于初三数学的学习方法，一起来了解一下吧。

初三数学的学习方法：

1、培养良好的学习习惯。什么是良好的学习习惯?它包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习等多个方面。

(1)制定计划。从而使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳打稳扎，它是推动学生主动学习和克服困难的内在动力。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨练学习意志。

(2)课前自学。这是上好新课，取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能搞走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。

(3)专心上课。“学然后知不足”，这是理解和掌握基本知识、基本技能和基本方法的关键环节。课前自学过的学生上课更能专心听课，他们知道什么地方该详细听，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全盘抄录，顾此失彼。

(4)及时复习。这是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。

(5)独立作业。这是掌握独立思考，分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的必要过程。这一过程也是对学生意志毅力的考验，通过作业练习使学生对所学知识由“会”到“熟”。

(6)解决疑难。这是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神，做错的作业再做一遍。对错误的地方没弄清楚要反复思考，实在解决不了的要请教老师和同学，并经常把容易错的地方拿来复习强化，作适当的重复性练习，把从老师、同学处获得的东西消化变成自己的知识，长期坚持使对所学知识由“熟”到“活”。

(7)系统小结。这是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。

(8)课外学习。课外学习是课内学习的补充和继续，包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等。它不仅能丰富学生的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能够满足和发展学生的兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，激发求知欲与学习热情。

2、循序渐进，防止急躁。

由于学生年龄较小，阅历有限，不少学生容易急躁。有的学生贪多求快，囫囵吞枣。有的想几天“冲刺”一蹴而就，有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。学习是一个长期的巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。为什么高中要学三年而不是三天!许多优秀的学生能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了相当熟练的程度。

3、注意研究学科特点，寻找最佳学习方法。

数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，以及运用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。

小学数学的故事:数学史中的负数简史

奇数和偶数，有界和无界，善和恶，左和右，一和所有。男性和女性，直线和曲线，正方形和长方形，明亮和黑暗，移动和静止。

2000多年前，著名的“毕达哥拉斯学派”把上面写的这些对立的概念视为整个宇宙的10个对立的概念。

因此，2000多年前，人们意识到世界是由许多相互矛盾的东西组成的。如果你想了解世界并改变它，你必须从这些矛盾的事情开始。既然这是万物的普遍规律，数学也应该遵守它。让我们来谈谈这个问题。

负数的发现

人们在生活中经常会遇到各种相反的意义。例如，在会计中，损失大于收益。当计算储存在粮仓里的大米数量时，有时应该记录谷物，有时应该记录谷物。为了方便起见，人们考虑用相反的数字来表示它。因此，人们引入了正数和负数的概念，把剩余的钱记为正数，把损失和粮食产量记为负数。可以看出，正数和负数是在生产实践中产生的。

据史料记载，早在2000年前，中国就有了正数和负数的概念，并掌握了正数和负数的算术。当人们计算时，他们用一些小竹竿摆出各种数字来计算。这些小竹竿被称为“计数芯片”。它们也可以由骨头和象牙制成。

刘徽是我国三国时期的学者，他对负数概念的确立做出了巨大贡献。刘辉首先给出了正数和负数的定义。他说:“这两种计算的得失是相反的。正数和负数应该以彼此的名字命名。”这意味着应该使用正数和负数来区分计算过程中遇到的含义相反的量。

刘辉给出了第一种区分正数和负数的方法。他说:“积极的是红色，消极的是黑色；否则，这意味着由红色小棒构成的数字代表正数，而由黑色小棒构成的数字代表负数。你也可以用倾斜的棍子来代表负数，用倾斜的棍子来代表正数。

在著名的古代数学专著《九章算术》(写于公元1世纪)中，正负数的加减法则首次被提出:“正负数被同一个名字分开，不同的名字是互利的，正负不进入负，负和负不进入正；它的不同名称是分开的，相同的名称是互利的。阳性不进入阳性，阴性不进入阴性。”这里的“名”是“数”，“除”是“减”，“互利”和“除”是两个数的绝对值“加”和“减”，而“无”是“零”。

用今天的话来说:“正数和负数的加和减是:两个符号相同的数的减等于它们的绝对值的减，两个符号不同的数的减等于它们的绝对值的加。负数零减正数和正数零减负数。两个符号不同的数相加等于它们绝对值的相减，两个符号相同的数相加等于它们绝对值的相加。零加正等于正，零加负等于负。”

这个关于正数和负数的算术的陈述是完全正确的，并且完全符合现在的定律！负数的引入是中国数学家的杰出贡献之一。

使用不同颜色的数字来表示正数和负数的习惯一直保持到现在。目前，红色通常用来表示负数。报纸报道表明，一个国家的经济处于赤字状态，表明其支出大于收入，而且在财政上出现了亏损。

负数是正数的反义词。在现实生活中，我们经常用正数和负数来表示两个含义相反的量。当武汉夏天的温度高达42摄氏度时，你会认为武汉确实像一个火炉。冬天，哈尔滨零下32度的气温有一个负号，让你感觉到北方冬天的寒冷。

在今天的小学和中学教科书中，负数是通过算术运算引入的:负数可以通过从一个较小的数中减去一个较大的数来获得。这种引入方法可以在一些特殊的问题情况下给出负数的直观理解。在古代数学中，负数通常是在解代数方程的过程中产生的。对古巴比伦的代数研究发现，古巴比伦人在解方程时没有提出负根的概念，也就是说，他们没有使用或未能找到负根的概念。在3世纪希腊学者丢番图的著作中，只给出了方程的正根。然而，在中国传统数学中，负数和相关算法形成较早。

除了《九章算术》中对正负算术的定义外，东汉末年的刘伯承(公元206年)和宋代的杨辉(公元1261年)也谈到了正负数的加减，这与《九章算术》所说的完全一致。尤其值得一提的是，元代的朱世杰不仅明确给出了同号异号正负数的加减规则，而且给出了正负数的乘除规则。

负数在国外得到承认和认可的时间比在中国要晚得多。在印度，数学家布拉马古塔直到公元628年才意识到负数可以是二次方程的根。然而，14世纪欧洲最成功的法国数学家丘凯将负数描述为荒谬的数字。直到17世纪，荷兰的Rijral (1629)才第一次认识到并使用负数来解决几何问题。

与中国古代数学家不同，西方数学家大多研究负数的合理性。在16和17世纪，大多数欧洲数学家不承认负数是数字。帕斯卡认为从0减去4纯属无稽之谈。帕斯卡的朋友阿伦德提出了一个反对负数的有趣论点。他说(-1): 1 = 1: (-1)，小数字与大数字的比率怎么能等于大数字与小数字的比率呢？直到1712年，连莱布尼茨也承认这种说法是合理的。英国数学家瓦利承认负数，并认为负数小于零，大于无穷大(1655年)。他对此解释说:因为当a>0时，著名的英国代数学家德。摩根仍然认为负数在1831年是虚构的。他用下面的例子来说明这一点:“父亲56岁，儿子29岁。父亲什么时候会比儿子大一倍？”他列出了等式56+x=2(29+x)，得到x=-2。他认为这个解决方案很荒谬。当然，在18世纪的欧洲，没有多少人拒绝负数。随着19世纪整数理论的建立，负数的逻辑合理性真正确立了。

八戒在数学上遭受了许多损失。他发现他越害怕数学，他学数学就越差。八戒暗暗下定决心要生气，并努力学好它。八戒心想，“光靠自己学好数学是不够的。你必须找到一个老师。谁将是老师？”“是的，找猴子当老师！”悟空只好答应在猪猡的软磨硬泡下教猪猡数学。

这不是真的。第一天，猪缠着猴子说:"猴子，你今天要教我什么？"悟空笑着说:“猪，晴天要走29公里，雨天要走21公里。现在我们必须走208公里，平均每天26公里。猪，你认为我们这几天有几个雨天？”八戒:“猴哥哥，你有问题！我不在乎是否下雨。”

沙僧笑着道:“二师兄，师兄的事已经回答了。”猪:“它在哪里？为什么我不知道？”沙僧道:“请为这几天的雨天祈祷！”八戒恍然大悟。孩子，你能回答悟空给猪的问题吗？让我们看看悟空是怎么教猪的。

悟空教室:

这个问题的解决办法可以假设。

这些天我走了208公里，平均每天26公里。

我们可以知道我们旅行了多少天:208÷ 26 = 8(天)

假设天气晴朗8天，我们将离开:29×8=232(公里)

实际八天少于假设的八天:232-208 = 24(公里)

雨天比晴天少:29-21 = 8(公里)

所以雨天是:24/8 = 3(天)

数学童话——零王警告吃无数野兽

一天，一只三条腿的怪物突然闯入数字王国，令人恐惧，数字公民纷纷逃离。怪物张开大嘴，一口气吞下了24个。然后它又吞了44个。数字5吓得我脚发软。奇怪的是，怪物没有看它。

当国王Zero看到公民人数逐渐减少时，他非常焦虑，要求大臣1派6、2、34和100人连夜参战。当被突然叫醒时，正在山洞里做梦的食物计数兽。他非常生气，把四个数字踢到了地上。突然，他的眼睛亮了，他看到100个人躺在地上。“那太好了。这100块是我的美餐。”说着，一口吃了100块。乱七八糟回来的6、2和34告诉国王0 100发生了什么。国王0陷入了沉思。

第二天，大臣1进入皇宫与国王讨论对策。国王说，“看来这个怪物并不什么都吃。它只吃底部的数字0吗？”牧师想了一会儿，说:"不，它已经吃了24，44，啊！""那么它只吃底部的数字4？""那么它只吃底部的数字4？"“那他为什么不吃34块而不是100块？”部长想出了一个好主意:“让魔术师60挑战！”60来到怪物面前，怪物流着口水扑向60。60已经变成了他们自己的两个数字20和3。怪物猛扑向20，把3扔在一边。60很快变成了12和5，数字运算的野兽冲向12，最后60变成了30和2。这个怪物第一眼看到它就不喜欢，失望地离开了。他安全地回到王宫，告诉国王他的魔法检测结果:“这只野兽只有3英尺，所以他必须吃一个公约数为4的数，这样他的第四只脚就会逐渐长出来。”国王突然意识到。"如果计算食物的动物肚子里没有4个左右的数字，它就会消失."魔术师60继续。

国王灵机一动。他想亲自和野兽战斗。与怪兽搏斗了三四轮后，国王突然抓住怪兽头部的尖角，迅速跳进怪兽的嘴里，钻到它的肚子里。怪物挣扎着尖叫道:“走开！我不想吃你这个零鸭蛋王！你给我出去！”零王不听:“我要你吃东西。”怪物拼命想吐出国王0。国王0牢牢地抓住了这个会计算食物的野兽的舌头，并利用它的呼吸进入了它的肚子。一边的大臣1号和大臣99号看到了这场激烈的战斗，非常害怕。大臣1抽泣道:“我们失去了一个好国王。”突然，奇迹出现了。我看到了那头正在数食物的野兽脸上痛苦的表情，不一会儿我尖叫着消失得无影无踪。

大臣们正在纳闷，却听到国王0带着所有被吞掉的数字公民出来了。大臣问，"国王，为什么食肉动物消失了？"国王微笑着说:“我走进它的肚子，把所有的数字一个一个地放大。野兽的肚子里全是零。没有大约4个数字来支持它，它就消失了。”人群呼吁国王永生。从那时起，数字王国变得更加繁荣，因为他们有一个勇敢而足智多谋的国王。

数学童话

铁蛋从金字塔里逃出来，擦了擦他头上的汗水，说道:“真可怕！”他看到一大群人在看通知，于是他加入了进来。

他不知道通知上的字。他捅了捅面前的中年男子，问道:“上面写着什么？”

中年人没有回头，说道:“埃及法老，也就是我们埃及的最高统治者，阿拉米斯，正在寻找世界上最聪明的人。”

铁蛋眨了眨眼，问道:“谁最聪明？”

这位中年人说:“通知上说，能测量这座金字塔高度的人是世界上最聪明的人。”

突然，一个留着胡子的希腊人将人群分开，走向布告牌。他把它撕下来，对附近的官员说:“带我去见法老！”

官员们把希腊人带到法老阿拉米斯面前，铁蛋紧随其后。

法老问:“你是哪里人？你叫什么名字？”

希腊人回答说:“我是希腊人，我的名字是泰勒斯。”

法老又问，“你需要什么工具来测量金字塔的高度？”

泰勒斯回答说:“一根木棍和一把尺子。”

法老惊讶地看了他一眼，问道:“什么时候进行调查？”

"我必须等待一个特殊的日子。"然后泰勒斯拿起棍子和尺子，来到金字塔前。他把棍子竖在金字塔旁边，用尺子测量它的高度和阴影长度。

泰勒斯对官员说:“今天不行，我明天再来。”然后我去附近的酒店休息。

第二天，泰勒斯再次测量了棍子的影子，摇摇头说:“今天不行。”转身回酒店休息。

连续几天，泰勒斯说他没有到达那个特殊的日子。旁观者开始说话，一些人怀疑希腊泰勒斯是否是个骗子。

一位希腊商人严肃地说，“别胡说八道。泰勒斯是我们的希腊圣人，被尊为七贤之首，是一个伟大而聪明的人。”

又一天，泰勒斯测量完棍子的长度，高兴地跳了起来。他拍拍铁蛋的肩膀说:“这个特殊的时刻终于来了！”

泰勒斯用一把尺子测量了金字塔方形底座一侧的长度，并取了一半。然后他测量了地面上金字塔的影子，并做了一个加法。泰勒斯庄严宣布:“这座金字塔有147米高。”

你知道泰勒斯在等待什么特别的时刻吗？

猪开了一家小杂货店。一天，猴子的侄子，小猴子，来为他的家人做一斤醋。小猴子来到石叔的店里，喊道:“石叔，醋！”

八戒问小猴子打了多少醋。小猴子说:“不多，就一两只。”

八戒大吃一惊，问:“你为什么做几个醋？”小猕猴说，“当然是食物！”八戒又问:“一两个够不够？”小猴子说:“不够，让我们再打一两场！”

八戒又问:“没几两。”小恒河猴说，“让我们再打一两次。”八戒又赢了一两个。小猕猴说，“一两个多打，一两个多……”因此，这只小猕猴总共有十二盎司的醋，也就是一斤醋。

八戒喝完醋，说:“一斤醋，八十四美分。”小猴子不慌不忙地拿出八毛钱，给了师叔八姐。八戒接过钱，说:“别骗了，还剩4分钱！”小猴问:“石叔叔，一两醋多少钱？”

猪说:“当然，一两盎司醋是8美分和4美分，4美分将被赠送。八美分。”小猴子说:“所以，一两盎司醋等于八美分。”八戒道:“当然。小猕猴补充道:“12盎司醋是80美分！”

八戒说:“这是对的。”小猴子说:“我给了你80美分，你怎么说你少了4美分？”八戒无言以对，于是他又丢了4美分，看着小猕猴带着醋离开。(丁)

中线定理又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。

定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

中线的定义

任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点

由定义可知，三角形的中线是一条线段。

由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。

且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

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考点二、不等式基本性质

1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立;

一、目标与要求

1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上;

2.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想;

3.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。

二、知识框架

三、重点

理解并掌握不等式的性质;

正确运用不等式的性质;

建立方程解决实际问题，会解"ax+b=cx+d"类型的一元一次方程;

寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型;

一元一次不等式组的解集和解法。

四、难点

一元一次不等式组解集的理解;

弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式;

正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。

五、知识点、概念总结

1.不等式：用符号""，"≤"，"≥"表示大小关系的式子叫做不等式。

2.不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。

一般地，用纯粹的大于号、小于号">"，"

3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

5.不等式解集的表示方法：

(1)用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来，例如：x-1≤2的解集是x≤3

(2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解，用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线;二是定方向。

6.解不等式可遵循的一些同解原理

(1)不等式F(x)F(x)同解。

(2)如果不等式F(x)

(3)如果不等式F(x)0，那么不等式F(x)H(x)G(x)同解。

7.不等式的性质：

(1)如果x>y，那么yy;(对称性)

(2)如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)

(3)如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z;(加法则)

(4)如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，z

(5)如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z;如果x>y，z

(6)如果x>y，m>n，那么x+m>y+n(充分不必要条件)

(7)如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn

(8)如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)

8.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

9.解一元一次不等式的一般顺序：

(1)去分母(运用不等式性质2、3)

(2)去括号

(3)移项(运用不等式性质1)

(4)合并同类项

(5)将未知数的系数化为1(运用不等式性质2、3)

(6)有些时候需要在数轴上表示不等式的解集

10.一元一次不等式与一次函数的综合运用：

一般先求出函数表达式，再化简不等式求解。

11.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成

了一个一元一次不等式组。

12.解一元一次不等式组的步骤：

(1)求出每个不等式的解集;

(2)求出每个不等式的解集的公共部分;(一般利用数轴)

(3)用代数符号语言来表示公共部分。(也可以说成是下结论)