初三数学因式分解题目(精彩20篇)

1、有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。

直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。

直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：2、性质性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

性质2：在直角三角形中，两个锐角互余

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R＝C/2）。

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

性质5：射影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项

∠ACB=90°

CD⊥AB（４）ABCD=ACBC(可用面积来证明）

(5)直角三角形的外接圆的半径R=1/2BC，

(6)直角三角形的内切圆的半径r=1/2(AB+AC-BC)(公式一)；

r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二)

性质6：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

3、判定方法：

判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。

判定3：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

判定4：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定5：两个锐角互余的三角形是直角三角形。

判定6：在直角三角形中，60度内角所对的直角边等于斜边的根号3/2

判定7：在证明直角三角形全等的时候可以利用HL两个三角形的斜边长对应相等以及一个直角边对应相等可判断两直角

1、正数：像小学学过的大于0的数叫做正数。

2、负数：在正数前面加上负号“－”的数叫做负数。

3、正数负数的判断方法：

⑴具体的数：看是否有负号“－”，如果有“－”就是负数，否则是正数。

⑵含字母的数：如－a要看a本身的符号，如a是负的，则－a是正数，如a是正的则－a是负数，如a是0则－a是0。

4、0的含义：①0表示起点。②0表示没有。③0表示一种温度。④0表示编号的位数。⑤0表示精确度。⑥0表示正负数的分界。⑦0表示海拔平均高度。

5、具有相反意义的量；

6、正负数的作用：在同一问题中，用正负数表示的量具有相反的意义。

数学童话——新桌布

熊猫妈妈做了一张新的圆桌，既漂亮又结实。

熊猫妈妈高兴地对梅花鹿阿姨说:“没必要站在饭盆旁边。”梅花鹿阿姨说:“你的圆桌真漂亮。如果你能配一块合适的桌布，那就更好了。”"嗯，梅花鹿阿姨，你眼光真好，请给我做块桌布吧。"熊猫的妈妈也告诉他，“我有一张半径1米的圆桌，请给我一张两倍大的桌布。”梅花鹿阿姨说:“好的，好的，我下次给你带过来。”

几天后，梅花鹿阿姨兴奋地给熊猫妈妈带来了一块漂亮的桌布。熊猫妈妈一看到这种颜色就喜欢上了。她迅速把桌布铺在圆桌上，试了试。她看到桌子上的桌布快要拖到地上了。“太大了。太大了，”熊猫妈妈遗憾地说。梅花鹿阿姨一听，很是不解，连忙说道:“奇怪，奇怪，我是按照你的指示买的。为什么这么大？”熊猫妈妈问:“这块桌布的半径是多少？”梅花鹿阿姨说:“你的圆桌半径是1米，当然，做桌布的半径是2米。”熊猫妈妈说:“唉，错了，错了，我的圆桌半径是1米，面积是3.14平方米；桌布的半径为2米，面积为12.56平方米，是圆桌面积的4倍。难怪它太大了。”梅花鹿阿姨灵机一动:“这很容易。我们可以把它切小一点，变小一点。”熊猫妈妈说:“真的，这是个好主意！”

梅花鹿阿姨和熊猫妈妈拿着粉笔、尺子、圆规和剪刀，在台布上量了量，画了画，台布很快就换了。新桌布的面积正好是圆桌的两倍。

从那以后，只要你去参观熊猫妈妈的家，你就会看到一张美丽而合适的新桌布被放在圆桌上。

孩子们，你们知道他们是怎么换桌布的吗？

确定事件和随机事件

1、确定事件

必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。

不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。

2、随机事件：

在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。

一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。

对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。

1、确定事件概率

（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1

（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0

2、确定事件和随机事件的概率之间的关系、

中等题

10．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是()

A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3

11．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图3-4-13，给出下列结论：①2a＋b＞0；②b＞a＞c；③若－1＜m＜n＜1，则m＋n＜－ba；④3|a|＋|c|＜2|b|.其中正确的结论是____________(写出你认为正确的所有结论序号)．

12．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1.

(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时，求二次函数的解析式；

(2)当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D两点的坐标；

(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

答案：

10．B 11.①③④

12．解：(1)将点O(0,0)代入，解得m＝±1，

二次函数关系式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x.

(2)当m＝2时，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，

∴D(2，－1)．当x＝0时，y＝3，∴C(0,3)．

(3)存在．接连接C，D交x轴于点P，则点P为所求．

由C(0,3)，D(2，－1)求得直线CD为y＝－2x＋3.

当y＝0时，x＝32，∴P32，0.

知识点三、圆的基本性质

1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。

3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。[来源:学科网ZXXK]

圆周角定理推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

圆周角定理推论２：直径所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的弦是直径。

整式的运算法则

整式的加减法：(1)去括号;(2)合并同类项。注意：(1)单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

(2)单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。

(3)计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。

(4)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。

(5)公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

(6)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

方法每个同学都想要，尤其是学霸的学习方法，其实，在小编看来，所有的方法如果少了“执行力”这个词，都不称之为方法了!下面总结的状元高中数学学习方法，小编认为都很好，同学们可以选择一个适合的，并持续下去哦!

状元高中数学学习方法：

新疆理科状元：

学习数学最重要的一点就是：新旧结合、注重通法、记忆结论、抠透细节。

学了新知识，回头看看旧的东西，你会发现可以用新知识解决许多旧问题，同样只要你善于联系，旧知识照样可以解决新问题。例如：用导数解决函数单调性问题，向量解决立体几何问题，数列证明不等式，当然函数也可解决不等式。因此，知识的结合是很重要的。就说数形结合吧，数没有形直观，形没有数逻辑性强，二者刚好互补。

同样，结合意味着化归、转化，如：非等比，等差数列转化为等比，等差数列，甚至各项大于0的等比数列取对数也可化为等差数列。所有公式中，万能公式沟通了三角与实数(只需令tanA=x)，这不也是一种结合吗?

知识盲点：

1.空集的特殊性;

2.不等式系数的不确定性;

3.消元过程扩大解集;

4.均值不等式应用中忽视取等条件;

5.区分最值与极值;

6.等比数列小心q=1的情况;

7.a//b即a=xb(b0);

8.做题中任何题都应优先定义域;

9.轨迹及方程问题中注意各轨迹方程的定义，如：圆要求D2+E2-4F>;0等;

10.两圆位置关系与半径的联系。

易错点：

1.忽略定义域;

2.分类讨论做不到“不重不漏”;

3.忽略了定理，定义的限定条件;

4.向量法求二面角，对其是否大于90度不清楚;

5.遗漏一些特殊情况，如：空集，求数列通项忽略对n=1的验证，忽略导数不存在的点及斜率不存在的情况等。

云南理科状元：

数学是思维的体操。且不谈“粒子之小，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁”，处处都闪烁应用数学的光芒，高度抽象的纯粹数学，也有其深刻而动人的美丽，堪称艰深难懂而璀璨美丽的艺术。恰如Russell所说：“公正而论，数学不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美—一种冷峻严肃的美，如同一尊雕塑。”学习数学不仅为了应试解题，更要培养思考问题的逻辑性与严密性，提升思维品质。

学好数学关键在于思考。看似枯燥无味的数学公式，细心品味其内涵与外延，也能触摸到深刻的美丽。数学教材要通读，从最基本的概念出发，一步步推导出美丽的结论，前后勾连，交织成严密知识网络。记忆公式要学会举一反三，注意不同条件下结论的变化，掌握公式的推广和特例，衍生出解决问题的有效模式。

平时做题时，不要满足于记忆解答，要体会每一步的“动机”，才算完成了思维训练。只记住步骤而不思索动机，不像在看书，倒像在校稿。习题要精做，关键在于赋予每道题应有的思维分量。习题要精选精做，每做一题，要归纳解题的入口和关键步骤，尝试着改变条件和结论，探索一类题的解法。

各类考试有严格的时间、空间限制，要做到快速、准确地解题，必须采取一定解题策略，在“理解题目、拟定方案、执行方案、回顾”四个环节里节约时间，提高准确率，争取拿到所有应得的分数。

高考数学的题型颇有规律可循，平时多进行定时、定量的解题训练，才能突破弱项，提升速度，找到解题的感觉。

广西文科状元：

数学一直是我的强项，可惜高考时由于太过粗心没考出应有水平，我很遗憾。但是，学弟学妹们，现在希望还掌握在你们手中，不管现在成绩如何，还有时间做出调整。只要把握好，高分甚至满分数学和每个人都是等距离的。

题海战术

我个人还是比较支持题海战术的。数学考试范围广，题形多。只有多练才能达到多见识的目的，靠典型题目做少量题型得到高分是非常难的。当然，不能盲目做题，要精选题目，而且做完后要总结规律。最好能把做错题目抄录下来，以便最后巩固。

套题训练

数学的成绩是练出来的，而且要用符合高考的标准来练，而套题是最符合要求的。我练套题是捏准时间，然后严格打分，通过每星期两三套那样的练下来，找出自己的薄弱知识点，然后重点击破。就这样节节提高，到最后胸有成竹。小建议：套题训练最好留到二轮或者三轮复习时。

不要马虎

高考中我就因为马虎而白白丢分，很是遗憾。数学考试中经常听到同学抱怨说：“怎么又马虎粗心了!”或是“这道以前错过的题目怎么又做错了!”为了防止犯低级错误，我的做法是时刻提醒我自己要小心。我经常在考试前在草稿纸或者本子上写上自己平时容易犯的错误，比如一定要记得函数的定义域之类的。然后考试时不停地提醒自己不要犯此类错误，这样效果很好。还有就是，考试时不要总想着做完所有题目后有时间检查，一定要把题做成一遍就过，一遍就对。

胶头滴管

1.用途：

a、胶头滴管用于吸取和滴加少量液体

b、滴瓶用于盛放少量液体药品

2.注意事项：

a、先排空再吸液

b、悬空垂直放在试管口上方，以免污染滴管，滴管管口不能伸入受滴容器（防止滴管沾上其他试剂）

c、吸取液体后，应保持胶头在上，不能向下或平放,防止液体倒流，沾污试剂或腐蚀胶头；

d、除吸同一试剂外，用过后应立即洗净，再去吸取其他药品，未经洗涤的滴管严禁吸取别的试剂（防止试剂相互污染。）

e、滴瓶上的滴管与瓶配套使用，滴液后应立即插入原瓶内，不得弄脏，也不必用水冲冼。

据新华社报道，“七千年数学问题”之一的庞加莱猜想是这次国际数学家大会的焦点。事实上，除了美国克雷数学研究所在世纪之交提出的“七千年数学问题”之外，数学史上还有一些有趣的数学问题给人们留下了深刻的印象。

哥德巴赫猜想

主讲人:德国教师哥德巴赫；提交日期:1742年；内容描述:任何大于2的偶数都可以表示为两个质数之和；

研究进展:未完全解码。

第二，费马大定理

推荐者:法国数学家费马；提交日期:1637年；内容陈述:x的n次方加上y的n次方等于z的n次方，当n是大于2的自然数时，没有正整数解；

研究进展:英国数学家安德鲁？怀尔斯和他的学生理查德？泰勒在1995年成功证明了这一点。

三四色猜想

推荐者:英国学生格思里；提交日期:1852年；内容描述:每张地图可以有4种颜色，使得有共同边界的国家有不同的颜色。

研究进展:1976年通过计算机验证。

四、女孩走路的问题

推荐者:英国数学家柯克曼；提议:1850年；内容描述:一个学生宿舍里有15个女生，每天三人一组，问如何安排，这样每个女生就有机会一周只和其他女生在同一个组里走一次。

研究进展:已证实。

五、七桥问题

推荐者:来自普鲁士城镇哥尼斯堡(现在的俄罗斯加里宁格勒)；它是在18世纪初提出的。内容描述:一条河流的两条支流绕过一个岛屿，七座桥横跨两条支流。问一个步行者他是否能走过每座桥，如果每座桥只能走一次，让步行者回到他原来的地方。

研究进展:瑞士数学家欧拉在1736年成功解决了这个问题。

1.轴对称的定

把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点。

【轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等。】

2.轴对称图形的定义

把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。

【轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定。】

3.轴对称与轴对称图形的区别与联系

轴对称与轴对称图形的主要区别：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.。

4.轴对称的性质

轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等。

5.线段的轴对称性

①线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。

②线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

③线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

【①线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。②三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心。】

6.线段的垂直平分线

垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。

7.角的轴对称性

（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。

（2）角平分线上的点到角两边的距离相等。

（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

【①用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等。若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF】

【②用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB】

8.角平分线的画法

角平分线的尺规作图

一、矩形、菱形、正方形的性质

1.矩形的性质

①具有平行四边形的一切性质；

②矩形的四个角都是直角；

③矩形的对角线相等；

④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；

⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.菱形的性质

①具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；

⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。

3.正方形的性质

正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质

①边：四边相等，对边平行；

②角：四个角都是直角；

③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；

④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。

例1矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）

A．360B．90

C．270D．180

例2如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD相交于点O，BE：ED＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。

例3如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数。

例4菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________。

例5如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．

二、矩形、菱形、正方形的判定

1.矩形的判定

①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；

②对角线相等的平行四边形是矩形；

③有三个角是直角的四边形是矩形；

④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

2.菱形的判定方法

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

③四条边都相等四边形是菱形；

④对角线垂直平分的四边形是菱形。

3.正方形的判定

①菱形+矩形的一条特征；

②菱形+矩形的一条特征；

③平行四边形+一个直角+一组邻边相等。

说明一个四边形是正方形的一般思路是：先判断它是矩形，在判断这个矩形也是菱形；或先判断它是菱形，再判断这个菱形也是矩形。

例1.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，并交于点E，连续EC、AD。

求证：四边形ADCE是矩形。

例2.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，ED⊥BC，DF//AB.

求证：AD与EF互相垂直平分。

例3.已知如图，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。

求证：四边形CDEF是菱形。

三、矩形、菱形、正方形与函数综合题

1.利用矩形、菱形、正方形的知识解决函数问题；

2.利用函数知识解决矩形、菱形、正方形的问题；

例1.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．

（1）求k的值；

（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离。

例2.如图，点B、C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为______．

例3已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．

（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式。

四、矩形、正方形的翻折

1.从翻折中找出对称轴，利用对称性找相等关系。

2.利用相等关系建立方程解决问题。

例1如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若CF=1，FD=2，则BC的长是()

A．3√6B．2√6

C．2√5D．2√3

例2如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（）

A.1或2B.2或3

C.3或4D.4或5

例3如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，将△ABE沿BE对折，A点恰好落在对角线BD上的点F处。延长AF，与CD边交于点G，延长FE，与BA的延长线交于点H，则下列说法：①△BFH为等腰直角三角形；②△ADF≌△FHA；③∠DFG=60°；④DE=2-√2；⑤S△AEF=S△DFG．其中正确的说法有（ ）

A．1个B．2个

C．3个 D．4个

例4四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H。

(1)如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明。

(2)如图2，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长。

五、综合运用

1.计算。利用矩形、菱形、正方形中的等腰三角形和直角三角形进行计算。

2.证明。利用矩形、菱形、正方形的性质和判定，结合全等三角形、等腰三角形、等边三角形的知识展开证明。

3.探究。利用矩形、菱形、正方形等知识展开探究。

例1在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．

(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．

(2)如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．

(3)如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由。

例2现有两个具有一个公共顶点的等腰直角三角形△ADE和△ABC，其中∠ACB和∠AED=90°，且AC=BC，AE=DE，CF⊥AB于F，M为线段BD中点，连接CM，EM.

(1)如图1，当A、B、D在同一条直线上时，若AC=1，AE=2，求FM的长度；

(2)如图1，当A、B、D在同一条直线上时，求证：CM=EM；

(3)如图2，当A、B、D在同一条直线上时，请探究CM，EM的数量关系和位置关系，请先给出结论，然后证明。

小学生数学日记:我的“数学宝贝”

孩子们，你们期待周末吗？这个问题似乎问得有点多。世界上有谁不喜欢周末吗？

孩子们，你们为什么喜欢周末？没有课吗？睡懒觉？学习特殊技能？或者玩游戏？我的回答是“呵呵，我终于可以玩婴儿数学了！”

也许，你会说你玩过《愤怒的小鸟》和《水果忍者》。什么是“婴儿数学”？哈哈它比那些更有意义！

我喜欢用“玩”这个词，因为它充分反映了它的兴趣。有趣的游戏，丰富的场景和丰富的收获。每次让我做梦，都不耐烦。

但这不是游戏。因为在玩耍中，我不知不觉地学到了很多数学知识。从最初对1-10的理解到现在100以内的加减运算。随着进步的不断进步，我的数学也像芝麻开花一样，稳步上升！

1．分子的性质

①分子的体积和质量都很小

一滴水里的水分子有多少？怎样才能把它们数完？

一滴水中含有1.67×1021个水分子，需十亿人口、每人每分钟数100个、昼夜不停地数3万多年才能数清。

②分子间有一定间隔，且分子间的间隔受热增大，遇冷减小。气态物质分子间隔最大

a.取50ml水、50ml酒精倒进100ml量筒混合后体积小于100ml，但质量等于两者之和。

不同的液体其分子间间隔不同，如果把它们混合起来，相互挤占对方的空隙，最终体积不是1+1=2。这说明不同液体的体积不能相加。然而质量却能相加，因为组成物质的微粒个数没有改变。

b.气球易被压缩，而铅球受压几乎纹丝不动

气体分子间的间隔很大，而液体、固体分子间的间隔较小。

③分子在不停运动，且温度越高运动越快

水受热后加快蒸发、夏天湿衣服比冬天易干、物体受热体积会胀大，遇冷体积会减小……

路过花圃、饭店门口会闻到气味、向静置的盛水烧杯中加入品红,水也变红、

浓氨水在空气中扩散使酚酞溶液变红……

④同种分子化学性质相同，不同种分子化学性质不同

同样是水分子组成的水，既可呈液态，又可呈气态、固态，其状态不同，即物理性质不同，

但只要是水分子，通电就能分解成氢气、氧气，即它的化学性质是相同的。

2．分子的内部结构

分子在化学变化中可分成更小粒子——原子，可见分子是由原子构成，

同种元素的原子构成单质分子，不同种元素的原子构成化合物的分子。

3．分子的概念---分子是保持物质化学性质的最小粒子。

[讨论]在物理变化和化学变化过程中，分子发生了怎样的变化？

物理变化时，分子不变，只是分子间的间隔发生了变化，而在化学变化中分子发生了变化，变成更小的粒子——原子。

一次函数定义：一般地，形如y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的函数，叫一次函数。

（存在条件:①两个变量x、y,②k、b是常数且k≠0,

③自变量x的次数是1，④自变量x的是整式形式）

一次函数与正比例函数关系:正比例函数包含于一次函数，即正比例函数是一次函数；正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。

一次函数性质：以下各条性质反之也成立。

①图像形：是一条直线。称为直线y=kx+b

②象限性:

当k＞0、b＞0时，直线经过第一、二、三象限，不过四象限。

当k＞0、b＜0时，直线经过第一、三、四象限。不过二象限

当k＜0、b＞0时，直线经过第一、二，四象限。不过三象限

当k＜0、b＜0时，直线经过第二，三、四象限。不过一象限

③增减性：当k＞0时，直线从左向右上升，随着x的增大(减小)y也增大(减小)

当k＜0时，直线从左向右下降。随着x的增大(减小)y反而而减小（增大）

④连续性：由于自变量取值是全体实数，所以图像具有连续性。（没有最大或最小值）

⑤截距性;

当b＞0时，直线与y轴交于y轴正半轴(交点位于轴上方)

当b＜0时，直线与y轴交于y轴负半轴(交点位于轴下方)

⑥倾斜性:︱k︱越大，直线越靠向y轴，与x轴正方向的夹角度数越大，越陡。

⑦平移性;直线y=kx+b

当b＞0时，是由直线y=kx向上平移得到的。

当b＜0时，是由直线y=kx向下平移得到的。

⑧平行性：，当时，∥

待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中的未知的系数，从而写出这个式子的方法，叫待定系数法。

用待定系数法确定解析式的步骤：

①设函数表达式为：y=kx或y=kx+b

②将已知点的坐标代入函数表达式，得到方程（组）

③解方程或组，求出待定的系数的值。

④把的值代回所设表达式，从而写出需要的解析式。

注意;正比例函数y=kx只要有一个条件就可以。而一次函数y=kx+b需要有两个条件。

一次函数与一元一次方程的关系

一元一次方程ax+b=0（a,b为常数，且a≠0）可看作一次函数y=ax+b的函数值是0的一种特例，其解是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标，所以解一元一次方程ax+b=0可以转化为当一次函数y=ax+b的值为0时，求相应自变量x的值，因此可以利用图像来解一元一次方程。

求直线y=kx+b与x轴交点时，可令y=0,得到一元一次方程kx+b=0,解方程得x=－,则－就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。

反过来解一元一次方程也可以看作是求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标的值。

一次函数与一元一次不等式的关系

一元一次不等式ax+b＞0或ax+b＜0（a,b为常数，且a≠0）可看作一次函数y=ax+b的函数值大于0或小于0的情形，所以解一元一次不等式可以转化为当一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求相应自变量x的范围，因此可以利用图像来解一元一次不等式。

一次函数y=kx+b，当y＞0时，成为一元一次不等式kx+b＞0;

一次函数y=kx+b，当y＜0时，成为一元一次不等式kx+b＜0;

kx+b＞0的解集是一次函数y=ax+b的函数值为正值时的自变量x的取值范围，对应函数图像在x轴上方；

kx+b＜0的解集是一次函数y=ax+b的函数值为负值时，自变量x的取值范围，对应函数图像在x轴下方。

一次函数与二元一次方程（组）的关系

每个二元一次方程都可以转化为一个一次函数，对应着一条直线；二元一次方程组可以转化为两个一次函数，对应着两条直线。从“数”的角度看是解方程组的过程，从“形”的角度看，解方程组可以看作两条直线交点坐标，因此可以利用图像来解二元一次方程组。

二元一次方程kx－y+b=0(k≠0)的解与一次函数y=kx+b(k≠0)图像上点坐标是一一对应的。

用图像求二元一次方程（组）的近似解方法

①先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：和

②建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图像；

③写出交点的横纵坐标，横坐标的值就是方程组x的解，纵坐标的值就是方程组y的解

④写出方程组的解。

集合形式的概念：

1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆;

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

新初三快扫码关注

本网微信公众号

每日推送学习技巧，学科知识点

助你迎接2020年中考！

全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形．

对应边：能重合的边叫对应边。对应角：能重合的角叫对应角。

全等三角形表示法：

①用符号写出一个三角形的名称②写出全等符号≌③再用符号写出另一个三角形的名称

④如≌△ABC≌△DEF只有一种对应方式。(A→D,B→E,C→F)

⑤注意：对应顶点的字母一定要对应。

说明;△ABC全等于△DEF（A点有三种对应方式，A→D，A→E，A→F）

全等变换形式:

①平移型：

②翻折型：

③旋转型：

全等三角形有如下性质：

(1)全等三角形的对应边相等；(2)全等三角形的对应角相等；

(3)全等三角形的对应中线、对应角平分线、对应高相等；(4)全等三角形的面积相等，周长相等．

判定两个三角形全等的依据：

(1)边边边公理(SSS)：三条边对应相等的两个三角形全等

(2)边角边公理(SAS)：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；

(3)角边角公理(ASA)：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；

(4)(角边角公理的推论(AAS)：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；

(5)斜边、直角边公理(HL)：斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等．

全等三角形对应边对应角找法：

①、对应角所对的边是对应边；对应边所对的角是对应角。

②、公共边是对应边；公共角（对顶角）是对应角。

③、相等的边是对应边；相等的是对应角。

④、最大（小）边与最大（小）边是对应边;最大（小）角与最大（小）角是对应角。

⑤、对应角所夹的边是对应边；对应边所夹的角是对应角。

角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

角平分线判定定理:角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

4．根据质量守恒定律判断，铁丝在氧气中完全燃烧，生成物的质量

A.一定大于铁丝的质量B.一定小于铁丝的质量C.一定等于铁丝的质量D.不能确定

5．下列说法能用质量守恒定律解释的是

A．拧开盛酒精的瓶盖一段时间后质量变小B．20g食盐溶于80g水得到100g的食盐水

C．62g磷和80g的氧反应生成142g五氧化二磷D．mg水受热变为mg的水蒸气

6．煤和石油是当今世界上重要的化石燃料，煤燃烧的主要产物是二氧化碳，石油燃烧的主要产物是二氧化碳和水，由此可知，煤和石油的主要组成元素相同的是

A.氢元素B.氧元素C.碳元素D.硫元素

1．化学方程式表示（）

Ａ．磷加氧气等于五氧化二磷

Ｂ．磷与氧气混合后可生成五氧化二磷

Ｃ．在点燃条件下，4个磷原子与10个氧原子反应生成2个五氧化二磷分子

Ｄ．在点燃的条件下，每124份质量的磷与160份质量的氧气反应，生成284份质量的五氧化二磷

2．在A＋2B===C＋2D的反应中，若A、B、C的相对分子质量依次为16、32、44，则D的相对分子质量为（）。

A．4B．36C．18D．无法确定

3．我国古代炼丹术用的铅丹与硝酸反应的化学方程式是：铅丹，则铅丹的化学式为（）。

A．PbO B．Pb2O2 C．Pb3O4D．Pb2O

几何常见辅助线口诀

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，倍长中线得全等。

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为三角或平四。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆形

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径联。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。