许晨阳获顶级数学大奖（汇总20篇）

数学故事——年轻女孩胜过国王

从前有一个穷人，除了他的女儿以外，没有其他亲戚。他们靠别人的施舍生活。这个女儿非常聪明，她教父亲要智慧。

一次，一个穷人向国王请求施舍。国王问他从哪里来，谁教他这么好听的话。穷人回答说是他们的女儿教他们的。于是国王给了他30个蛋，并说:“把它带给你的女儿，告诉她给我从30个蛋里孵出的小鸡。我会奖励她，否则你将是唯一一个要求。”

这个可怜的人哭着回家，把这一切都告诉了他的女儿。我女儿已经猜到鸡蛋煮好了，所以她让父亲睡觉，并告诉他我会处理一切。父亲听了之后就去睡觉了，而女儿拿了一个锅，把水和豆子放进锅里，开始煮豆子。

第二天早上，女儿早早起床，给父亲打电话，告诉他去国王的马车经过的地方耕地。女儿对父亲说:“当车场靠近时，你会说，‘种豆子吧！唉，快犁地吧！上帝保佑这些成熟的豆子迅速发芽。如果国王问，‘煮熟的豆子怎么长？这样，熟鸡蛋怎么能孵出小鸡呢？你就是这样回答他的。”

穷人听了女儿的话，就去路边耕地。他一见到国王，就大声喊道:“唉，快长吧。上帝保佑这些成熟的豆子长得快！”国王停下来:“可怜的人，这太荒谬了。煮熟的豆子如何生长？”"为什么不呢，我亲爱的国王，煮熟的鸡蛋能孵出小鸡吗？"他笑了。

国王立刻明白了，他的女儿显然已经教会了他如何回答这个问题，并且暗暗感激这个女孩的智慧。所以他给了这个可怜的人一袋大米，让他回家。

考点：圆心角、弦、弦心距的概念

考核要求：清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念，并会用这些概念作出正确的判断.

考点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

考核要求：认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明.

考点：垂径定理及其推论

垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一.

考点：直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系

直线与圆的位置关系可从与之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆的位置关系中，常需要分类讨论求解.

考点：正多边形的有关概念和基本性质

考核要求：熟悉正多边形的有关概念(如半径、边心距、中心角、外角和)，并能熟练地运用正多边形的基本性质进行推理和计算，在正多边形的计算中，常常利用正多边形的半径、边心距和边长的一半构成的直角三角形，将正多边形的计算问题转化为直角三角形的计算问题.

考点：画正三、四、六边形.

考核要求：能用基本作图工具，正确作出正三、四、六边形.

二、达标训练

（一）选择题

5、下列事件：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品.②两直线平行，内错角相等.③三条线段组成一个三角形.④一只口袋内装有4只红球6只黄球，从中摸出2只黑球.其中属于确定事件的为（）

A、②③B、②④C、③④D、①③

6、甲、乙、丙三人随意排成一列拍照，甲恰好排在中间的概率（）

（A）29（B）13（C）49（D）以上都不对

7、从1,2,3,4,5的5个数中任取2个，它们的和是偶数的概率是（）

（A）110（B）15（C）25（D）以上都不对

数学故事——马洛芝南的刺客故事

一天晚上，马洛正在办公室喝威士忌，突然一名刺客闯了进来。

“马洛，对不起，你的末日到了！”说着枪瞄准了马洛。马洛举着酒杯，平静地离开了:“别紧张！谁派你来的？”"一个厌倦被你跟踪的人."“佣金不多吧？我给你三倍的价格怎么样？”

听了这话，刺客似乎有点动心了。马洛倒了一杯威士忌，递给刺客。他继续挖苦道:“不喝酒怎么样？”是因为你喝酒的时候不能拿枪吗？"

刺客不敢掉以轻心。他右手拿着枪，对准马洛，伸出左手，拿起酒杯，一饮而尽。然后他急切地问，"你真的有钱吗？"

"那个保险箱里有很多东西。"马洛指着桌子后面的保险箱说。

为了安抚他的对手，马洛一只手拿起酒杯，另一只手打开了罗的风险柜。他从里面拿出一个鼓鼓囊囊的信封，放在桌子上。

当刺客伸手去拿信封的时候，马洛迅速地把刺客用过的玻璃和保险箱的钥匙放进保险箱，关上柜门，把号码牌弄乱了。这样，保险箱就不能再打开了。

“啊，你在干什么？”刺客立即把枪对准了马洛。

马洛笑了:“那个信封里装满了旧收据。”“你，你说什么？”“好，你开枪，你开枪！即使你杀了我并逃走，你也一定会被立即逮捕，因为你已经留下了决定性的证据？quot"什么？我留下了证据？”刺客问道。突然，他想起了什么，“唉，我被你骗了！”他懊恼地咂了咂嘴，沮丧地溜走了。

是什么导致刺客离开？

答案如下:

马洛的“决定性证据”是刺客的指纹和唾液。马洛把保险柜的钥匙和闯入者使用的玻璃放进保险柜，关上了柜门。在那面玻璃上，有喝威士忌时主攻手左手的唾液和指纹。

数学故事——打赌成功

普瑞是一个聪明的POPO人，他喜欢玩游戏。一天，当他正在参加一个重要的课程考试时，PREEY说了一些疯狂的话，说他想作弊，老师抓不到他。老师听了这些流言，跟他打了个赌，说如果他能逃过学校所谓的第一抓猫专家校长的眼睛，如果他成功了，他会被邀请去酒店吃海鲜。

考试后，PREEY得意洋洋地来到老师面前，说他赢了。老师问校长那天PREEY的情况。校长提供了几条线索:

preey按铃进入考场

preey的书包被从座位上扔到了讲台上。

3: preey的嘴总是发出咀嚼的声音。

4:普瑞总是摇头

5: preey不停地喝水，把所有的水都装在一个2000毫升的热水瓶里。

6.看过他的草稿后，没有明显的证据。

我经常低头，但是我没有任何工具。

8:经常玩笔筒

今天我们开始讲因式分解。

以我对初中数学的理解，因式分解学通了，那么整个中学阶段所有的计算你都过关了，这个说法毫不夸张——换句话说，这是决定你计算能力巅峰的一个章节。

然而在学校里，现在这个内容分配的课时和它在整个中学数学中的地位是不相称的。所以我将用很长很长的篇幅来详细讲解因式分解及其延伸知识。

有人会说是不是小题大做？

你如果仔细研究一下高考数学的大题，特别是解析几何和函数的题目，简直就是各种因式分解的运用，这是直接的联系；至于间接联系那就不胜枚举了，甚至到了大学学高等数学的不定积分的时候，还要用因式分解来进行裂项呢。

因式分解的方法有很多，最根本的就是：公式法。

多项式的乘法是种很有意思的运算。除法当然是它的逆运算，而因式分解也可以看成是一种逆运算。而逆运算的重要性前面已经讲过了，这里就不再讲了。

你！想！得！美！

逆运算对于计算的检查来说绝对是神兵利器！用相同的方法检查是大忌！检查最好的办法就是逆运算而不是：

一！题！多！解！

重要的事情别说三遍，三十遍贼老师都能给你念叨过去。

不是我上年纪爱唠叨。有喜欢乒乓球运动的家长知道，高手的成长过程中，机械地重复一个技术动作是再平常不过的事情，通过成千上万次地练习，让肌肉产生记忆，动作不会变形。

同样的，对于重要的理念，在整个系列中我会时不时地提起，确保作为家长的你把这种正确的理念传递给孩子。

什么？就这么点？

对啊，就这么点，欧几里得五个公设还搞出了平面几何呢。。。

所以不要看不起这几个公式，组合在一起就是千变万化——当然，这里还有一些其他的分解技巧。

最基本的叫分组分解法。

我一直强调的是，任何方法、概念、定义、定理，一定要抓住其本质。所谓的分组分解，就是指待分解的因式经过一定的排列组合之后，可以提取出公因式来。

没错，敲黑板划重点：公因式。

所以，这确实是因式分解里最简单的一种——因为你只要花点笨力气，就一定能做出来。

比如我们先来看因式分解：

只要你有把子力气，就可以进行多次尝试：

这不就试出来了？

当然，这不是我们的终极目的，我们希望的是：一次成型！

这个，有难度。

我们知道，数学难就难在你在做题目的时候是不会有这么明确的指向的。那么多技巧综合运用，我怎么知道该用哪种方法，该怎么分组？！

问题是你连简单的都没练好，怎么可能复杂的能看穿呢？

就分组分解法来说，或者再具体一点，就上面这个例子，我们看到这个式子里有两个字母，所以如果你把所有的字母都岔开，分成的组各包含一个字母，就像题目本身那样，这个一定是错误的分解方式——一组只包含字母a，一组只包含字母b，公因式？连字母公用都做不到。

第二，次数相同的尽量在一起。对于高次的多项式，我们有平方差立方差，立方和等等公式——前提是大家次数是相同的项凑在一起，即所谓的齐次多项式。我们所有的公式里是没有高低次幂混搭在一起走波西米亚风的，一定是整整齐齐的。

有了这两条，直接就能把正确的分组情况给写出来了。

我们再来看一个。

按照之前所讲的办法，首先把字母岔开，然后齐次项。。。

等等，这个就是齐次多项式啊？！

这就是传说中的稍微变一变就束手无策？

齐次多项式不假，这个时候我们还有个对称性的想法，总是和考虑的嘛：

原式

剩下的就好办了。

最后再来一个带着化归的分组分解：

既然叫分组分解，那么这个时候又该怎么办呢？

这个时候好像前面讲的又用不上了。。。

数学永远就是这么尴尬。那这个时候该怎么办？

想想自己手上有什么！（字数太多打感叹号太累了）

既然这个多项式一个减号都没有，那么我们的公式可用范围立马缩小了；而且这个多项式是二次的，那么所有立方的公式也用不了了；于是只剩下和的平方的公式了。

是不是很合理？

然而和的平方的公式只有三项啊！而且只有两个字母啊！

那就先挑出三项只有两个字母满足和的平方的公式再说啊，我们把式子改写成：

先把前三项用起来：

我们发现，中间两项又有公因式了。什么？为什么不用最后两项？

不对称，看了难受。。。

这个时候，答案呼之欲出了，把x+y当成一个整体之后，这又可以走一波和的平方的公式了！

家长在指导分组分解的时候，一定要注意几个原则：字母岔开、对称、手上的工具！

不要光说多试试，再看看。要明确告诉孩子怎么试，怎么看。哪怕是没有头绪地进行尝试，也要让孩子有顺序地试，就像

的分解过程那样尝试，保留所有尝试的记录，不要重复尝试，也不要遗漏。

贼老师，怎么又是不重复，不遗漏？

你，上道了。

拥有一张顶级的高端卡片一直是很多人的目标，最近浦发继VISA、美运等外卡组织的顶级卡后，又推出了万事达的顶级高端卡片，一出场就备受大家的瞩目。卡面设计极简大方，把卡号、个人信息、浦发银行和万事达标识都放在了背面，尽享“双正面”的无价体验，那么这款信用卡究竟怎么样？我们一起来看看？

浦发万事达无价世界卡怎么样

据了解，这款浦发万事达无价世界卡有三个等级，分别是万事达无价世界卡、万事达无价世界尊享卡、万事达无价世界之极卡，都是顶级的卡片。

浦发万事达无价世界卡权益

1、每笔1%返现不封顶

在2018年12月27日之前，持浦发万事达无价世界卡在万事达线路消费，都可以享受每笔1%的返现，上不封顶。

2、每季1%返现额外送

在2018年12月27日之前，在万事达线路消费每季度累计交易达3000元人民币，超出部分获得返现翻番，即多送1%返现。

3、年终奖励5%

在2018年12月27日之前，在万事达线路总消费金额满1万人民币，可以额外奖励5%的返现，也就是最少也有500元。

4、消费返现20%

在2018年12月27日之前，持浦发万事达无价世界卡参与万事达卡环球裳计划，可以获得最高20%的返现。

除了上面的这些返现权益，浦发万事达无价世界卡可以免除全球全币种的外汇兑换费，另外星际酒店、机场礼宾服务自然都是完全有的，就是卡片等级太高，不知道有多少人申请得到呢？

扩展阅读：浦发瑞幸咖啡联名卡值得申请吗？权益、额度、年费三方面评测怎么申请浦发苏宁易购联名信用卡？申请条件有哪些？

中心对称的定义：

把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能与另一个图形重合,就说这两个图形关于这个点对称.

中心对称的性质:

(1)关于中心对称的两个图形是全等形

(2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心且被对称中心平分

已知四边形ABCD和点O（下图），画四边形A’B’C’D’，使它与已知四边形关于点O对称.

画法：

1.连结AO并延长到A’，使OA’=OA，得到点A的对称点A’.

2.同样画B、C、D的对称点

B’、C’、D’.

3.顺次连结A’、B’、C’、D’各点.

四边形A’B’C’D’就是所求的四边形.

3.中心对称的判定:

如果两个图形对应点连线都经过某一点,并且被在个点平分那么这两个图形关于这一点对称。

4.中心对称图形的定义

把一个图形绕着某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形相互重合,那么这个图形叫中心对称图形。

5.中心对称与中心对称图形的联系和区别

区别:

中心对称指两个全等图形的相互位置关系

中心对称图形指一个图形本身成中心对称

联系:

如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形

如果将中心对称图形,把对称的部分看成两个图形,则它们是关于中心对称。

6.中心对称图形与轴对称图形的不同之处为:

1判断下列各图形是否是中心对称图形?为什么?

⑴平行四边形

⑵等边三角形

⑶线段

解:

⑴∵平行四边形的对角线互相平分

∴相对的两个顶点都关于对角线交点对称

∴平行四边形是中心对称图形

⑵∵等边三角形设有对称中心

∴等边三角形不是中心对称图形

⑶∵线段的中心是对称中心

∴线段是中心对称图形

数学故事——聪明的汤普森夫人

汤姆森是一家外贸公司的董事。然而，当公司的业务蒸蒸日上时，他被癌症夺去了生命，公司的业务不得不转移给他人。

十月的一天，一个陌生人来到汤森的家，对他的妻子说:“我是汤森的朋友。去年公司开业后不久，他向我借了30万港元来发展业务。今天他去世了，公司的业务蒸蒸日上，接近年底。我坚信现在是偿还的时候了。”然后他拿出收据，递给汤姆森太太。

汤姆森太太看了看收据，不假思索地说:“对不起，先生！我丈夫死前从未向我提起过这件事。如果他真的欠你钱，我一定会替他还给你，但你的借据是假的。如果你还缠着我，我就叫警察来抓你，骗子！”

陌生人一听，慌慌张张地跑了。对不起，你知道借据有什么问题吗？

小学生数学日记:我们班的数学专家

我们班有一个数学天才。她是罗青云，我们班数学学科的代表！

罗青云非常喜欢数学，而她的先天条件，很快就成了数学老师眼中的宠儿和她肚子里的蛔虫。只要你打开她精致漂亮的家庭作业簿上的红色勾号，你就会想到她数学有多好。

我记得有一次我在做作业时，遇到了一个“路障”。

正在这时，罗青云走过来问我，“怎么了？谁欺负你了？或者你遇到过“路障”吗？"

既然罗青云是我的好朋友，我就把整个故事告诉她。听完这话，她拍拍自己的胸部，自信地对我说:"没关系，你不用担心我！"

在罗青云仔细分析了题目并告诉我如何解决问题后，我突然意识到自己太粗心了，无法理解题目。后来，她告诉我解决这个问题的其他几种方法。我认为数学不再困难了。

另一次，数学老师让我们参加考试。看着密集的试题，我越写越觉得无聊。然后我看着罗青云。她已经检查过了。我不能让她超过我。我继续努力工作。

几天后，分数出来了，她100%稳定，我比她少了6分！这时，我不禁尊敬她！

罗青云真是我们班的数学奇才！

远古时代，人们用在绳索上系结的方式来记数，并以绳结的尺寸来表明猛兽的尺寸，数的概念就在那样的全过程中慢慢发展起來。

在距今约五六千年前，古代埃及比较早地开始了农业，那时候古代埃及的农牧业规章制度，是君王分派一样尺寸的方形农田给每一个人，耕地的人每一年取出一部分的获得交租金。假如水灾冲毁了她们的农田，她们能够汇报给执政者，再由执政者调研和精确测量损伤农田的尺寸，并免减相对一部分的房租。出自于对农田的精确测量要求，几何学应时而生。

可以说数学就是以“结绳记数”和“土地面积测量”刚开始的。距今几千年前，在欧州东南部地区日常生活的古希腊人，承继和发展了这种数学专业知识，并将数学发展变成一门科学研究。古希腊文明摧毁后，阿拉伯人将她们的文化艺术储存出来并多方面发展，之后又传到欧州，数学重获发展，并最后造成 了近现代数学的开创。这就是今天渗入大家生活起居中的数学的发源小故事。

最开始大家运用自身的十个手指头来记数，当手指头不足用时，大家刚开始选用“石块记数”、“结绳记数”和“刻线记数”。直至距今大概五千多年前，才出現了撰写记数及其相对的记数系统软件。初期记数系统软件有：古代埃及形象数据；巴比伦契形数据；中国甲骨文数字；古希腊阿提卡数据；中国筹算数码科技；印度婆罗门数据及其时代不祥的玛雅数字。而在中国， 据《易·系辞》记述：「远古结绳而治，后人圣贤易之以书契」。在殷墟出土文物的甲骨文字卜辞中有很多记数的文本。从一到十，及百、千、万都是有专用型的记数文本，现有13个单独标记，记数用合公文写，在其中有十进制的记数法，出現最大的数字为三万。伴随着時间的变化，算筹出現了，算筹是我国古代的计算方法，它的造成时代已不可考，但能够毫无疑问的是算筹在春秋战国时期已很广泛。

数学这一定义的产生经历了悠长的萌芽期环节。在萌芽，数学的原型能够在很多四大文明古国看到。世界最历史悠久的几个国家都坐落于江河河段：渭河流域的中国；白尼罗河中下游的印度；幼发拉底河与底格里斯河的巴比伦国；印度河与恒河的印尼。这种我国全是在农牧业的基本上发展起來的，因而，她们务必把握四季气候变化的规律性，便于把握粮食作物生长发育的周期时间和气侯的转变，在这里全过程中便渐渐地累积了相关数和形的专业知识。来到公元六世纪，古希腊几何学的出現变成第一个大转折。数学此后由实际的、试验的环节，衔接到抽象性的、基础理论的环节，刚开始开创初等数学。自此又历经持续的发展和沟通交流，最终产生了几何图形、算数、解析几何、三角等单独课程。

因式分解九大方法：

(一)运用公式法：

我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有：

a2-b2=(a+b)(a-b)

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。

(二)平方差公式

1.平方差公式

(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)

(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。

(三)因式分解

1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

(四)完全平方公式

(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：

a2+2ab+b2=(a+b)2

a2-2ab+b2=(a-b)2

这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

(2)完全平方式的形式和特点

①项数：三项

②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

(五)分组分解法

我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.

如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.

原式=(am+an)+(bm+bn)

=a(m+n)+b(m+n)

做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以

原式=(am+an)+(bm+bn)

=a(m+n)+b(m+n)

=(m+n)?(a+b).

这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.

(六)提公因式法

1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.

2.运用公式x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：

1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数.

2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;

②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数.

3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式.

(七)分式的乘除法

1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.

2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.

3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.

4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2，(x-y)3=-(y-x)3.

5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然，简单的分式之分子分母可直接乘方.

6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.

(八)分数的加减法

1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来.

2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变.

3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备.

4.通分的依据：分式的基本性质.

5.通分的关键：确定几个分式的公分母.

通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.

6.类比分数的通分得到分式的通分：

把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.

7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

同分母的分式加减运算，分母不变，把分子相加减，这就是把分式的运算转化为整式运算。

8.异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.

9.同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号.

10.对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分.

11.异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化.

12.作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式.

(九)含有字母系数的一元一次方程

1.含有字母系数的一元一次方程

引例：一数的a倍(a≠0)等于b，求这个数。用x表示这个数，根据题意，可得方程ax=b(a≠0)

在这个方程中，x是未知数，a和b是用字母表示的已知数。对x来说，字母a是x的系数，b是常数项。这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程。含有字母系数的方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同，但必须特别注意：用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零。

七，四，九，三，六！"

中年人举起大拇指说，“没错！年轻人，你很擅长数学！”

突然有人喊道，"谁的数学好？"回顾过去，蒂丹看到了10个非常相似的壮汉。一个壮汉在头上说:“我们的兄弟有10股100两银子，每个人都要比另一个人得到更多。我是老板，应该得到最多。”任何两个相邻兄弟之间的差额都是等量的钱，只知道老八分六两，你把剩下的九个兄弟给我们算算，每两应该多少钱。"

另一个壮汉卷起袖子说:“我不知道，不要责怪我们没有礼貌！”

"怎么会有人如此不讲理，不得不解决问题？"铁蛋担心钱的分配。

过来帮帮他，小朋友！

定义:

如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=k/x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。函数表达式为：

◆y=k/x

◆y=kxˉ1

◆xy=k

注意：反比例函数成立的条件是：k为常数且k≠0。该条件同时成立，同学在解题过程中往往容易忽视其成立条件，从而在取值范围的确定中易出错。

函数的增减性:

当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小;

当k

性质：

（1）反比例函数上任何一点与轴线围城的直角三角形面积都相等|k|/2；

（2）图像上任意两点与原点构成的三角形的面积等于直角梯形的面积；

（3）反比例函数与一次函数相交时，存在线段相等的关系，坐标点关于原点对称的关系；

（4）反比例与一次函数有交点时，可以联立求出交点坐标（二次联立可以求一元二次方程，反映方程根的个数问题）。

数学故事

三月，是郊游的好时机。孔先生和我们一起出去玩了。我们边走边看、说、笑，不知不觉来到了一个小村庄。听着村里鸡犬的叫声，孔老师感慨地说:“老子说他理想的社会是‘邻居互相看着，鸡犬的声音被听到，人到老不相往来’。我真的不能同意！如果人们都是这样，他们如何互相学习和传播知识？！”

学生们恭敬地围着他，听他表达他们的感情。

“让我给你举个例子。你听说过“鸡和兔子在同一个笼子里”的问题吗？"

大家点点头，颜回说:“只要知道鸡和兔子的头和脚的总数，并找出每只鸡和兔子有多少，你可以用假设的方法找出，或者你可以列出方程来解决。”

孔先生赞许地说，“颜回讲得很好。可以看出，他经常阅读数学书籍。有很多解决方案，但前几天我听到一位来自南方的客人介绍一种新的思维方式，非常有趣！我们刚刚谈到了鸡和狗的声音，所以我将改变它，用鸡和狗来做这个话题...嗯，李在村里有家养的鸡和狗，按头和脚数，总共有25只鸡和56只狗，那么分别有多少只鸡和狗呢？”

学生们开始在心里小声计算。不耐烦的鲁兹已经蹲下来在地上画画了。

孔小姐微微笑着说:“别担心，我刚才说过，让我们改变算法，你先闭上眼睛。”

大家安静下来，微微闭上眼睛，听下一步孔老师的指令。

"把所有的鸡和狗排成一排。"

“好吧。”

“让他们每人抬起一只脚！”

孔祥东的儿子孔鲤“哼”了一声，笑着说:“鸡变成了独立的金鸡！”

“哈哈，这个成语用得很好。”孔小姐摸着他的头，高兴地说。

孔鲤顽皮地说，“然而，小狗翘起的脚有点丑。那不是“嘘”吗？

学生们都大笑起来，孔老师也笑着说:“嗯，这只是一个意义的问题，不是语言的问题...来吧，让鸡和狗再抬起一只脚！”"

“啊？！”孔鲤喊道，“再抬起一只脚，鸡就会浮在半空中，狗就会像人一样站起来。”

“是的，在现实中，鸡和狗很难做到这一点。然而，我们人类自称是万物中的灵长类。只有通过思考，我们才能在想象中实现这种巧妙的画面。”听了孔先生的话，学生们都很认真。

"现在地面上有多少英尺？"

鲁兹抢着说:“56减去25两次，剩下6英尺，全是狗腿。”“我怎么觉得这个词有点难听...

听了孔先生的提问，“正是。刚才据说每只狗都像人一样用两只脚站立着。总共有多少只狗？”

“三个！”学生们异口同声地说。

“鸡在哪里？”“二十二！”

在这次郊游后的一段时间里，当学生们相遇时，他们都这样互相问候:“你好，抬起你的脚！”

知识链接:关于鸡和兔子在同一个笼子里问题的不同观点，想象让数学变得有趣。

小编在这教大家使用WPS文字三种简单方法快速录入一般数学公式，这三种方法分别是：分式的输入、带根号的分式、输入向量符号

下面是详细教程：

一、分式的输入

如果用域来解决的话，那么分式的输入还是很简单的。比如我们要输入数字四分之三，只要在相应位置按下“Ctrl+F9”快捷键，就会产生一个空域(一对大括号)。将鼠标定位于大括号内，然后输入“eq f(3,4)”，然后再点击右键，在弹出的菜单中点击“切换域代码”命令，就可以得到标准的分式四分之三了，如图1所示。其它的分式可以模仿来写，不用担心分式中的那条横线，它会根据分子、分母的长度自动调节长度的。需要注意的是，域代码必须在英文的半角状态下完成输入，此外，那对大括号不能手工输入，只能用快捷键来完成。

WPS切换域代码得到分式效果

二、带根号的分式

先说一个单纯的三次根下二这样的数字输入吧。还是先按下“Ctrl+F9”快捷键，然后在大括号内输入域代码“eq r(3,2)”，选中代码中的数字“3”，将它的字号调小，然后按下右键菜单中的“切换域代码”命令，就可以得到数字三次根下二了

WPS中输入特殊域代码

显然，如果要得到二次方根，那么只要将代码中的数字“3”改成“2”就可以了。不过，通常我们的习惯是二次方根的数字“2”是忽略不写的，所以，域代码中的第一个数字我们也可以直接略掉的，直接写代码“eq r(,2)”就行。

至于带根号的分式，那就简单了。只要把分式和根式的代码结合起来，在相应的位置改换一下就可以了。因此二分之三次根下二这样的数字，其域代码应该是“eq f(r(3,5),2)”。按下“切换域代码”后，得到的效果还可以吧。

三、输入向量符号

向量符号是在英文字母的上方加一个箭头符号。用域功能也可以很容易实现这个要求。

在大括号中输入域代码“eq o(→,a)”，其中，箭头符号可以使用“插入→符号”的方法来实现。如果我们这时点击右键菜单中的“切换域代码”命令的话，您会发现，得到的结果只是箭头与字母重叠在一起，并不是我们希望的结果。那么，如何使箭头向上移动呢?

选中域代码中的箭头，点击右键，然后在弹出菜单中点击“字体”命令，打开“字体”对话框。点击“字符间距”选项卡，然后点击“位置”下拉列表，选择“上升”，并用其后的“磅值”微调按钮设置提升值为“5磅”，如图3所示。

确定后就可以使箭头符号向上移动5磅的位置，这样，就可以移动到字符的上方了。现在，再选中域代码，然后点击“切换域代码”命令，就可以得到预期的效果了。

调整箭头字符后效果

数学是一门高深而奥妙无穷的学科，良好的学习方法对学好数学有很大的帮助。下面小编就和大家分享小学生数学复习方法，希望对大家有帮助!

小学生数学复习方法1

1.及时复习。人们对于刚学过的东西，总是一开始忘得快，过一段时间就逐渐减慢。所以小朋友在复习时，必须要注意这个规律，做到及时复习。你们每天从学校回来都学了一些新东西，您可以先复习当天所学的内容，复习之后再做作业。同时在每天晚上睡觉前想一想："我今天都学了什么!"然后在头脑里把这些东西回忆一遍。如果不及时复习，时间一长你们就忘记了，许多内容最后集中到一小段时间复习，效果自然不好。

2.分散复习。如果有60分钟的复习内容，您是一下子复习完呢?还是分成几段间隔复习呢?心理学家很早就对这个问题进行了实验，实验的结果表明：分散复习要比长时间的集中复习效果好。对于小朋友来说，其身心发育的特点也要求采用分散复习的方式。所以，您不妨每次复习20分钟，中间休息之后再复习，这样你们就不会疲劳，复习的效果也会更好。

3.交叉复习。当你们同时面临几门课程的复习任务时，最好采用交叉复习的方式，即这10分钟复习语文，休息后换成数学，再之后又变成别的什么，这样复习的好处是不会使你们产生厌倦心理。

4.多种方式复习。长时间用同一种方式复习效果不好，尤其对于你们更是如此。想想看，我们成人学习英语时，有时是默读，有时大声朗读，有时抄写，不断变换方式或者结合并用。对于小朋友更要这样。比如复习语文，可以以朗读、背诵、默写、造句、写作文等不同的方式变换进行。复习数学，就可以看书、记公式、做练习题(计算题、应用题)，而且习题也要注意变化题型。

5.灵活应变。您们在复习时，不能只看一会儿书或做几道题就算完事了，而是要尽可能根据自己的实际情况随时作出调整。如果发现某一部分的内容自己已经掌握了，您就可以跳过这一段，复习下面的内容。如果你做了几道这方面的题目仍然出错，就需要您加强对这一部分的复习力度。根据复习时间的长短，您也要采用不同的复习策略：如果时间很宽裕，您就可以从头至尾将书过一遍;如果时间紧迫，再平均分配时间显然不合适，就得重点复习自己的薄弱环节，有时只研读平日整理的错题库也能达到理想的效果.

看了小学生数学复习方法的人还看：

小学生数学复习方法2

1思考：

思考是数学学习方法的核心。在学这门课中，思考有重大意义。解数学题时，首先要观察、分析、思考。思考往往能发现题目的特点，找出解题的突破口、简便的解题方法。凡是真正学得好的同学，都有勤于思考，经常开动脑筋的习惯，于是脑子就越用越灵，勤于思考变成了善于思考。

2动手试一试：

动手有助于消化学习过的知识，做到融会贯通。课下后，可以把老师讲过的公式进行推导，推导时不要看书，要默记。这样就能使自己对公式掌握滚瓜烂熟，可为公式变形计算打下扎实的基础。

3培养创造精神：

所谓创造，就是想出新办法，做出新成绩，建立新理论。创造，就要不局限于老师、课本讲的方法。平时，有一些难度高的题目，在听懂了老师讲的方法后，还要自己去找一找有没有另外的解法，这样能加深对题目的理解，能比较几种解法的利弊，使解题思维达到一个更高的境界。

中考数学复习辅导参考：整式

单项式和多项式统称整式。

a)由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。

b)单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数，系数为1或-1。

c)一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数(注意：常数项的单项式次数为0)

a)几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.

b)单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数，多项式没有系数。多项式的每一项都是单项式，一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数。多项式中每一项都有它们各自的次数，但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数，一个多项式的次数只有一个，它是所含各项的次数中最高的那一项次数.

a)整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式.

b)括号前面是“-”号，去括号时，括号内各项要变号，一个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都要相乘。

2015年中考即将来临，为了给各位同学以帮助，本网为大家整理了关于数学几何的知识点。

86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应

线段成比例

87推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

1．二元一次方程的整数解的求法：

一般情况下，一个二元一次方程都有无数个整数解，解这类问题时，先用一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后根据条件逐一求出相应的解。

2．判断二元一次方程组的方法：

把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组，判断一个方程是不是二元一次方程组，就看它是否满足以下两个条件：(1)看整个方程组里含有的未知数是不是两个；(2)看含未知数的项的次数是不是1。

3．检验一对数是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法是：

将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；否则，如果这对数值不满足其中的任何一个方程，那么它就不是此方程组的解。