不等式

不等式的基本性质有对称性，传递性，加法单调性，即同向不等式可加性；乘法单调性；同向正值不等式可乘性；正值不等式可乘方；正值不等式可开方；倒数法则。

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

不等式的基本性质：

1、对称性。

2、如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）。

3、如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。

4、如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。

5、不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。

6、如果x>y，m>n，那么x+m>y+n。

7、如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn。

8、如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)。

不等式的基本性质的另一种表达方式：

1、对称性。

2、传递性。

3、加法单调性，即同向不等式可加性。

4、乘法单调性。

5、同向正值不等式可乘性。

6、正值不等式可乘方。

7、正值不等式可开方。

8、倒数法则。

用不等号（，≥，≤，≠）连接的式子叫做不等式。

性质

1.不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

2.不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

3.不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变；

4.对称性：如果x>y，那么yy；

5.传递性：如果x>y，y>z；那么x>z；

6.充分不必要条件：如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；

7.如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂

大于取两边，小于取中间。大于取两边，小于取中间是不等式的求解的一种简便方法。例如：大于取两边：|x|>3的解集为{x|X>3或x

解集

比两个值都大，就比大的还大，比两个值都小，就比小的还小，比大的大，比小的小，无解，比小的大，比大的小，有解在中间。三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。

扩展资料

不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号>、 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

不等式x²-2x＜0的解集是0＜x＜2。

x²-x＜0

x(x-2)＜0

x＜0、x-2＞0；或，x＞0，x-2＜0

由x＜0、x-2＞0得，x＜0、x＞2，无解

由x＞0、x-2＜0得，x＞0、x＜2，得0＜x＜2

综上：0＜x＜2

解集：全称应当是“解的集合”，或者更繁琐一点应当是“求集合A（包含于R），使得A中所有的元素都满足不等式，所有非A的元素都不满足不等式”；所有不止一个解的方程都应当有一个“解集”，这个概念不是不等式独有的。

区间：连续集的一种表示方法，比如(a,b)等价于{x|a≤x≤b}，[a,b]等价于{x|a≤x≤b}。所以“用区间表示”就是要用区间的形式来表示这个解集。

不等式的解与解集区别与联系：不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值；而不等式的解集，是指满足这个不等式的未知数的所有的值，不等式的所有解组成了解集，解集中包括了每一个解。

含参数不等式怎么解？今天小编为大家讲解一下。

操作方法

含参数不等式就是指不等式中未知数前面是一个参数，而不是一个常数。

以上图式子为例，先对参数的可能取值进行划分，可以将其划分为三种：a＞0,a＝0,a＜0。

原式可化为ax＞b，然后分情况进行讨论，如图所示。

对解集进行汇总，汇总结果，如图所示。

特别提示

以上纯属个人编写，请勿转载抄袭。

怎样求解不等式呢？今天小编为大家讲解一下。以图示不等式为例。

操作方法

通过移项，将不等式的右边化为0，如图所示。

将左边的不等式进行通分，然后将其合并整理，如图所示。

对分式不等式进行化简，将其变换为整式不等式，如图所示。

变为整式不等式之后，将未知数X前面的系数化为整数，进行下一步，如图所示。

解得各个不等式的解，然后将各个解在数轴上面表示出来，写出不等式解集即可，如图所示。

特别提示

以上纯属个人编写，请勿转载抄袭。

一元二次不等式是我们在初高中的重点学习内容，今天我们就来说说一元二次不等式的解法，温故而知新才是好孩子。

工具/材料

草稿纸、笔

操作方法

首先我们要把不等式变为二次项系数大于零的标准式，如图所示。

求出一元二次方程的根。能分解的用十字相乘法，不能分解的用配方法或公式法。

再根据根来求出解集区间。

数学家夏道行关于函数积分和不变测度理论的研究成果被国际数学界称为“夏亚不等式”。

夏道行数学家。江苏泰州。他于1950年毕业于山东大学数学系。1952年，他毕业于浙江大学数学系。复旦大学前教授。在函数论方面，确定了格鲁辛的两个猜想，建立了“拟共形映射的参数表示”。得到了一些有用的不等式和一些称为“夏道行函数”的性质。

在单叶函数理论的面积原理和偏差定理方面，已经取得了系统的、影响深远的成果。在泛函分析方面，建立了对合半赋范环理论和局部有界拓扑代数理论。首先，建立了异常算子的奇异积分算子模型。条件正定广义函数的理论研究和无限维系统的实现取得了重要成果。在现代数学和物理学中，对不定尺度的散射问题已经取得了创造性的成果。1980年，他被选为中国科学院院士。

[·夏亚不等式]数学家夏道行关于函数积分和不变测度理论的研究成果被国际数学界称为“夏亚不等式”。

夏道行数学家。江苏泰州。他于1950年毕业于山东大学数学系。1952年，他毕业于浙江大学数学系。复旦大学前教授。在函数论方面，确定了格鲁辛的两个猜想，建立了“拟共形映射的参数表示”。得到了一些有用的不等式和一些称为“夏道行函数”的性质。

在单叶函数理论的面积原理和偏差定理方面，已经取得了系统的、影响深远的成果。在泛函分析方面，建立了对合半赋范环理论和局部有界拓扑代数理论。首先，建立了异常算子的奇异积分算子模型。条件正定广义函数的理论研究和无限维系统的实现取得了重要成果。在现代数学和物理学中，对不定尺度的散射问题已经取得了创造性的成果。1980年，他被选为中国科学院院士。

以数轴穿根法为例，解一元二次不等式的步骤如下：1、将二次项系数变成正的;2、画数轴，在数轴上从小到大依次标出所有根;3、从右上角开始，一上一下依次穿过不等式的根，遇到含x的项是奇次幂就穿过，偶次幂就跨过;4、注意舍去使不等式为0的根。

一元二次不等式的方法有哪些

一元二次不等式的方法有：配方法、一元二次函数图象法、数轴穿根法、数轴法等等。一元二次不等式，是指含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是 ax²+bx+c>0 、ax²+bx+c≠0、ax²+bx+c

数轴穿根法的介绍

用穿根法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点，大于零的不等式的解对应这曲线在轴上方部分的实数的值的集合，小于零的则相反。这种方法叫做序轴穿根法，又叫“穿根法”。口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。”

基本不等式公式为：a+b≥2√(ab)。

常用的不等式公式有：

√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)

√ab≤(a+b)/2

a²+b²≥2ab

ab≤(a+b)²/4

||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|（注：|a|读作a的绝对值）

其中，a＞0，b＞0，当且仅当a=b时，等号成立。

一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“

1、不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；

2、不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；

3、不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向变。

1、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

2、一元一次不等式组的解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

一、教学目标

1．知识目标：熟练掌握一元二次不等式的两种解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。

2．能力目标：培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力。

3．德育目标：通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想。在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神。

二、学生分析

高一学生在初中已经学过一元一次方程、一元一次不等式、一次函数和一元二次方程、一元二次不等式、二次函数，但学生并不知道它们三者之间的关系。考虑到高一年级的学生知识掌握很好，但在思维上还是比较依赖老师，这个时候教师就要起引导作用，让学生自己去发现问题，通过自主探究和合作学习来解决问题。

绝对值不等式

简介

在不等式应用中，经常涉及重量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。

公式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

性质

|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。

两个重要性质：1.|ab|=|a||b|;|a/b|=|a|/|b|

2.|a|＜|b|可逆a²＜b²

另外

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立。

|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时左边等号成立，ab≤0时右边等号成立。

几何意义

1.当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。2.当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。

(|a+b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)

绝对值重要不等式

我们知道

|a|={a，(a＞0)，a，（a=0)，﹣a，（a＜0)，}

因此，有

﹣|a|≤a≤|a|

﹣|b|≤b≤|b|

同样地

①，②相加得

﹣﹙|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|

即|a+b|≤|a|+|b|

显而易见，a，b同号或有一个为0时，③式等号成立。

由③可得

|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|，

即|a|-|b|≤|a+b|

综合③，④我们得到有关绝对值（absolutevalue)的重要不等式

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

常用的不等式的基本性质：a>b,b>c→a>c;

a>b→a+c>b+c;

a>b,c>0→ac>bc;

a>b,c

a>b>0,c>d>0→ac>bd;

a>b,ab>0→1/a

a>b>0→a^n>b^n;

基本不等式：√(ab)≤(a+b)/2

那么可以变为a^2-2ab+b^2≥0

a^2+b^2≥2ab

扩展：若有y=x1*x2*x3.....Xn且x1+x2+x3+...+Xn=常数P,则Y的最大值为((x1+x2+x3+.....+Xn)/n)^n

绝对值不等式公式：

||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|

||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|

证明方法可利用向量，把a、b看作向量，利用三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边。

考点二、不等式基本性质

1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立;

考点一、不等式的概念（3分）

1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、用数轴表示不等式的方法

考点二、不等式基本性质

(3~5分)

1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立;

考点三、一元一次不等式（6--8分）

：

1、一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将x项的系数化为1

考点四、一元一次不等式组（8分）

1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集

(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

6、不等式与不等式组

不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

7、不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

学习了一元一次不等式组以后，我们可以利用不等式组解决许多与实际密切联系的问题。解决此类问题的关键是要找准不等关系，从而根据不等关系列出不等式组把问题解决。一般情形下，在有关一元一次不等式组的实际问题中，不等关系分为两种类型。

一、不等关系明显型

此类问题的特点是在题目中会出现明显的表示不等关系的关键字，如“大于”、“小于”、“不能超过”、“不少于”、“最多”等。

例1（哈尔滨市）双蓉服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若销售一件A型服装可获利18元，销售一件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总获利不少于699元，问有几种进货方案？如何进货？

分析：由题意，本题不等关系非常明显，由两个表示不等关系的关键字即可看出，即“最多”和“不少于”，因此要解决本题我们可以直接根据这两个关键字列出不等式组。

解：设B型服装购进x件，则A型服装购进件，根据题意，得

解得

因为x为整数，所以x=10、11、12

所以、26、28

所以有三种进货方案：B型服装购进10件，A型服装购进24件或B型服装购进11件，A型服装购进26件；B型服装购进12件，A型服装购进28件。

例2（连云港市）光明农场有某种植物10000千克，打算全部用于生产高科技药品和保健食品。若生产高科技药品，1千克该植物可提炼出0.01千克的高科技药品，将产生污染物0.1千克，每1千克高科技药品可获利润5000元；每生产1千克保健食品可获利润100元。1千克该植物可生产0.2千克保健食品，将产生污染物0.04千克。要使总利润不低于410000元，所产生的污染物总量不超过880千克，求用于生产高科技药品的该植物重量的范围。

分析：由题意很容易发现体现本题不等关系的两个关键字，即“不低于”和“不超过”，因此我们就根据这两个关键字列出不等式组把问题解决。

解：设用于生产高科技药品的该植物重量为x千克，则用于生产保健食品的该植物重量为（10000－x）千克，根据题意，得

解得

所以用于生产高科技药品的该植物重量不低于7000千克且不高于8000千克。

二、不等关系隐含型

此类问题的特点是题目中没有出现表示不等关系的关键字，因此不等关系比较含蓄，需要我们从题意中分析得到。

例3（广东省茂名市）今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝、香蕉各2吨。

（1）该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来。

（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案使运输费最少？最少运输费是多少？

分析：本题没有明显的不等关系，但是从题意可知本题是一个最优方案设计问题，因此可以建立不等式组模型来解决问题。由题意，本题的不等关系为：10辆甲、乙两种货车的运货总量至少要达到30吨荔枝，13吨香蕉。

解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（10－x）辆，根据题意，可得

解得5小于等于X大于等于7

因为x为整数，所以x=5、6、7，

所以5、4、3。

所以车辆安排有三种方案：

方案一：甲种车、乙种车各5辆；

方案二：甲种车6辆、乙种车4辆；

方案三：甲种车7辆、乙种车3辆。

（2）方案一，要运输费：

元

方案二，要运输费：

元

方案三，要运输费

元

这说明，方案一所需运输费最少，为16500元。

例4（常州市）七（2）班有50名学生，老师安排每人制作一件A型或B型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36千克，乙种制作材料29千克，制作A、B两种型号的陶艺品用料情况如下表：

需甲种材料需乙种材料

1件A型陶艺品0.9千克0.3千克

1件B型陶艺品0.4千克1千克

（1）设制作B型陶艺品x件，求x的取值范围；

（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作A型和B型陶艺品的件数。

分析：本题题目中没有出现明显的表示不等关系的字，所以不等关系比较隐含，分析题意可发现，制作两种型号的陶艺品的材料已给出限制，所用材料不能超过这个限制，因此我们就可以根据总材料的限制来列出本题的不等式组。

解：（1）设制作B型陶艺品x件，则制作A型陶艺品为（50－x）件，由题意，得

解得

（2）由（1）知，又因为x为整数，

所以x=18、19、20，50－x=32、31、30

所以七（2）班制作A型和B型陶艺品的件数有三种可能：

可能一：制作A型陶艺32件，B型陶艺18件；

可能二：制作A型陶艺31件，B型陶艺19件；

可能三：制作A型陶艺30件，B型陶艺20件。

一、目标与要求

1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上;

2.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想;

3.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。

二、知识框架

三、重点

理解并掌握不等式的性质;

正确运用不等式的性质;

建立方程解决实际问题，会解"ax+b=cx+d"类型的一元一次方程;

寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型;

一元一次不等式组的解集和解法。

四、难点

一元一次不等式组解集的理解;

弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式;

正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。

五、知识点、概念总结

1.不等式：用符号""，"≤"，"≥"表示大小关系的式子叫做不等式。

2.不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。

一般地，用纯粹的大于号、小于号">"，"

3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

5.不等式解集的表示方法：

(1)用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来，例如：x-1≤2的解集是x≤3

(2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解，用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线;二是定方向。

6.解不等式可遵循的一些同解原理

(1)不等式F(x)F(x)同解。

(2)如果不等式F(x)

(3)如果不等式F(x)0，那么不等式F(x)H(x)G(x)同解。

7.不等式的性质：

(1)如果x>y，那么yy;(对称性)

(2)如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)

(3)如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z;(加法则)

(4)如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，z

(5)如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z;如果x>y，z

(6)如果x>y，m>n，那么x+m>y+n(充分不必要条件)

(7)如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn

(8)如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)

8.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

9.解一元一次不等式的一般顺序：

(1)去分母(运用不等式性质2、3)

(2)去括号

(3)移项(运用不等式性质1)

(4)合并同类项

(5)将未知数的系数化为1(运用不等式性质2、3)

(6)有些时候需要在数轴上表示不等式的解集

10.一元一次不等式与一次函数的综合运用：

一般先求出函数表达式，再化简不等式求解。

11.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成

了一个一元一次不等式组。

12.解一元一次不等式组的步骤：

(1)求出每个不等式的解集;

(2)求出每个不等式的解集的公共部分;(一般利用数轴)

(3)用代数符号语言来表示公共部分。(也可以说成是下结论)

1、不等式

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。

2、不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

3、用数轴表示不等式的方法

4、不等式基本性质

⑴、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

⑵、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

⑶、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

不等式的性质：⑴a>b←→a+c>b+c

⑵a>b←→ac>bc(c>0)

⑶a>b←→ac

⑷（传递性）a>b，b>c→a>c

⑸a>b，c>d→a+c>b+d.

5、一元一次不等式

⑴、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。

⑵、一元一次不等式的解法（在数轴上表示解集）

解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1

即通过去分母、去括号、移项合并同类项，把不等式化为(或)()的形式，再把系数化为1得出不等式的解集．

说明：在去分母和化系数为l时，需特别注意不等式两边同时乘以(或除以)一个负数，要将不等号改变方向，其解集情况如下：

①当时，(或)．

②当时，(或)．

③当时，若，不等式无解(或不等式的解集为一切实数)．

④当时，若，不等式的解为一切实数(或不等式无解)．

6、一元一次不等式组

⑴、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

⑵、一元一次不等式组的解法（在数轴上表示解集）

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

即先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．

两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的一般情况可见下表(其中)．口诀不等式组解集在数轴上表示

同小取小

同大取大

大小取中

两背为空