数学概率笔记经典20篇

下面小编和初二学生谈如何学好数学初二数学学习方法,以下是小编整理的关于初二数学的学习方法，仅供参考。

初二数学的学习方法：

一、该记的记，该背的背，不要以为理解了就行

有的同学认为，数学不像英语、史地，要背单词、背年代、背地名，数学靠的是智慧、技巧和推理。我说你只讲对了一半。数学同样也离不开记忆。试想一下，小学的加、减、乘、除运算要不是背熟了“乘法九九表”，你能顺利地进行运算吗?尽管你理解了乘法是相同加数的和的运算，但你在做9*9时用九个9去相加得出81就太不合算了。而用“九九八十一”得出就方便多了。同样，是运用大家熟记的法则做出来的。同时，数学中还有大量的规定需要记忆，比如规定(a≠0)等等。因此，我觉得数学更像游戏，它有许多游戏规则(即数学中的定义、法则、公式、定理等)，谁记住了这些游戏规则，谁就能顺利地做游戏;谁违反了这些游戏规则，谁就被判错，罚下。因此，数学的定义、法则、公式、定理等一定要记熟，有些最好能背诵，朗朗上口。比如大家熟悉的“整式乘法三个公式”，我看在座的有的背得出，有的就背不出。在这里，我向背不出的同学敲一敲警钟，如果背不出这三个公式，将会对今后的学习造成很大的麻烦，因为今后的学习将会大量地用到这三个公式，特别是初二即将学的因式分解，其中相当重要的三个因式分解公式就是由这三个乘法公式推出来的，二者是相反方向的变形。

对数学的定义、法则、公式、定理等，理解了的要记住，暂时不理解的也要记住，在记忆的基础上、在应用它们解决问题时再加深理解。打一个比方，数学的定义、法则、公式、定理就像木匠手中的斧头、锯子、墨斗、刨子等，没有这些工具，木匠是打不出家具的;有了这些工具，再加上娴熟的手艺和智慧，就可以打出各式各样精美的家具。同样，记不住数学的定义、法则、公式、定理就很难解数学题。而记住了这些再配以一定的方法、技巧和敏捷的思维，就能在解数学题，甚至是解数学难题中得心应手。

二、几个重要的数学思想

1、“方程”的思想

数学是研究事物的空间形式和数量关系的，初中最重要的数量关系是等量关系，其次是不等量关系。最常见的等量关系就是“方程”。比如等速运动中，路程、速度和时间三者之间就有一种等量关系，可以建立一个相关等式：速度*时间=路程，在这样的等式中，一般会有已知量，也有未知量，像这样含有未知量的等式就是“方程”，而通过方程里的已知量求出未知量的过程就是解方程。我们在小学就已经接触过简易方程，而初一则比较系统地学习解一元一次方程，并总结出解一元一次方程的五个步骤。如果学会并掌握了这五个步骤，任何一个一元一次方程都能顺利地解出来。初二、初三我们还将学习解一元二次方程、二元二次方程组、简单的三角方程;到了高中我们还将学习指数方程、对数方程、线性方程组、、参数方程、极坐标方程等。解这些方程的思维几乎一致，都是通过一定的方法将它们转化成一元一次方程或一元二次方程的形式，然后用大家熟悉的解一元一次方程的五个步骤或者解一元二次方程的求根公式加以解决。物理中的能量守恒，化学中的化学平衡式，现实中的大量实际应用，都需要建立方程，通过解方程来求出结果。因此，同学们一定要将解一元一次方程和解一元二次方程学好，进而学好其它形式的方程。

所谓的“方程”思想就是对于数学问题，特别是现实当中碰到的未知量和已知量的错综复杂的关系，善于用“方程”的观点去构建有关的方程，进而用解方程的方法去解决它。

2、“数形结合”的思想

大千世界，“数”与“形”无处不在。任何事物，剥去它的质的方面，只剩下形状和大小这两个属性，就交给数学去研究了。初中数学的两个分支棗-代数和几何，代数是研究“数”的，几何是研究“形”的。但是，研究代数要借助“形”，研究几何要借助“数”，“数形结合”是一种趋势，越学下去，“数”与“形”越密不可分，到了高中，就出现了专门用代数方法去研究几何问题的一门课，叫做“解析几何”。在初三，建立平面直角坐标系后，研究函数的问题就离不开图象了。往往借助图象能使问题明朗化，比较容易找到问题的关键所在，从而解决问题。在今后的数学学习中，要重视“数形结合”的思维训练，任何一道题，只要与“形”沾得上一点边，就应该根据题意画出草图来分析一番，这样做，不但直观，而且全面，整体性强，容易找出切入点，对解题大有益处。尝到甜头的人慢慢会养成一种“数形结合”的好习惯。

3、“对应”的思想

“对应”的思想由来已久，比如我们将一支铅笔、一本书、一栋房子对应一个抽象的数“1”，将两只眼睛、一对耳环、双胞胎对应一个抽象的数“2”;随着学习的深入，我们还将“对应”扩展到对应一种形式，对应一种关系，等等。比如我们在计算或化简中，将对应公式的左边，对应a，y对应b，再利用公式的右边直接得出原式的结果即。这就是运用“对应”的思想和方法来解题。初二、初三我们还将看到数轴上的点与实数之间的一一对应，直角坐标平面上的点与一对有序实数之间的一一对应，函数与其图象之间的对应。“对应”的思想在今后的学习中将会发挥越来越大的作用。

三、自学能力的培养是深化学习的必由之路

在学习新概念、新运算时，老师们总是通过已有知识自然而然过渡到新知识，水到渠成，亦即所谓“温故而知新”。因此说，数学是一门能自学的学科，自学成才最典型的例子就是数学家华罗庚。

我们在课堂上听老师讲解，不光是学习新知识，更重要的是潜移默化老师的那种数学思维习惯，逐渐地培养起自己对数学的一种悟性。我去佛山一中开家长会时，一中校长的一番话使我感触良多。他说：我是教物理的，学生物理学得好，不是我教出来的，而是他们自己悟出来的。当然，校长是谦虚的，但他说明了一个道理，学生不能被动地学习，而应主动地学习。一个班里几十个学生，同一个老师教，差异那么大，这就是学习主动性问题了。

自学能力越强，悟性就越高。随着年龄的增长，同学们的依赖性应不断减弱，而自学能力则应不断增强。因此，要养成预习的习惯。在老师讲新课前，能不能运用自己所学过的已掌握的旧知识去预习新课，结合新课中的新规定去分析、理解新的学习内容。由于数学知识的无矛盾性，你所学过的数学知识永远都是有用的，都是正确的，数学的进一步学习只是加深拓广而已。因此，以前的数学学得扎实，就为以后的进取奠定了基础，就不难自学新课。同时，在预习新课时，碰到什么自己解决不了的问题，带着问题去听老师讲解新课，收获之大是不言而喻的。有些同学为什么听老师讲新课时总有一种似懂非懂的感觉，或者是“一听就懂、一做就错”，就是因为没有预习，没有带着问题学，没有将“要我学”真正变为“我要学”，力求把知识变为自己的。学来学去，知识还是别人的。检验数学学得好不好的标准就是会不会解题。听懂并记忆有关的定义、法则、公式、定理，只是学好数学的必要条件，能独立解题、解对题才是学好数学的标志。

四、自信才能自强

在考试中，总是看见有些同学的试卷出现许多空白，即有好几题根本没有动手去做。当然，俗话说，艺高胆大，艺不高就胆不大。但是，做不出是一回事，没有去做则是另一回事。稍为难一点的数学题都不是一眼就能看出它的解法和结果的。要去分析、探索、比比画画、写写算算，经过迂回曲折的推理或演算，才显露出条件和结论之间的某种联系，整个思路才会明朗清晰起来。你都没有动手去做，又怎么知道自己不会做呢?即使是老师，拿到一道难题，也不能立即答复你。也同样要先分析、研究，找到正确的思路后才向你讲授。不敢去做稍为复杂一点的题(不一定是难题，有些题只不过是叙述多一点)，是缺乏自信心的表现。在数学解题中，自信心是相当重要的。要相信自己，只要不超出自己的知识范畴，不管哪道题，总是能够用自己所学过的知识把它解出来。要敢于去做题，要善于去做题。这就叫做“在战略上藐视敌人，在战术上重视敌人”。

具体解题时，一定要认真审题，紧紧抓住题目的所有条件不放，不要忽略了任何一个条件。一道题和一类题之间有一定的共性，可以想想这一类题的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住这一道题的特殊性，抓住这一道题与这一类题不同的地方。数学的题目几乎没有相同的，总有一个或几个条件不尽相同，因此思路和解题过程也不尽相同。有些同学老师讲过的题会做，其它的题就不会做，只会依样画瓢，题目有些小的变化就干瞪眼，无从下手。当然，做题先从哪儿下手是一件棘手的事，不一定找得准。但是，做题一定要抓住其特殊性则绝对没错。选择一个或几个条件作为解题的突破口，看由这个条件能得出什么，得出的越多越好，然后从中选择与其它条件有关的、或与结论有关的、或与题目中的隐含条件有关的，进行推理或演算。一般难题都有多种解法，条条大路通北京。要相信利用这道题的条件，加上自己学过的那些知识，一定能推出正确的结论。

数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地对付那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要;一是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。

解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信就会畏难，就会放弃;只有自信，才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关，迎来属于自己的春天。

〖考题训练〗

13．两人去某风景区游玩,每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同),但是他们不知道这些车的舒适程度,也不知道汽车开过来的顺序.两人采用了不同的乘车方案:

甲无论如何总是上开来的第一辆车.而乙则是先观察后上车,当第一辆车开来时,他不上车,而是子痫观察车的舒适状况,如果第二辆车的舒适程度比第一辆好,他就上第二辆车;如果第二辆车不比第一辆好,他就上第三辆车.

如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等,请尝试着解决下面的问题:

(1)三辆车按出现的先后顺序工有哪几种不同的可能?

(2)你认为甲、乙采用的方案,哪一种方案使自己乘上等车的可能性大?为什么?

中西方音乐在全球造型艺术行业上都占有着至关重要的部位。不论是我国音乐古色古香淡雅，還是西方音乐丰富多彩变化多端，均遭受大家的钟爱。在我们较为二者时，会发觉他们在音阶管理体系上面有显著的差别。因为地区部位、生活环境和选择原材料的不一样，大家得到的音阶组成也是有差别，从而便问世了七声音阶和五声音阶。

中华传统音阶是五声音阶，由“Do、Re、Mi、Sol、La”这五个全音构成，在我国古代典籍中创作：宫、商、角、徵、羽。西方国家音阶是七声音阶，即“Do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si”。

在基本上同阶段的西方国家，古希腊文化一位数学家毕达哥拉斯也在探寻音乐与数学课的关联。他觉得吉他琴弦长度和声调高矮成占比关联，当弦长比各自为 2：1（纯八度）、3：2（纯五度）、4：3（纯四度）时传出的音是协合极致的。他以纯五度做为生律的重要， 明确提出了“五度相生律”，亦称“毕达哥拉斯律”。“五度相生律”与“三分损益表律”有极为类似的地区，这表明人们听觉系统工作能力的演变和对当然音阶的了解是有关联性的。并且，中西方音乐中音阶的组成尽管不一样，但最后結果均是将一个详细的八度音阶分为了十二个半音。

此外，听觉往往可以听到悦耳的声音，是由于物件振动造成的声波频率，根据空气传播造成大家耳鼓细微振动。振动的高低（动能的尺寸）反映为响声的尺寸，不一样物件的振动反映为响声音质的不一样，而振动的速度就反映为响声的高矮。

当声音频率过高或过低时，听觉会觉得难受或彻底不可以认知，音乐中常会应用的頻率范畴大概是16至4000HZ，而人声伴奏及器乐中最颇具感染力的頻率范畴大概是60至1000HZ。在七度音阶中，頻率为261.63HZ的音在音乐里用字母c1表明。一根弦所传出的响声与同一根弦但长短递减后传出的响声有十分和睦的实际效果，因其振动頻率十分和睦，即“共鸣点”，这时的2个音就是大家常说的八度音。美国一位数学家泰勒建立的公式精准地叙述了弦的情况与音乐的关联，即：弦振动頻率与弦的张力距的平方根正比，与弦的线密度的平方根反比，与弦的长短反比。运用这一公式计算，我们可以了解，一对八度音实际上便是頻率之比相当于2：1的2个音。

音阶是数学课与音乐紧密结合一个非常好的层面，其对乐理知识科学研究和造型艺术主要表现都充分发挥着关键功效。而中西方音乐的君子和而不同，将带来全球美丽的享有。

数学故事

三月，是郊游的好时机。孔先生和我们一起出去玩了。我们边走边看、说、笑，不知不觉来到了一个小村庄。听着村里鸡犬的叫声，孔老师感慨地说:“老子说他理想的社会是‘邻居互相看着，鸡犬的声音被听到，人到老不相往来’。我真的不能同意！如果人们都是这样，他们如何互相学习和传播知识？！”

学生们恭敬地围着他，听他表达他们的感情。

“让我给你举个例子。你听说过“鸡和兔子在同一个笼子里”的问题吗？"

大家点点头，颜回说:“只要知道鸡和兔子的头和脚的总数，并找出每只鸡和兔子有多少，你可以用假设的方法找出，或者你可以列出方程来解决。”

孔先生赞许地说，“颜回讲得很好。可以看出，他经常阅读数学书籍。有很多解决方案，但前几天我听到一位来自南方的客人介绍一种新的思维方式，非常有趣！我们刚刚谈到了鸡和狗的声音，所以我将改变它，用鸡和狗来做这个话题...嗯，李在村里有家养的鸡和狗，按头和脚数，总共有25只鸡和56只狗，那么分别有多少只鸡和狗呢？”

学生们开始在心里小声计算。不耐烦的鲁兹已经蹲下来在地上画画了。

孔小姐微微笑着说:“别担心，我刚才说过，让我们改变算法，你先闭上眼睛。”

大家安静下来，微微闭上眼睛，听下一步孔老师的指令。

"把所有的鸡和狗排成一排。"

“好吧。”

“让他们每人抬起一只脚！”

孔祥东的儿子孔鲤“哼”了一声，笑着说:“鸡变成了独立的金鸡！”

“哈哈，这个成语用得很好。”孔小姐摸着他的头，高兴地说。

孔鲤顽皮地说，“然而，小狗翘起的脚有点丑。那不是“嘘”吗？

学生们都大笑起来，孔老师也笑着说:“嗯，这只是一个意义的问题，不是语言的问题...来吧，让鸡和狗再抬起一只脚！”"

“啊？！”孔鲤喊道，“再抬起一只脚，鸡就会浮在半空中，狗就会像人一样站起来。”

“是的，在现实中，鸡和狗很难做到这一点。然而，我们人类自称是万物中的灵长类。只有通过思考，我们才能在想象中实现这种巧妙的画面。”听了孔先生的话，学生们都很认真。

"现在地面上有多少英尺？"

鲁兹抢着说:“56减去25两次，剩下6英尺，全是狗腿。”“我怎么觉得这个词有点难听...

听了孔先生的提问，“正是。刚才据说每只狗都像人一样用两只脚站立着。总共有多少只狗？”

“三个！”学生们异口同声地说。

“鸡在哪里？”“二十二！”

在这次郊游后的一段时间里，当学生们相遇时，他们都这样互相问候:“你好，抬起你的脚！”

知识链接:关于鸡和兔子在同一个笼子里问题的不同观点，想象让数学变得有趣。

初二数学知识点：分式的通分

①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：

Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；

Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

9（2014o四川广安,第9题3分）在△ABC中，AC=BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是（）

考点：动点问题的函数图象

分析：该题属于分段函数：点P在边AC上时，s随t的增大而减小；当点P在边BC上时，s随t的增大而增大；当点P在线段BD上时，s随t的增大而减小；当点P在线段AD上时，s随t的增大而增大．

解答：解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．

∵在△ABC中，AC=BC，

∴AD=BD．

①点P在边AC上时，s随t的增大而减小．故A、B错误；

②当点P在边BC上时，s随t的增大而增大；

③当点P在线段BD上时，s随t的增大而减小，点P与点D重合时，s最小，但是不等于零．故C错误；

④当点P在线段AD上时，s随t的增大而增大．

点评：本题考查了动点问题的函数图象．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．

（1）多项式的定义

几个单项式的和叫做多项式。其中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。

（2）多项式的次数

多项式里，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。例如，多项式x2-2x+8中次数最高的项为x2，这个多项式的次数是2。

（3）多项式的命名：几次几项式

多项式x2-2x+8中含有3项，最高次项的次数是2，我们定义这样的多项式为二次三项式。

（4）把多项式按照某个字母进行升、降幂排列。

例如，对于7x2+5x3-x4-9+x这个多项式，

按照x的升幂排列为：-9+x+7x2+5x3-x4

按照x的降幂排列为：-x4+5x3+7x2+x-9

（5）整式

单项式与多项式统称为整式。

火山是一个由固体碎屑、熔岩、流或穹状喷出物围绕着其喷出口堆积而成的隆起的丘或山。

超级火山是指能够引发极大规模爆发的火山。虽然对于爆发规模没有严谨的界定，但极大规模爆发都以瞬间改变地形，瞬间改变全球天气及全球性的生命灾难。

超级火山一般是指能够引发极大规模爆发且火山喷发物总量大于1000立方千米的火山。虽然对于爆发规模没有严谨的界定，但极大规模爆发都以瞬间改变地形，瞬间改变全球天气及全球性的生命灾难。大家是否了解我国超级火山喷发概率是多大呢?

据专家推论，近300年来火山喷发的几率现在已经处于最高水平，科学家们担心很有可能有超级火山喷发。来自欧洲科学基金会的专家称：“火山尤其是超级火山给地球和人类带来的威胁超过小行星、地震、核战争和全球变暖。”

对于这些定时炸弹我们并没有什么应对的计划，科学家们推测在未来80年内很可能出现超级火山爆发。世界上最危险的活火山包括黄石国家公园、维苏威火山和波波卡特佩特火山。

研究团队称，如果其中任何一座超级火山或者其它的大火山出现大喷发，数百万人或将因此丧命，而且地球的大气将充斥着灰尘和其它有毒物质。全球变暖的影响也将持续超过1000年。

今天小编为大家介绍了关于火山的一些相关内容供大家参考，如果您还想了解火山爆发是如何形成的以及其他的更多的地质灾害小知识和自然灾害小知识，还请关注我们的。

专家提出，牙周炎患者得心梗的概率更高，而患牙周炎的心脏病人发生心梗的危险要比无牙周炎的心脏病人高2-3倍。

据介绍，今年世界卫生组织WHO提出推广“8020计划”，即年龄80岁还应有20颗健全的牙齿。一些发达国家如瑞典80岁的老人平均能达到保持健全牙齿14颗。在我国，近年来儿童和成年人龋齿发病均呈上升趋势。儿童乳牙患龋齿约75%，恒牙患龋齿约50-60%。此外，因为吸烟和不注意口腔卫生，我国的牙周炎患者也益增多，据统计，患牙周炎的心脏病人发生心梗的几率要比无牙周炎的心脏病人高2-3倍。

由于大多数人对牙周病的严重性认识不足，因此，近年来该病的发病率持续上升。

分式的乘除法

1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式。

3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分。

4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2，(x-y)3=-(y-x)3。

5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理。当然，简单分式的分子分母可直接乘方.

6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.

1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。

2、全等三角形的表示和性质

全等用符号"≌"表示，读作"全等于"。如△ABC≌△DEF，读作"三角形ABC全等于三角形DEF"。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成"边角边"或"SAS"）

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成"角边角"或"ASA"）

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成"边边边"或"SSS"）。

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成"斜边、直角边"或"HL"）

4、全等变换

只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

函数

1.变量：

在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：

在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2.函数：

一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应。

3.定义域：

一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

初一数学一元一次方程应用题

知能点2：方案选择问题

6．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工．

方案二：尽可能多地对蔬菜进行细加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．

你认为哪种方案获利最多？为什么？

数学故事——老木匠计算半径的绝妙方法

我没有时间做任何事情。我碰巧遇到一个老木匠(这个老木匠来自我们村，我们都认识他)，他正在为一个家庭制作木制品。我们互相问候。后来，老木匠用卷尺测量桶底，周长4英尺。老木匠说，“吴先生，你是老师。让我问你一个问题。刚才这个桶的半径是多少？”我一时说不出话来，说道:“老师傅，我的嘴怎么也想不出来。”

紧接着，老木匠引用了一个等于6英寸4的地板半径。我惊讶地听到老木匠引用了桶底的半径。

在我心里，我用公式C=2πr来检验老木匠的计算结果。我觉得很难，于是用笔和纸来测试:

R = (C/2π) ≈ 40英寸/2×3.14)≈6.37英寸≈6.4英寸。

结果与老木匠的结果只有一点点不同，老木匠的计算方法又快又准确。

这时，我更感兴趣，请告诉老木匠他的计算方法。老木匠说:“只要六个字:如果尺子变英寸，就多60%。”最初，老木匠的计算方法如下:四英尺四英寸，四英尺六英寸两英寸四英寸(即4英寸x 0.6 = 2.4英寸)，总共4英寸+2.4英寸=6.4英寸。

后来，我举了另一个例子:如果圆的周长是3英尺，老木匠的算法是:3英尺到3英寸(英尺到英寸)，361英寸到8英寸，总共3+1.8=4.8英寸。

使用公式C=2πr进行测试:r = (c/2π) ≈ 30英寸/2×3.14)≈4.78英寸≈4.8英寸。

结果几乎一样。这是为什么？

当我到家时，我对“增加60%”的算法做了一些研究:

假设圆的周长是C，半径是R，用代数表达式表示这个算法如下:

r=(C/10)+0.6×(C/10)=16C/100，π=C/2×(16C/100)=3.125 .

原来，老木匠把圆周率取为3.125，虽然有误差，但算法在估计半径时简单实用。

4、如图，一束光线照在坡度为的斜坡上，被斜坡上的平面镜

反射成与地面平行的光线，则这束与坡面的夹角是度.

5、平行四边形的边长分别为和，一个内角为120°，它的两条高线的长分别是（）、（）.

6、一个斜坡的坡度，则坡角α的正弦值为.

7、某同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m，则旗杆高度约为_______.（取，结果精确到0.1m）

8、在ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=6.则BC的长为（）(结果保留根号)

数学童话——猴子吃瓜果

一只小猴子第一次离开他的妈妈，下山寻找食物。

他跑到西瓜地里看了看，哈，有这么多又大又圆的西瓜！小牛告诉他，第一块地有35个西瓜，第二块地的西瓜数量是第一块地的两倍。“就这样……”小猴子想做一个全面的口头清单，但他没有考虑过。他摘了一个西瓜吃了。小牛连忙对他说:“你可能不会吃西瓜！我会教你的。”小牛用刀把西瓜切成小块，并告诉猴子吃西瓜的肉。小猴子吃完西瓜，谢过小牛就走了。

小猴子来到两棵核桃树上，看到树上有许多绿色的核桃果实。小喜鹊告诉他，第一棵树上有85个核桃，第二棵树上的核桃比第一棵树少55个。“就这样……”小猴子对自己说:“这个问题有点难。”他不再多想，跳进树里，伸手拿起一个核桃嚼了起来。啊，他的嘴很不光滑，他很难过，挠了挠耳朵和脸颊，从树上翻了个跟头，急忙跑到河边漱口。小喜鹊飞过来告诉他，“你应该吃核桃里的坚果。”小猴子点点头，说“是的，是的”，然后沮丧地离开了。

小猴子跳上跳下来到梨树花园，看见园丁把大梨装进篮子里。磅秤显示234公斤、239公斤、237公斤、235公斤、233公斤、238公斤。看到小猴子，秤子问:“六筐梨平均每筐有多少公斤？你能想出来吗？”小猴子假装说，“我去一边，对你的问题做一个全面的回答。”小猴子藏在一棵梨树里，摘了一个梨。有什么问题吗？他把梨仁放进嘴里，吃了剩下的。唉！一只鸟越嚼越酸，飞向他说:“小猴子，梨仁不好吃，所以吃吧……”小猴子感到很困惑:吃瓜果，怎么像这样吃它，然后又像那样吃它，真让我困惑，让我们想想这三个数学问题吧！

二、填空题

4（2014o山东潍坊，第8题3分）已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4．E是BC边上的一个动点，AE⊥上EF,EF交CD于点F．设BE=x,FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是（）

考点：动点问题的函数图象．

分析：易证△ABE∽△ECF，根据相似比得出函数表达式，在判断图像.

解答：因为△ABE∽△ECF，则BE：CF=AB：EC，即x：y=5：（4－x）y，

整理，得y=－（x－2）2+，

很明显函数图象是开口向下、顶点坐标是（2，）的抛物线

点评：此题考查了动点问题的函数图象，关键列出动点的函数关系，再判断选项．

5（2014o山东烟台，第12题3分）点P是?ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点（）经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是

考点：平行四边形的性质，函数图象．

分析：分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可．

解答：点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；

点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小．点评：本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑．

直线：一条拉紧的细线向两方无限延伸就是直线。

直线表示法①两大写字母法如直线AB或直线BA（字母无顺序性）

②小写字母法如直线a

直线特征：①直线向两方无限延伸②直线没有粗细不能度量长短。

③两点确定一条直线④两直线相交只有一个交点。

⑤直线无端点但有无数个点

点与直线的位置关系：①点在直线上（也可说直线经过点）

②点在直线外（也可说直线不经过点）

直线公理：过两点有一条直线，并且只有一条直线。（两点确定一条直线）

当伟大的印度数学家斯里尼瓦萨罗·马努因肺结核在伦敦住院时，他的同事哈迪来看望他。哈代从来不擅长唤醒谈兴。他对罗曼奴芝说，“我是坐1729号出租车来的。对我来说，这个数字似乎很无聊。我希望这不是一个坏兆头。”“胡说，”罗曼奴芝答道，“这个数字一点也不无聊，相反，它很有趣。这是最小的数，可以用两种不同的方式表示为三次方的二次方之和。”(罗曼奴芝不知何故立即确定了1729 = 13+123和93+103。)罗曼奴之死于1920年，享年32岁。他是一位一位数的理论家和研究整数属性的数学奇才。数论是数学中最古老的领域之一，在某种程度上也是最简单的。当然，数字是数学中最常见的基础材料。然而，仍然有许多关于它们的基本问题没有得到回答。公元前3世纪，当博加特的阿波罗尼斯天真地继续研究阿基米德的大量数字时，他可能不知道等待他和数学代数学家的是什么。“我来告诉你谁知道大数，”阿基米德想。据说他出于报复而发明了放牛的计算问题。解决这个问题所需的人数太多了，直到最近才解决。此外，解决这个问题的不是人，而是机器:世界上最快的计算机。阿基米德取得了许多不可思议的成就，这些成就使他成为他那个时代的传奇人物，而提出像放牛这样极其困难的问题只是其中之一。公元前212年，罗马将军马塞洛斯围攻西西里的锡拉丘兹港。该市的国王西伦要求国王驱逐阿基米德的60艘敌舰。阿基米德不久前发明了杠杆(所以他说了一句名言:“给我一个支点，我会移动整个地球。”)，他将杠杆和滑轮结合起来制造大型起重机，将入侵的军舰吊出港口。在战斗中，起重机还得到了弩弹弓和凸面镜的帮助，它们将阳光聚焦在船上并点燃了船。结果，罗马舰队被摧毁了。马塞卢斯说:“让我们不要和这个几何怪物战斗。他把我们的船当作杯子，从海里舀水。”阿基米德阻止敌人接近达三年之久。后来，一天晚上，当锡拉丘兹忙于宗教庆典时，罗马士兵爬上城墙，打开了城门。当马塞卢斯的军队蜂拥而至时，他告诉他的下属:“没有人敢对阿基米德动一根毫毛。这个人是我们的客人。”梅斯鲁斯的一名士兵在院子里发现了阿基米德。那时，阿基米德正在沙滩上画几何图形。士兵不服从命令，拔出了剑。阿基米德问道:“我的朋友，在你杀我之前，请让我画一个圈。”士兵毫不犹豫地把剑对准阿基米德。阿基米德躺在地上，喃喃地说:“他们拿走了我的身体，但我会拿走我的灵魂。”就这样，他平静地死去了。根据阿基米德的愿望，人们在他的墓碑上刻了一个圆柱体，里面是一个球体——象征着他自豪的发现，球体的体积是包含球体的最小圆柱体体积的三分之二。这个传说有多少是真的？阿基米德无疑是一个机械天才。有充分的证据表明，他设计了一种能在300英尺外投掷50磅弩石的弩车。但是最近的一项技术史研究排除了他已经制造出一种可以将敌人的船只从海上吊起的起重机的可能性。这个神话可能是基于这样一个事实:他发明了一种起重机式的装置来将他的(静止的)船吊上岸。许多科学巨人包括伽利略？伽利略和法国博物学家布冯伯爵，乔治·路易斯？莱斯奎雷对阿基米德用镜子焚烧敌舰很感兴趣。这非常类似于孩子们用放大镜烧纸。理论上，这种镜子是可以制造的，但是它需要一个可变的焦距来保持太阳光线聚焦在移动的目标上，这是普通镜子所不能做到的。(1747年，布冯声称一面复杂的镜子点燃了150英尺的木头，熔化了140英尺的铅。无论如何，阿基米德都不会费事去做一面特殊的镜子，因为那时出现了一种简单而有效的燃烧武器:石脑油与一种化学物质混合，当它与水接触时会自动燃烧，然后放入一个人们向敌舰投掷的容器中。阿基米德之死的生动描述可能相当真实，尽管人们会怀疑他说的话。公元前75年，伟大的罗马演说家西塞罗来到阿基米德的墓前，发现墓碑上刻着一个刻有球的圆柱体。牛有什么问题？它真的是阿基米德首先提出的吗？不管阿基米德是否真的出于一时的愤怒而想出了这个问题，人们都知道他确实计算过这个问题，所以它至少有2200年的历史了。问题是这样开始的:“啊！我的朋友，如果你很聪明，那就集中精力数当天的公牛数量。它们过去在西西里大平原上吃草，根据颜色分为四类:乳白色、黑色、黄色和斑点。每组中公牛的数量占大多数，它们之间的关系是:1、白公牛=黄公牛+(1/2+1/3)黑公牛2、黑公牛=黄公牛+(1/4+1/5)斑点公牛3、斑点公牛=黄公牛+(1/6+1/7)白公牛4、白公牛= (1/3+1/4)黑公牛5、黑公牛= (1/4+1/5)斑点公牛6、斑点公牛= (1/5+1/6)黄公牛7因此，这个问题涉及到数学的基本部分:用8个未知数求解7个方程(4组不同颜色的公牛和4组相应颜色的母牛)。事实证明，这些方程不难求解。事实上，他们有无数的答案，牛的最小数量是50，389，082头。这些牛可以在西西里岛6358400公顷的大平原上自由吃草。然而，阿基米德并没有就此止步。他对多头的数量提出了两个额外的限制，从而使问题变得更加困难。白公牛+黑公牛=一个平方数。9.斑点公牛+黄色公牛=一个三角形。这个问题最后说:“如果你已经计算了牛的总数，哦！朋友，你就像一个征服者，不用说，你是数字科学的专家。”由于三角数和平方数的概念，阿基米德的牛问题与华达哥拉斯的工作有关。公元前6世纪，毕达哥拉斯和他的追随者用点来形成三角形、正方形或其他几何图形来表示数字。像3、6和10这样的数字被称为三角数，因为它们可以用构成三角形的点来表示* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *西蒙从海里捞出的153号鱼也是一个三角数。出于同样的原因，像4、9和16这样的数字被称为平方数，因为它们可以用排列成正方形的点来表示:* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *不要以为古人花了很长时间去乱涂乱画来判断一个特定的数字是否可以用一个特定的几何点图案来表示，因为有一种纯数字的方法来解决这个问题。所有三角数都可以通过添加连续的整数(从1开始)来获得；例如3 = 1+2，6 = 1+2+3，10 = 1+2+3+4。所有的平方数都可以从整数的平方得到:4 = 2× 2，9 = 3× 3，16 = 4× 4。由于对带有三角形和正方形数字的公牛的限制，公牛问题变得非常困难，并且在2000年没有取得真正的进展。1880年，一位德国研究人员在枯燥的计算后发现，满足所有8个条件的最小牛头数是一个206，545位数的数字，从776开始。阿基米德可能是一个有魔力的人，但他绝不是一个现实主义者:西西里岛上永远不会有这样一群牛。正如一位一位数的理论家所说:“即使它们是最小的微生物——不，即使它们是电子，一个半径为地球到银河系距离的圆只能包含这种动物的一小部分。”但是没有人认为缺乏真实性会阻碍数学研究。20年后，1899年，伊利诺伊州希尔斯堡的一名土木工程师和他的几个朋友成立了希尔斯堡数学俱乐部，致力于寻找剩余的206，542个数字。经过四年的计算，他们最终宣布他们找到了12个最右边的数字和另外28个最左边的数字，但后来证明他们的数字都错了。六十年后，三名加拿大人第一次使用计算机发现了所有答案，但他们从未公开发表过这些答案。1981年，当它来自劳伦斯？当利弗莫尔国家实验室的克莱1号超级计算机的47页硬拷贝被印在有趣的数学杂志上时，所有206，545位数字最终被公布于世。那时，克莱1号是世界上最快的计算机。克莱的超级计算机很贵——最新型号价值2000万美元，实验室和公司不会购买它来解决古代数论问题。购买它是为了制备新药、勘探石油、破译苏联密码、在好莱坞电影中创造出色的特效以及模拟太空武器。然而，人们经常让超级计算机解决数论史上棘手的计算问题，以证明它们是否正常工作。计算这些问题的好处是，它们的答案——即使以前不知道——可以很容易地被检验:它们可以简化为方程。阿基米德的牛问题在劳伦斯？当利弗莫尔实验室检查粘土1时，问题解决了。这台巨型计算机仅在10分钟内就找到了206，545位数字的答案，并对问题的计算进行了两次测试。让我们以阿基米德处理过的一个问题来结束这一节，我们也许能够解决这个问题。莎伦给了金匠一定数量的黄金(重量为W)来制作王冠。当赫伦收到王冠时，他问阿基米德，它是否包含所有的黄金，或者金匠是否偷了一些，用更便宜的金属代替。公元前1世纪著名的罗马建筑师维特鲁威写道:“阿基米德反复思考这个问题。有一天，他碰巧来到浴室，在那里他注意到当他坐在浴缸里时，溢出浴缸的水量等于他浸入浴缸的身体排出的水量。这向他提出了解决问题的办法，所以他从浴缸里跳出来，光着身子跑回家，大喊他找到了他要找的东西。因为当他跑的时候，他大声地用希腊语反复喊着，我找到了！我找到了！”他发现了什么？阿基米德意识到，由于金是密度最高的金属，重量为W的纯金皇冠的体积将小于掺杂相同重量的金皇冠的体积。他把一个容器装满水，放入一个重量为20公斤的黄金.然后他收集溢出的水，水的体积等于金子的体积。接下来，他把另一个容器装满水，然后在监督下把皇冠放入水中。果然，它排出的水量相对较大，证明了卑鄙的金匠偷走了西伦国王的黄金。

数学确实提出了很多问题。事实上，数学和问题是不可分割的。历史已经证明，数学概念已经成为数学问题的催化剂，这反过来又刺激了许多数学概念和数学发现。三个古代不可能的映射问题(1)、柯尼斯堡桥问题(2)和平行公设问题(3)是历史上已经解决的典型问题，在解决它们的过程中激发数学思维、概念和发现。提出数学问题，思考数学问题，仔细阅读答案，证明它们是数学家前进的动力。

这里有一些著名的“未解”数学问题:

突出素数问题

有没有公式或测试方法可以用来确定一个给定的数是否是质数？

有无限对孪生素数吗？一对孪生素数是一对相邻的素数，它们的差是2。例如，3和5，因为5-3 = 2。还有，例如，5和7，11和13，41和43。

奇数完全数的奥秘。如果一个数等于它所有真因子的和，那么这个数就叫做一个完全数(真因子是除了它本身以外的因子)。6是偶数的例子，因为6 = 1+2+3。其他例子有28，496和8128。大约在公元前300年，欧几里德证明了如果2n-1是素数，2n-1 (2n-1)就是一个完全数。然后在18世纪，莱哈德·欧拉证明了任何偶数都必须符合欧几里得公式。例如，8128 = 26 (27-1)。

但是奇数仍然是一个谜。到目前为止，没有人发现奇数完全数，也没有人证明所有完全数都是偶数。

哥德巴赫猜想

每个大于2的偶数都是两个质数的和吗？

1742年，德国数学家克里斯蒂安·歌德巴赫(1690 ~ 1764)给莱哈德·欧拉(1707 ~ 1783)写了一个猜想，即除了2以外，每个偶数都是两个素数的和。例如:4 = 2+2，6 = 3+3，8 = 3+5，10 = 5+5，12 = 7+5。尽管哥德巴赫的猜想被认为是正确的，但还没有人证明它。到目前为止，已经获得了以下结果:1931年，苏联数学家史尼尔曼清楚地证明，任何偶数都可以写成不超过300，000的质数之和——这与两个质数相差太远；伊万·维诺格拉多夫(1891 ~ 1983)证明了所有足够大的奇数都是三个素数之和。1973年，陈景润证明了每个足够大的偶数都是一个素数和一个素数或一个只有两个素数因子的数的和。

地平线:费马大定理

在17世纪，皮埃尔·德·费尔马(1601 ~ 1665)在他的一本书的侧面写道——

不可能将一个立方数分成两个立方数和一个四次方数，或者通常任何大于二的更高次方数分成两个相等的次方数。我当然已经得到了一个很好的证明，但是边缘的位置太窄了，不能写下来。

这个定理可以重述如下:如果n是大于2的自然数，则没有正整数x，y，z使xn+yn = Zn。费马的笔记是一个挑战。几个世纪以来，即使是最杰出的数学家也没能证明或否定它。

下一节将提供额外的背景，并讨论关于费马大定理的最新消息。试图证明费马大定理的一些发现可能比定理本身更重要。

研究未解决的数学思想和探索已知事物一样有趣。这只是数学未解之谜的一小部分。虽然有些问题很简单，可以告诉没有数学背景的人，但他们的解决方案很难。

(1)只能用尺子和圆规解决的三种古代不可能的情况如下:将一个角三等分(将一个角分成三个相等的角)，将立方体加倍(制作一个立方体，使其体积是给定立方体的两倍)，将一个圆变成一个正方形(制作一个正方形，使其面积等于给定的圆)。由这三个问题激发的几个发现是尼可米兹的蛤蜊线、阿基米德螺线和希皮阿斯的切圆曲线。

(2)konigsberg桥问题的要求是找到一条通过七座konigsberg桥的路线，其中任何一座桥只允许通过一次。欧拉在解决这个问题时发展了网络的概念。

(3)平行公设包括确定欧拉第五公设是公设还是定理。证明这一假设的努力导致了非欧洲几何学的发现。

猪虽然很胖，但他爬楼梯很快。他第一个爬到二楼，兴奋地说:“主人，快来。智慧佛经就在这些房间里。”悟空提醒八戒:“不要开门，小心暗藏的武器！”八戒听说有暗器，急忙躲在唐僧背后。沙僧数了十个房间。每个房间的门都关着。他问唐僧:“师父，智慧在哪里？”

唐僧看到每扇门前都有一些漂亮的鹅卵石和一台称重机。称重机旁边有一张纸，上面写着:“每扇门里有10颗鹅卵石，其中9扇门前的鹅卵石重50克，另一扇门前的鹅卵石重49克。如果你一次重49克，智慧经就藏在这个房间里。”

悟空小心地称了称门前的鹅卵石，对唐僧说:“有一克的差别。它只能再次称重。这太难了。”唐僧想了一会儿，说:“猪，你可以拿一个，两个...从1号门到10号门依次有9颗和10颗鹅卵石，把它们放在一起称重。”八戒称了称后说，“师傅，它重2742克。”唐僧:“那就打开第八间房。”八戒道:“师父，你怎么知道是第八间房？”唐僧说:“我们轮流拿1到10颗鹅卵石，假设每颗50克，它应该有2750克重。现在只有2742克，少了8克。这意味着8号门前的鹅卵石每颗重达49克。”八戒称赞道:“师父，你真有兴趣。我会帮你开门的。”