数学概率笔记（最新20篇）

【摘要】中考进入复习阶段，本网为同学们准备了一些历年各地的中考试题，欢迎大家参考练习，下面是中考数学圆专题复习辅助大家完成中考前的复习，在考试中取的好成绩!

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

辅助线的作法：

有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。记为“见切线，连半径，得垂直。”

中考考点点击：

切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，填空、选择、作图、解答题较多

等边三角形的性质与判定：

性质：(1)等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°;

(2)等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且在每条边上都有“三线合一”。因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，而等腰三角形(非等边三角形)只有一条对称轴。

判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

说明：等边三角形是一种特殊的三角形，容易知道等边三角形的三条高(或三条中线、三条角平分线)都相等。

数学启蒙的目标是培养良好的数学素质。要实现这一目标，必须打破儿童数学启蒙的传统规则，即更加重视数学知识的教学，而忽视儿童探究能力和思维能力的培养。数学启蒙应该逐步实现，重点是培养儿童运用各种感官运用双手和大脑探索问题的思维能力。

儿童数学启蒙的误区

机械计数和计算并不意味着孩子头脑中的数字概念已经形成，也不能证明孩子已经掌握了数字知识。年轻的家长和幼儿园教师应该认识到对孩子进行初等数学教育的重要性，避免在教育过程中走入误区。

一号摄像机

在一次大型班级活动中，老师要求孩子们用5元钱买两种“商品”。丁丁成功地完成了老师交给的任务:“买”了一个2元的苹果和一盒3元的饼干。然而，随着活动的继续，当老师要求他用一个公式来表达他刚刚做的事情时，他神秘地写下了“2+3 = 0”。老师说他错了。丁丁觉得很奇怪:他清楚地写下了自己做的事——用5元钱“买”了2元苹果和3元饼干后，所有的钱都花光了。他手里不是只有“0元”吗？老师说他写的是错误的公式？

镜头2

渐渐接近6岁，我已经在10岁以内回答了加法和减法。父母和幼儿园老师都认为他在数学方面很有天赋。然而，在一项调查中，当学前教育专家问他“3+7=10”是什么意思时，他很快回答说“3+7意味着10”。此后，无论专家们如何建议，他们都无法给出一个可以用这个公式表达的具体例子。最后，他生气地说:“3加7等于10，其他的都错了！”专家们陷入了困境。

在第一个场景中，丁丁仍然处于数学抽象的初级阶段。他能理解具体的数学关系和解决具体的问题，但他不能把具体的例子总结成抽象的数学问题，然后用抽象的符号来表达具体的事物。

在镜头2中，逐渐地，一个人可以熟练地解决数学问题，但是一个人不能把数学表达式和具体问题联系起来。儿童能够进行抽象符号操作的表面现象掩盖不了他们的理解缺陷——他们不理解抽象符号所表达的具体含义。

上述例子启示我们，数学有两个属性:从抽象到具体，从具体到抽象。因此，当孩子们学习数学时，他们必须从他们生活中熟悉的具体事物开始，逐渐开始数学的抽象过程。停止解决具体的问题，不教孩子从具体的事物或具体的实践中学习抽象的数学运算，这违背了数学的本质属性。就目前的教育状况而言，后一个问题更为突出。有一次我去幼儿园面试。为了展示他们的教学效果，老师把一个班的孩子们召集到户外操场上，让每个人一起背诵“加法歌”。听不成熟的孩子背诵:“一加一等于二，二加二等于四……”看着老师脸上欣慰的笑容，我觉得自己好像打翻了一瓶五味酒，不得不匆忙结束面试。

那些在无知和不理解中学习数学运算的可怜的幼儿园儿童名义上接受数学启蒙，但他们只被教计算，但他们并没有真正意识到数学在生活中的意义，更不用说数学本身的兴趣和美丽了。

事实上，良好的数学素质是现代人接受新科学、融入当代文明和社会生活的基础。培养儿童数学素质已成为儿童数学启蒙改革的根本目标。年轻的家长和幼儿园教师应该认识到数学启蒙教育对孩子的重要性，避免教育过程中的误解。那些简单地让孩子们机械地背诵、记忆数字，甚至简单地记忆一些计算问题的人不是数学启蒙，因为孩子们在计算问题时不理解数字的构成，甚至依赖于手指计数等方法。从表面上看，孩子们似乎知道数字和计算一些问题。事实上，这种机械的计数和计算并不意味着儿童头脑中的数字概念已经形成，也不证明儿童已经掌握了数字知识。随着儿童无意识记忆的消失，所有背诵的问题自然会被遗忘。相反，在父母的机械灌输下，孩子不仅困惑，更可怕的是，孩子对学习数学失去兴趣，变得恐惧。因此，有必要消除对儿童数学启蒙的错误理解，变机械灌输知识为科学指导，从而真正实现儿童数学启蒙的目标。

儿童数学启蒙的重要性

儿童正处于逻辑思维的萌芽和初步发展时期，这是数学概念初步形成的重要阶段。数学启蒙不仅能帮助儿童理解事物的数量属性，还能帮助他们从具体现象和事物中获得对事物之间关系的理解，这是一种终身受益的能力。

一号摄像机

每年圣诞节前，双语幼儿园都会装饰活动室，增添节日气氛。老师和孩子们用长丝带装饰活动室的屋顶，并在丝带上挂一些气球。当他们完成他们的工作时，他们抬头看到气球不是很密，这使他们非常漂亮。这时，一个孩子想出了一个好主意。他带了一个塑料棒(一个玩具)并建议，“先用它测量长度，然后挂气球，这样气球都在相同的距离。”老师非常同情孩子的想法，并一再表扬孩子能够运用课堂上学到的数学知识自然地解决实际问题。

镜头2

一岁多一点的孩子，手里拿着一块饼干，喊着“更多”。母亲不想让她吃更多的零食，所以她把手中的饼干分成两半，把一块饼干“变成”两块，吃了一点后就心满意足了。她不知道饼干没变多少。

镜头3

一天，老师问三岁的小邵:“你家有几口人？”笑着回答:“家里有爸爸、妈妈和我”，但回答不出“总共有三个人”。因为虽然他能从1数到100，但他不能理解数字和事物之间的关系。

从上面的例子中，我们可以看到数学对于孩子们正确理解和描述事物是多么重要。数学启蒙可以培养儿童对数学问题的敏感性，即通过数学方法解决日常生活中遇到的问题。同时，数学不仅可以帮助儿童准确理解事物的数量属性，还可以帮助儿童大致理解事物，即从具体现象和事物中抽象出各种数学关系，并获得对事物之间关系的理解。数学启蒙是让孩子充分体验和注意具体事物背后的抽象关系。

另一方面，从学习数学的角度来看，数学启蒙可以使儿童获得一种数学思维方式。在生活中，数学既是普遍存在的，也是抽象存在的。借助数学思维方式，儿童可以发现生活中的数学，有意识地将具体问题转化为抽象的数学模型并加以解决。

对幼儿来说，学习数学有两个价值:思维训练和实际应用。数学启蒙可以使儿童学会“数学思维”，体验数学在生活中的应用，即用抽象的方法解决生活中的具体问题。数学在我们生活中无处不在。许多具体问题是数学问题的具体表现。例如，我们经常不得不在幼儿园平均分配糖果。这是一个数学问题:把一定数量的糖果分成几个相等的部分是一个问题。将一个特定形状的蛋糕(如圆形)平均分成几份是一个将蛋糕平均分成几个图形的问题。有些人可能认为划分事物是一件很小的事情。然而，正是这些生活中的具体问题为孩子们提供了学习数学的材料，这反过来又帮助他们更好地理解世界。换句话说，数学启蒙在儿童生活世界和数学世界之间架起了一座桥梁。

从理解世界的角度来看，数学启蒙可以帮助儿童正确理解现实世界。数学的精确性、抽象性和逻辑性能使人们更准确、更全面地了解生活中的各种事物及其相互关系。通过启蒙，孩子们可以在生活中发现数学，认识到数学与生活的联系。

数学启蒙可以培养儿童的抽象思维能力，促进其逻辑思维的发展。数学本身的抽象性和逻辑性及其在实践中的广泛应用决定了数学启蒙是促进儿童思维发展的重要途径。数学也将特定的事物和问题建模成抽象的问题。它帮助人们通过具体和表面的现象揭示事物的本质和共同特征。因此，学习用数学方法解决问题可以帮助孩子学习抽象思维方法。因此，数学是发展儿童抽象逻辑思维的重要途径。

因此，对儿童进行数学启蒙，对提高他们的思维能力、认识世界的能力和利用现有知识解决未来生活中实际问题的能力具有重要意义。幼儿数学启蒙是一种素质培养，其作用将深刻影响一个人的一生。

〖考点复习〗

2．可能性

[例2]如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，

指针停在每个扇形的可能性相等，四位同学各自发表了下述见解：

甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形了

乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形

丙：指针停在奇数号扇形的概率和停在偶数号扇形的概率相等

丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大。

其中你认为正确的见解有（A）

A．1个B．2个C．3个D．4个

数学故事——一只六条腿的怪物

树林里有越来越多奇怪的东西。我不知道是什么整夜嚎叫。早上，白兔和山羊在地上发现了六只脚怪物的脚印。

小白兔跑过去喊道:“不！在树林里发现了六条腿的怪物。过来看看他们！”

每个人都来看这些奇怪的脚印。猴子问老山羊:“你知道这个脚印吗？”

老山羊拿出放大镜仔细看了看。他摇摇头说，“真是奇怪的事情！前四个脚印和狼的非常相似，但后两个不是狼的。”松鼠问:“那些是什么动物的脚印？”“有两个黑色的圆圈，我甚至看不到几个脚趾。”老山羊又摇了摇头。小白兔紧张地问，“这个怪物有四只狼爪子。它一定吃了我们的兔子。我们能做什么？”“嘿嘿！”猴子笑了两次。“我只见过6英尺高的小昆虫，还没见过6英尺高的大怪物。我想见见这个怪物！”猴子在鹿姑娘的耳边低语了几句。过了一会儿，鹿小姐拿着黑板跑了过来。她喊道,“兔子和野鸡今晚在森林里值班。小黑板上写着多少！”

夜幕降临时，月光透过树枝洒在地上。一只六条腿的怪物出现了。他有两个头串联在一起。头儿们不停地四处张望。不久，他发现一个小黑板挂在一棵树上。黑板上写着:

今天，兔子和野鸡在东区和西区值班。首先，在东边:如果15只兔子被15只野鸡取代，那么兔子和野鸡的数量是相等的；如果10只野鸡被兔子取代，那么兔子的数量是野鸡的三倍。此外，在西部，西部的兔子数量等于东部的野鸡数量，西部的野鸡数量等于东部的兔子数量。

“哈哈，兔子！”前面的负责人喊道。“嘻嘻，野鸡！”后面的负责人喊道。前面的头说:“兄弟，你数的是哪只兔子？”

“说得好。”后面的头说:“我敢肯定，东方的兔子比野鸡多30只，否则，我们怎么能把15只换成相等的呢？”

前面的头说，“是的！这假设有x只野鸡和(x+30)只兔子，那么根据条件可以得到x+30+10=3(x-10)，并且可以得到x=35。换句话说，东方有35只野鸡，所以有65只兔子。在西边，正好有65只野鸡和35只兔子。”“哈，东方有很多兔子。让我们去东方。”前面的头朝东。“不，西方有许多野鸡。向西走。”后面的头朝西。只听到一个“声音”，一个怪物变成了两个。

儿童体重超重或肥胖与数学能力有什么关系？肥胖儿童面临着众多的社会和健康问题，一项新的研究发现，体重超重甚至可能会影响孩子的数学能力。

在儿童时期体重超重或肥胖会使孩子在以后的生活中伴随着一些健康问题的风险，如心脏病、睡眠呼吸障碍以及糖尿病。《儿童发育》(ChildDevelopment)6月13日刊登的研究中，美国密苏里大学研究小组观察了由超过6250名儿童组成的具有全国代表性的群体，对小孩子从幼儿园到小学五年级这个时间段进行了跟踪。

与那些从来没有肥胖的孩子相比，从幼儿园开始一直肥胖的孩子从一年级开始直到研究时间结束，他们的数学测试分数都较低。对于后来成为肥胖的小孩情况则有不同，在后来，如三年级或者五年级变胖的男孩，数学成绩没有下降；而后来变胖的女孩，数学成绩有暂时的下降。即使考虑了其他可能会影响孩子体重和学习成绩的因素，如种族、家庭收入以及母亲的受教育程度和就业状况后，调查结果仍然没有变化。

体重和学业成绩之间的关系是复杂的，现在还不清楚是肥胖本身，还是潜在的与肥胖相关的其他一些因素影响了孩子在学校的行为。以往的研究发现，肥胖或者认为自己超重的的小孩可能比体重正常的同龄人遭受更多的悲伤、孤独以及自卑。这些问题可能会导致较差的社交和情感能力，影响孩子在学校的表现。

“对于学龄儿童，一个人的社会地位对一个人的学习过程和学校经历是十分有意义的。让孩子感到自己被同龄人喜欢，并且能够与同龄人交往，这些对于孩子来说是很重要的。”超重和肥胖的孩子可能会受到同学的污辱或者有意避开，这使得他们很难与同伴进行正常的交流来帮助养成良好的社交技巧。反过来，社交技巧差的孩子可能被玩伴忽略，这使得他们更容易被孤立以及感到沮丧，从而增加了得肥胖的风险。

童年体重超重可能会产生深远而持久的影响，这些影响大于数学课上的挣扎甚至是疾病风险所带来的影响。研究者认为，家长和学校管理者不仅要注重成绩，而且要注重孩子们的身体素质，尤其是肥胖儿童的社交和情感发展。

著名数学作品的故事——考古探索的狮子口历险记

赵敏说要治好跟着他们的老人。

王军问:“你是怎么对待它的？”

赵敏拿出一根绳子，把两端绑在两个士兵的腿上。绳子绑好后，赵敏拉着王军说:“我们先躲起来。这是一场精彩的演出！”

这位老人是第一个跑进来的。由于眼睛不好，他的脚被绳子缠住了。他砰的一声摔了下来，啃着泥。老人与绳子的接触极其严重。两个士兵同时向前倒下，一个在胖子身上，另一个在瘦子身上。

胖子躺在地上喊道:“卫兵用长矛刺我。救命！”

老人生气地说:“这是两个假人。为什么假人刺伤你？快起来！”

赵民和王军藏在暗处，捂着嘴，忍不住笑出声来。

老人领着两个人往前走。突然，胖子喊道，“头儿，快趴下。前面有一只大狮子！”三个人立刻趴在地上。

老人小心地抬起头说，“嘿，这是一个假的狮子头。有什么大惊小怪的？”

前面没有通道，所以你必须钻过狮子的嘴。现在狮子关门了。然而，在狮子的嘴唇上却写着这样一些话:

“要打开狮子的嘴，需要填写质数:

20=○+○

=○+○+○

=○+○+○+○+○

= " 0+" 0+" 0+" 0 "

瘦子自告奋勇，“我擅长数学。我在圆圈里填入数字。说完就灌了上来:

20=⑦+③

=②+⑤+(13)

=②+②+③+(13)

=①+②+③+③

胖子高兴地说，“瘦子，你真的有两只手。狮子有一张大嘴！”快，钻进去！”说完后，两个人冲进了狮子的嘴里。

这两个人刚刚把上半身放进狮子的嘴里，就听到咔哒一声，狮子又闭上了嘴。这两个人因不偏不倚而被夹在中间。

“救命！狮子要把我们咬成两半了！”胖子和瘦子挣扎着喊道。

友好数也称为相似数，它指的是两个自然数，其中每个数的真因子之和等于另一个数。

毕达哥拉斯是公元前6世纪的古希腊数学家。据说有人曾经问他，“什么是朋友？”他回答说:“这是第二个我，就像220和284。”为什么他把朋友比作两个数字？原220的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55和110，加起来是284；284的真因子是1，2，4，71，142，加起来正好是220。284和220是友好的数字。它们是人类发现的第一对，也是所有友好数字中最小的。

第二个友谊号(17296，18416)是在2000多年后的1636年发现的。从那以后，人类一直在发现新的友好数字。欧拉在1747年已经知道了30对，1750年增加到60对。到目前为止，科学家已经发现了900多对这样的友好情侣。令人惊讶的是，第二个最小的友好数字(1184，1210)直到19世纪末才被一个16岁的意大利男孩发现。

人们还研究了友好的数字链:这是一系列自然数，其中每个数的真因子之和等于下一个数，最后一个数的真因子之和等于第一个数。例如:12496、14288、15472、14536、14264。一条这样的链包含28个数字。

①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。

②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。

分式的运算：

乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。

加减法：

①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。

分式方程：

①分母中含有未知数的方程叫分式方程。

②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。

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一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质

（1）k的正负决定直线的倾斜方向；

①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；

②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．

（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大

①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；

②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．

（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；

①如图所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

②如图所示，当k＞0，b＜O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；

③如图所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；

④如图所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．

（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．

当伟大的印度数学家斯里尼瓦萨罗·马努因肺结核在伦敦住院时，他的同事哈迪来看望他。哈代从来不擅长唤醒谈兴。他对罗曼奴芝说，“我是坐1729号出租车来的。对我来说，这个数字似乎很无聊。我希望这不是一个坏兆头。”“胡说，”罗曼奴芝答道，“这个数字一点也不无聊，相反，它很有趣。这是最小的数，可以用两种不同的方式表示为三次方的二次方之和。”(罗曼奴芝不知何故立即确定了1729 = 13+123和93+103。)罗曼奴之死于1920年，享年32岁。他是一位一位数的理论家和研究整数属性的数学奇才。数论是数学中最古老的领域之一，在某种程度上也是最简单的。当然，数字是数学中最常见的基础材料。然而，仍然有许多关于它们的基本问题没有得到回答。公元前3世纪，当博加特的阿波罗尼斯天真地继续研究阿基米德的大量数字时，他可能不知道等待他和数学代数学家的是什么。“我来告诉你谁知道大数，”阿基米德想。据说他出于报复而发明了放牛的计算问题。解决这个问题所需的人数太多了，直到最近才解决。此外，解决这个问题的不是人，而是机器:世界上最快的计算机。阿基米德取得了许多不可思议的成就，这些成就使他成为他那个时代的传奇人物，而提出像放牛这样极其困难的问题只是其中之一。公元前212年，罗马将军马塞洛斯围攻西西里的锡拉丘兹港。该市的国王西伦要求国王驱逐阿基米德的60艘敌舰。阿基米德不久前发明了杠杆(所以他说了一句名言:“给我一个支点，我会移动整个地球。”)，他将杠杆和滑轮结合起来制造大型起重机，将入侵的军舰吊出港口。在战斗中，起重机还得到了弩弹弓和凸面镜的帮助，它们将阳光聚焦在船上并点燃了船。结果，罗马舰队被摧毁了。马塞卢斯说:“让我们不要和这个几何怪物战斗。他把我们的船当作杯子，从海里舀水。”阿基米德阻止敌人接近达三年之久。后来，一天晚上，当锡拉丘兹忙于宗教庆典时，罗马士兵爬上城墙，打开了城门。当马塞卢斯的军队蜂拥而至时，他告诉他的下属:“没有人敢对阿基米德动一根毫毛。这个人是我们的客人。”梅斯鲁斯的一名士兵在院子里发现了阿基米德。那时，阿基米德正在沙滩上画几何图形。士兵不服从命令，拔出了剑。阿基米德问道:“我的朋友，在你杀我之前，请让我画一个圈。”士兵毫不犹豫地把剑对准阿基米德。阿基米德躺在地上，喃喃地说:“他们拿走了我的身体，但我会拿走我的灵魂。”就这样，他平静地死去了。根据阿基米德的愿望，人们在他的墓碑上刻了一个圆柱体，里面是一个球体——象征着他自豪的发现，球体的体积是包含球体的最小圆柱体体积的三分之二。这个传说有多少是真的？阿基米德无疑是一个机械天才。有充分的证据表明，他设计了一种能在300英尺外投掷50磅弩石的弩车。但是最近的一项技术史研究排除了他已经制造出一种可以将敌人的船只从海上吊起的起重机的可能性。这个神话可能是基于这样一个事实:他发明了一种起重机式的装置来将他的(静止的)船吊上岸。许多科学巨人包括伽利略？伽利略和法国博物学家布冯伯爵，乔治·路易斯？莱斯奎雷对阿基米德用镜子焚烧敌舰很感兴趣。这非常类似于孩子们用放大镜烧纸。理论上，这种镜子是可以制造的，但是它需要一个可变的焦距来保持太阳光线聚焦在移动的目标上，这是普通镜子所不能做到的。(1747年，布冯声称一面复杂的镜子点燃了150英尺的木头，熔化了140英尺的铅。无论如何，阿基米德都不会费事去做一面特殊的镜子，因为那时出现了一种简单而有效的燃烧武器:石脑油与一种化学物质混合，当它与水接触时会自动燃烧，然后放入一个人们向敌舰投掷的容器中。阿基米德之死的生动描述可能相当真实，尽管人们会怀疑他说的话。公元前75年，伟大的罗马演说家西塞罗来到阿基米德的墓前，发现墓碑上刻着一个刻有球的圆柱体。牛有什么问题？它真的是阿基米德首先提出的吗？不管阿基米德是否真的出于一时的愤怒而想出了这个问题，人们都知道他确实计算过这个问题，所以它至少有2200年的历史了。问题是这样开始的:“啊！我的朋友，如果你很聪明，那就集中精力数当天的公牛数量。它们过去在西西里大平原上吃草，根据颜色分为四类:乳白色、黑色、黄色和斑点。每组中公牛的数量占大多数，它们之间的关系是:1、白公牛=黄公牛+(1/2+1/3)黑公牛2、黑公牛=黄公牛+(1/4+1/5)斑点公牛3、斑点公牛=黄公牛+(1/6+1/7)白公牛4、白公牛= (1/3+1/4)黑公牛5、黑公牛= (1/4+1/5)斑点公牛6、斑点公牛= (1/5+1/6)黄公牛7因此，这个问题涉及到数学的基本部分:用8个未知数求解7个方程(4组不同颜色的公牛和4组相应颜色的母牛)。事实证明，这些方程不难求解。事实上，他们有无数的答案，牛的最小数量是50，389，082头。这些牛可以在西西里岛6358400公顷的大平原上自由吃草。然而，阿基米德并没有就此止步。他对多头的数量提出了两个额外的限制，从而使问题变得更加困难。白公牛+黑公牛=一个平方数。9.斑点公牛+黄色公牛=一个三角形。这个问题最后说:“如果你已经计算了牛的总数，哦！朋友，你就像一个征服者，不用说，你是数字科学的专家。”由于三角数和平方数的概念，阿基米德的牛问题与华达哥拉斯的工作有关。公元前6世纪，毕达哥拉斯和他的追随者用点来形成三角形、正方形或其他几何图形来表示数字。像3、6和10这样的数字被称为三角数，因为它们可以用构成三角形的点来表示* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *西蒙从海里捞出的153号鱼也是一个三角数。出于同样的原因，像4、9和16这样的数字被称为平方数，因为它们可以用排列成正方形的点来表示:* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *不要以为古人花了很长时间去乱涂乱画来判断一个特定的数字是否可以用一个特定的几何点图案来表示，因为有一种纯数字的方法来解决这个问题。所有三角数都可以通过添加连续的整数(从1开始)来获得；例如3 = 1+2，6 = 1+2+3，10 = 1+2+3+4。所有的平方数都可以从整数的平方得到:4 = 2× 2，9 = 3× 3，16 = 4× 4。由于对带有三角形和正方形数字的公牛的限制，公牛问题变得非常困难，并且在2000年没有取得真正的进展。1880年，一位德国研究人员在枯燥的计算后发现，满足所有8个条件的最小牛头数是一个206，545位数的数字，从776开始。阿基米德可能是一个有魔力的人，但他绝不是一个现实主义者:西西里岛上永远不会有这样一群牛。正如一位一位数的理论家所说:“即使它们是最小的微生物——不，即使它们是电子，一个半径为地球到银河系距离的圆只能包含这种动物的一小部分。”但是没有人认为缺乏真实性会阻碍数学研究。20年后，1899年，伊利诺伊州希尔斯堡的一名土木工程师和他的几个朋友成立了希尔斯堡数学俱乐部，致力于寻找剩余的206，542个数字。经过四年的计算，他们最终宣布他们找到了12个最右边的数字和另外28个最左边的数字，但后来证明他们的数字都错了。六十年后，三名加拿大人第一次使用计算机发现了所有答案，但他们从未公开发表过这些答案。1981年，当它来自劳伦斯？当利弗莫尔国家实验室的克莱1号超级计算机的47页硬拷贝被印在有趣的数学杂志上时，所有206，545位数字最终被公布于世。那时，克莱1号是世界上最快的计算机。克莱的超级计算机很贵——最新型号价值2000万美元，实验室和公司不会购买它来解决古代数论问题。购买它是为了制备新药、勘探石油、破译苏联密码、在好莱坞电影中创造出色的特效以及模拟太空武器。然而，人们经常让超级计算机解决数论史上棘手的计算问题，以证明它们是否正常工作。计算这些问题的好处是，它们的答案——即使以前不知道——可以很容易地被检验:它们可以简化为方程。阿基米德的牛问题在劳伦斯？当利弗莫尔实验室检查粘土1时，问题解决了。这台巨型计算机仅在10分钟内就找到了206，545位数字的答案，并对问题的计算进行了两次测试。让我们以阿基米德处理过的一个问题来结束这一节，我们也许能够解决这个问题。莎伦给了金匠一定数量的黄金(重量为W)来制作王冠。当赫伦收到王冠时，他问阿基米德，它是否包含所有的黄金，或者金匠是否偷了一些，用更便宜的金属代替。公元前1世纪著名的罗马建筑师维特鲁威写道:“阿基米德反复思考这个问题。有一天，他碰巧来到浴室，在那里他注意到当他坐在浴缸里时，溢出浴缸的水量等于他浸入浴缸的身体排出的水量。这向他提出了解决问题的办法，所以他从浴缸里跳出来，光着身子跑回家，大喊他找到了他要找的东西。因为当他跑的时候，他大声地用希腊语反复喊着，我找到了！我找到了！”他发现了什么？阿基米德意识到，由于金是密度最高的金属，重量为W的纯金皇冠的体积将小于掺杂相同重量的金皇冠的体积。他把一个容器装满水，放入一个重量为20公斤的黄金.然后他收集溢出的水，水的体积等于金子的体积。接下来，他把另一个容器装满水，然后在监督下把皇冠放入水中。果然，它排出的水量相对较大，证明了卑鄙的金匠偷走了西伦国王的黄金。

二、例题分析：

例2．直线y=-x与双曲线y=-的两个交点都在抛物线y=ax2+bx+c上，若抛物线顶点到y轴的距离为2，求此抛物线的解析式。

分析：两函数图象交点的求法就是将两函数的解析式联立成方程组，方程组的解既为交点坐标。

解：∵直线y=-x与双曲线y=-的交点都在抛物线y=ax2+bx+c上，

由解这个方程组，得x=±1.

∴当x=1时，y=-1.

当x=-1时，y=1.

经检验：都是原方程的解。

设两交点为A、B，∴A（1，-1），B（-1，1）。

又∵抛物线顶点到y轴的距离为2，∴抛物线的对称轴为直线x=2或x=-2，

当对称轴为直线x=2时，

设所求的抛物线解析式为y=a(x-2)2+k，又∵过A（1，-1），B（-1，1），

∴ 解方程组得

∴抛物线的解析式为y=(x-2)2-

即y=x2-x-.

当对称轴为直线x=-2时，设所求抛物线解析式为y=a(x+2)2+k,

则有 解方程组得，

∴抛物线解析式为y=-(x+2)2+

y=-x2-x+.

∴所求抛物线解析式为：y=x2-x-或y=-x2-x+。

说明：在求直线和双曲线的交点时，需列出方程组，通过解方程组求出x,y值，双曲线的解析式为分式方程，所以所求x,y值需检验。抛物线顶点到y轴距离为2，所以对称轴可在y轴左侧或右侧，所以要分类讨论，求出抛物线的两个解析式。

数学故事——两代情惩罚艾山

古尔德节即将到来，天山南北充满了节日的气氛。在集镇，交通非常繁忙。商店、道路和街边小摊上满是商品，琳琅满目。水果商搬出了苹果脯、葡萄、雪梨、油和哈密瓜，希望能卖个好价钱。

这天中午，阿凡提完成了半天的工作，骑着驴来到了集市。两代情以他的聪明、能力和正直而闻名。谁不认识他？一路上，他不停地问候熟人和朋友。突然，我听到有人喊他的名字。两代情回头看见水果店的老板艾山。这个人既奸诈又贪婪。他不仅用假冒伪劣商品来伤害顾客，还用高利贷来剥削老百姓。他是一个被个人憎恨的恶棍。两代情早就想教训这家伙一顿，但他没有机会。这时，义山正坐在两筐葡萄前，拿着秤盘，说不出话来。一筐是紫葡萄，2元1公斤。一篮子绿色葡萄的价格是每1元2公斤。多问些人，少买些。

“两代情大哥，现在做生意真的不容易。你看，我整个上午都在这里，还没有卖出几公斤葡萄。现在还剩下60公斤紫葡萄和绿葡萄。我不知道什么时候卖！”艾山其实想求两代情帮他想出一个卖葡萄的主意，但他不好意思这么说。

两代情听出了其中的含义，心想:这家伙刚到门口，所以他可能会丢一些钱，让每个人都生气。他来到水果摊，对艾山说:“啊，艾山哥哥，你真笨！紫葡萄甜但贵，而绿葡萄便宜但酸。你为什么不把这两种葡萄混合起来，按3元3公斤的价格出售，即每公斤1元，这样不仅容易卖，而且也方便？”

艾山一听，立刻眉开眼笑，竖起大拇指称赞道:“大哥两代情真聪明，名不虚传。”所以艾山按照两代情的方法卖葡萄。事实上，更多的人买了它们。很快，120斤葡萄卖完了。

然而，当艾山数着卖出的钱数时，他不禁皱起了眉头:如果原价是一样的，紫葡萄应该是2元×60 = 120元，绿葡萄应该是1元×30元，也就是应该可以卖到120元+30元= 150元，但是现在卖的钱只有120元，为什么少了30元呢？他在葡萄摊前来回张望，找遍了每个角落，没有发现丢了30元钱。最后，我意识到两代情在捉弄我。当他想追上两代情并问他知道些什么时，两代情已经骑着驴消失得无影无踪了。

数学故事——猴子吃瓜果

一只小猴子第一次离开他的妈妈，下山寻找食物。

他跑到西瓜地里看了看，哈，有这么多又大又圆的西瓜！小牛告诉他，第一块地有35个西瓜，第二块地的西瓜数量是第一块地的两倍。“就这样……”小猴子想做一个全面的口头清单，但他没有考虑过。他摘了一个西瓜吃了。小牛很快对他说:“你可能不会吃西瓜！我会教你的。”小牛用刀把西瓜切成小块，并告诉猴子吃西瓜的肉。小猴子吃完西瓜，谢过小牛就走了。

小猴子来到两棵核桃树上，看到树上有许多绿色的核桃果实。小喜鹊告诉他，第一棵树上有85个核桃，第二棵树上的核桃比第一棵树少55个。“就这样……”小猴子对自己说:“这个问题有点难。”他不再多想，跳进树里，伸手拿起一个核桃嚼了起来。啊，他的嘴很不光滑，他很难过，挠了挠耳朵和脸颊，从树上翻了个跟头，急忙跑到河边漱口。小喜鹊飞过来告诉他，“你应该吃核桃里的坚果。”小猴子点点头，说“是的，是的”，然后沮丧地离开了。

小猴子跳上跳下来到梨树花园，看见园丁把大梨装进篮子里。磅秤显示234公斤、239公斤、237公斤、235公斤、233公斤、238公斤。看到小猴子，秤子问:“六筐梨平均每筐有多少公斤？你能想出来吗？”小猴子假装说，“我去一边，对你的问题做一个全面的回答。”小猴子藏在一棵梨树里，摘了一个梨。有什么问题吗？他把梨仁放进嘴里，吃了剩下的。唉！一只鸟越嚼越酸，飞向他说:“小猴子，梨仁不好吃，所以吃吧……”小猴子感到很困惑:吃瓜果，怎么像这样吃它，然后又像那样吃它，真让我困惑，让我们想想这三个数学问题吧！

函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点

（1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

平行线

1、平行线的概念

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。

注意：

（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。

（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。

2、平行线公理及其推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

3、平行线的判定

平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。

平行线的两条判定定理：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。

补充平行线的判定方法：

（1）平行于同一条直线的两直线平行。

（2）垂直于同一条直线的两直线平行。

（3）平行线的定义。

4、平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

数学故事——小荷在月亮下追逐韩信的故事

根据萧何的情报，不难查出韩信要去哪里。如果是你呢？

参考答案

小何问其中一个:“如果我问你的朋友:‘将军刚才走的是哪条路？’？“他会指给我看哪条路？”

这个问题巧妙地把他们两个都带了进来。因此，不管他问的人是否说了实话，这个人都会指出错误的道路。韩信只需要走另一条路去追韩信。

近几年，产后抑郁症的发病率呈明显上升趋势，它已不再是什么罕见疾病，临床上的案例举不胜举。从生理上解释，母体在怀孕期间会分泌出许多保应胎儿成长的荷尔蒙，但在产后七十二小时之内逐渐消失，改为分泌供应母乳的他种荷尔蒙。那么，产后抑郁的概率大吗？这就给您介绍一些相关的知识。

据统计产后抑郁症的妈咪，大概占10%的比例，很多人因为对这个病的不了解，所以就被一些负面情绪所困扰，一些小事就能大哭一场，好像全世界的人都无法理解。

得了产后抑郁症要怎么办?

1、作为家里人，要对产妇多一些关心，当她的情绪低落、哭泣、暴躁时，丈夫、家里人要多一些理解。

2、动起来，有氧运动会让大脑里头，多巴胺大量的分泌，自己会变得愉快起来，产后抑郁症的妈咪要说出来，动起来。运动它能带给你有身体的改善、体力的改善，还有心理层面的改善。

3、月子能有一个舒适的环境，饮食要可口，照顾要舒心，只有舒心的妈妈，休息好的妈妈，她才会成为一个开心的妈妈。

4、心理上，要给予一些支持，家人、亲人，尤其是丈夫要多和产妇交流。

5、听一些轻音乐，辅助一些户外的活动，饮食上还是要以清淡的素食为主。

数学童话——瘸腿狐狸的狼狐狸决斗

那只跛脚狐狸一瘸一拐地走出了兔子村。他仍然很害怕，他的心回到了他身上:“这真的很神秘！我几乎把我的生命都投入其中。”

突然，他发现独眼狼王坐在面前，一只眼睛正盯着他。“啊，独眼狼王没有死！”跛足的狐狸被震惊了。

瘸腿狐狸转动着眼睛，微笑着向他打招呼:“狼哥哥，我在找一把钳子来救你，是吗？？你为什么自己出来？”

“嘿嘿？？”独眼狼王先是冷笑了一下，然后说道:“一个小小的铁夹子能治好我的独眼狼王吗？你，来自毁灭，还不够朋友。我们要决斗了。你认为我们怎样才能打得好？”

“这个？？”跛足的狐狸知道他不能隐藏，所以他玩了一个把戏。狐狸说:“我们互相咬一口怎么样？”

独眼狼王点点头说:“是的，但是谁先咬呢？”

瘸腿狐狸说:“如果你问我一个问题，我会问你另一个问题。谁赢了谁就先咬人！”

“就是这样。”独眼狼王欣然同意。他低下头想了一会儿，然后说:“几只狐狸去了集市，偷了一窝鸡，多了一只狐狸和一只鸡，少了一只狐狸和两只鸡。有多少只狐狸和鸡？”

“好，好。我们狐狸有一个偷鸡的小问题，所以你可以抓住这个问题。”跛足的狐狸说:“毕竟，问题是:当一只狐狸分一只鸡时，会多来一只鸡。当一只狐狸分两只鸡时，另一只狐狸来了。有4只鸡和3只狐狸。是这样吗？”独眼狼王点了点头。

“轮到我考验你了！”瘸腿狐狸咧嘴笑着说:“红狼比白狼大。灰狼比黄狼大，但比黑狼小。黄狼比白狼大。黑狼比红狼小。让你按降序排列这些狼。”

独眼狼王听到独眼的头发长直了，愚蠢地问:“我不知道你说了半天有多少只狼。”

瘸腿狐狸骄傲地问道:“你让步了吗？”

“认输就是认输。但你必须先告诉我答案！”独眼狼王想知道答案。

“傻狼！”瘸腿狐狸撇着嘴说:“总共有五只狼。从大到小排是:“红狼、黑狼、灰狼、黄狼、白狼。“你站住，我先咬一口！”

独眼狼王漫不经心地说:“狐狸能有多强壮？”你可以咬人！"

瘸腿狐狸跳起来，张开大嘴去咬狼王的脖子。奇怪吗？只是不能咬人！

狐狸用爪子抓住了狼王的一只眼睛。

独眼狼王喊道:“多么跛脚的狐狸，你把我弄瞎了！我不会放过你的！”狼王抓住了那只跛脚狐狸，一口就把它咬死了。狼王变瞎了。他痛苦地跑来跑去，掉进河里淹死了。

已经没有两个大坏蛋了。

1、二元一次方程

含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（

2、二元一次方程的解

使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组

两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。一般形式：（不全为0）

4二元一次方程组的解

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法

基本思想："消元"

解法：（1）代入法（2）加减法⑶二元一次方程组一元一次方程组．

6、三元一次方程

把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。

7、三元一次方程组

由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。(1)一般形式：

(2)解法：

分式除法法则：

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

提示：（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，然后再相乘；

（2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变

（3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算；

（4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。

①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；

②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号；

③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式。