算数学的妙招汇编20篇

正方形

1、正方形的概念

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定

（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：

先证明它是平行四边形；

再证明它是菱形（或矩形）；

最后证明它是矩形（或菱形）

4、正方形的面积

设正方形边长为a，对角线长为b

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似（AA）

判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似（SAS）

判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似（SSS）

判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。

判定定理5：两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。

其他判定：由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc

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确定函数定义域的方法

(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数;

(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零;

(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零;

(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零;

(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

用待定系数法确定函数解析式的一般步骤

(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;

(2)将x、y的几对值或图像上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程

(3)解方程得出未知系数的值;

(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。

证明题的思路：

很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。

对于证明题，有三种思考方式：

(1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。

(2)逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。

同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。

例如：

可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；

要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。

(3)正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。

初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。

给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。

证明题要用到哪些原理？

要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。

下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。

一、证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

12.两圆的内（外）公切线的长相等。

13.等于同一线段的两条线段相等。

二、证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。

10.等于同一角的两个角相等。

三、证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

11.利用半圆上的圆周角是直角。

四、证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

五、证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

六、证明角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。

2.利用角平分线的定义。

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

七、证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。

2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。

5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

八、证明两角的不等

1.同一三角形中，大边对大角。

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。

4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

九、证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。

2.利用内外角平分线定理。

3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。

6.利用比利式或等积式化得。

十、证明四点共圆

1.对角互补的四边形的顶点共圆。

2.外角等于内对角的四边形内接于圆。

3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。

4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。

5.到顶点距离相等的各点共圆。

数学童话——狐狸卖鸡蛋

西瓜卖不出去，跛脚狐狸却在卖鸡蛋。

跛足的狐狸守护着许多盒子的鸡蛋，并喊道:“卖鸡蛋！新鲜鸡蛋！买得更便宜！”

突然，传来一声低沉的哭声。跛足的狐狸往里看，看见一只大公鸡抱着一只哭泣的母鸡向这边走来。

狐狸急忙打招呼:“请买些新鲜鸡蛋！”

听到“新鲜鸡蛋”这个词，母鸡大哭起来。母鸡的叫声把跛足的狐狸弄糊涂了。

狐狸看上去不高兴。他说:“今天是我第一次卖鸡蛋。你在我的货摊前哭吵闹闹，真倒霉！”

达公基连忙解释道，“我妻子几天前下了一窝蛋。她不小心被小偷偷走了。她非常难过。”

听到“偷窃”这个词，狐狸大吃一惊。他很快解释道:“人们常说狐狸偷鸡，但没人说狐狸偷鸡蛋。我买了鸡蛋，不是你！”

那只瘸腿的狐狸眼珠一转，立刻变了脸。他对着母鸡笑了笑，说道:“别哭！你丢了鸡蛋，是吗？我这里有很多鸡蛋。买一些回去孵化，以确保你有一个完整的家庭。”

听到狐狸说的话，母鸡立刻大哭起来，笑了。她立刻买了10个蛋，回到她的窝里快乐地孵蛋。

就在母鸡离开的时候，狐狸“噗噗”地笑着说，“我从养鸡场买了所有的鸡蛋。这个养鸡场里没有公鸡。这个蛋根本不能孵小鸡！”

母鸡一连好几天都回去孵蛋，蛋甚至都不动。几天后，鸡蛋开始发臭，母鸡知道自己被狐狸骗了。公鸡和母鸡报复狐狸！

狐狸拒绝承认，但是公鸡和母鸡没有离开。狐狸的眉头皱了起来，他的计谋出现了。狐狸说，“我们开始吧！我愿意给你这1000个鸡蛋作为补偿。只有一个条件。”

公鸡问:“什么条件？”

狐狸说:“你必须把这1000个鸡蛋拿走五次。每次取的鸡蛋数量是8个。”“8”更吉利，“8”是“头发”发财！"

公鸡和母鸡，如果你看着我，我看着你，没有人会数。突然，“哔”的一声，一个小纸球从树上掉了下来。一只猴子从树上消失了。

公鸡拿起纸团，立即大叫一声，对狐狸说:“先给我八个蛋。”狐狸照办了。“你再给我88个鸡蛋。”狐狸照办了。"你给了我888个鸡蛋多少次了？"

狐狸说:“三次！”

母鸡走过来说:“只剩下两只了。轮到我了！”你给我八个鸡蛋，再给我八个。"

狐狸的眼睛都是红色的。他列出了一个加法公式:8+88+888+8+8=1000。狐狸大叫一声，瘫倒在地上。

数学系列故事的第一次数学危机

公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的一个信徒希帕索斯发现了一个惊人的事实:正方形的对角线和一边的长度(如果正方形的边长是1，对角线的长度就不是一个有理数)的不可通约性与毕达哥拉斯学派的哲学“一切都是一个数”(意为有理数)大相径庭。这一发现吓坏并激怒了学校的领导，他们认为这将动摇他们在学术界的主导地位。结果，芙蓉花被监禁，以各种方式被折磨，最后被处以沉船的惩罚。

不可通约的本质是什么？很长一段时间以来，有许多不同的意见，但没有一个正确的解释。两个不可公度数的比率也被认为是一个不合理的数字。意大利著名画家达芬奇在15世纪称之为“无理数”，德国天文学家开普勒在17世纪称之为“难以形容的数”。

然而，毕竟，真理不能被淹没，毕学派抹杀真理是“不合理的”。为了纪念献身真理的可敬的学者芙蓉，人们把不可通约量命名为“无理数”——这就是“无理数”的起源。

同时，它导致了第一次数学危机。

数学故事——为什么1不是质数

所有自然数都可以分为三类:

(1)只能被“1”整除的数本身称为素数，如:2，3，5，7，11。

(2)除了“1”和它本身，能被其他数整除的数称为复合数，如:4，6，8，9。

(3)“1”既不是质数，也不是复合数。

有人想问，“1”只能除以1和它本身，为什么不能算作质数？在“1”被算作质数之后，把所有自然数分成质数和复合数不是更简单吗？

这从因式分解因子开始。例如，1001的本质就是用哪个数字来除1001。1001的质因数除以1001=7×11×13，只有这种分解结果，才能知道1001除了被1和它本身整除之外，还能被7、11和13整除。如果“1”也被算作质数，那么1001因子分解质数因子将产生以下结果:

1001=7×11×13

1001=1×7×11×13

1001=1×1×7×11×13

……

换句话说，几个因素“1”可以添加到分解公式中。这样做，一方面，没有必要找到因子1001，另一方面，分解素因子的结果不是唯一的，这增加了不必要的麻烦。因此，“1”不算质数。

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推论：

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形性质

等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；

2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。

1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；

2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形

角平分线

1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；

2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。

1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；

2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；

2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。

1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；

2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。角等边对等角

等角对等边边底的一半

两边相等的三角形是等腰三角形

（一）概率的定位

1．经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据。

统计最重要的是整个过程，统计就是要从数据里得到信息，在这个过程中收集、整理、描述、分析都是必须的。在教学中学生应该了解并学会如何处理统计的整个过程，不能很片面的认为统计仅仅是对内容的分析。

在小学的第一学段，即小学一到三年级，要帮助学生学会对于一些事物进行分类，其中包括一些对数据的分类，这种分类讨论，对于将来处理数据，是一个非常重要的基础。到了第二学段，学生应该不仅会收集数据，还应该可以处理一些数据，这就需要把数据用某种方式表达出来，比如说统计图表。学生经过整理数据，然后描述数据，最后分析数据的整个过程。所以整个这个过程，就像张老师强调的。在不同的年龄段，我们分析的对象不一样，分析的复杂程度不一样，但是这个基本过程始终是一样的。

在初中收集数据和在小学收集数据有什么差异。在小学收集数据，学生可能更多的是自己去收集，比如收集全班同学的身高，或者视力情况，那么到中学以后，学生不仅可以自己去收集，还可以去查阅资料，因为他学的知识多了，他可以利用现成的数据，比如说利用家长的资源，利用网络的资源，利用报纸上的一些信息，这样他数据的来源，就不仅仅是自己去调查，去收集，还有从别人那现成拿来使用的。从数据来看，比小学生就灵活多了、数据的来源也丰富多了。小学一个是自己收集，一个是老师提供他一些可以供他分析的数据，在初中，希望孩子接触的数据更多一些，所以他得到数据的来源，可能就丰富一点，这是和小学一个很大的差别。

数学故事——守卫的智慧

来自一个非洲国家的重要人物被邀请参观山区城市。市公安局安全部门和武警部队奉命加强一级安全保卫工作。因为根据情报，这个重要国家的政治对手正在组织派遣恐怖分子，而且他们很可能会在这座山城暗杀这个重要人物。贵宾参观完山城景点后，车队开到市政府广场前。看到广场上挤满了游客，这位平民出身的贵宾情不自禁地下了车，与游客们交谈起来。当时，安全工作一片混乱。根据他的保镖和我们外事部门的官员的建议，这个重要人物仍然不满意他在市政大厦的职位。

当这个重要人物刚刚消失在大楼的电梯里时，突然一个年轻强壮、肤色和衣着都与这个国家相称的男人向市政大楼冲去。武警立刻拦住了他:“请出示你的证件。”懂一些英语但不会说英语的警卫礼貌地拦住了年轻人。这个人听不懂警卫的话，耸了耸肩，摇了摇头，叹了口气。在警卫的帮助下，他花了半天时间才发现他需要检查自己的身份。因此，他从衬衣口袋里拿出一张证书，用英语告诉哨兵，这是国家安全部的证书。他是一位来访贵宾的保镖之一。刚才，因为他发现一些可疑的访客跟踪了他一段时间，他被耽搁了，不能带着贵宾进入市政大楼。当门卫基本上听清了对方的意思后，经过一番思考，他问自己胸前的代表团成员卡是否被发现了，但他解释说，刚才在人群中，因为游客们都挤着和贵宾说话，为了保护贵宾，他被挡在了前面，成员卡可能被挤了出来。听了他的解释后，卫兵们认为这是合理的，认为如果他们坚持不再释放他们，他们可能会影响两国之间的友好关系。所以警卫礼貌地告诉对方他们可以进入市政大楼。年轻人和中年人称赞了门卫的严肃，并向他致谢，然后走进大楼，向电梯走去。

当他正要进入电梯时，武警警卫冲过去抓住了他，并要求便衣警察给他戴上手铐。原来这个人是恐怖分子杀手。

警卫是怎么看穿他的？

比特币的一切都深深浸透在数学之中——数学的定义是研究数量、结构、空间和变化。对于密码投资者和交易员来说，数量一直是他们特别感兴趣的问题——在增加自己的持有量方面，以及BTC的硬性上限对其长期价值的影响方面。

最近，推特上的一个帖子质疑为什么第一种加密货币的创造者中本聪(Satoshi Nakamoto)选择2100万比特币作为总供应量，而不是另一个任意数字。答案就像围绕比特币的一切一样，可以在非常简单的数学中找到。

比特币的刚性供应为其提供了独特的属性。这给了它一层法定货币所不具备的稀缺性，但像黄金这样的避险资产却广受赞誉。它还通过从不增加比特币供应量来防止通货膨胀。我们都知道为什么比特币的价值很重要，但为什么是2100万比特币呢?

Arca是一家专注于加密货币和区块链的资产管理公司。该公司的交易员萨沙弗莱希曼(Sasha Fleyshman)在Twitter上发起了一个详细而发人深虑的帖子，探究比特币的创造者为何选择2100万比特币作为比特币的总数量。像大多数与Satoshi有关的事情一样，原因一直不为人知。

经过多次讨论，弗莱希曼汇集了大家的想法，并基于一个简单的数学公式，可能已经发现了2100万比特比特供应量背后的原因。

这个理论大部分是基于时间的。使用的变量是每天小时、每年天、每周期年和每小时块。

此外，硬编码到比特币的一个事实是，每一个新区块被添加到区块链大约需要10分钟。弗莱什曼指出，这种情况会有几秒钟的变化，但最终会在每14天发生一次“难度调整”时得到补偿。

当你以每小时6个区块的速度分解四年的区块时，每半周期大约有210,000个区块。

在比特币下一次减半时，其供应量将从12.5比特币削减至6.25比特币。在此之前，区块奖励是25个BTC，在此之前是50个BTC。所有方块奖励大小的总和为100。

当你用100乘以210,000个总块每半周期，你得到2100万个BTC。至少这是根据弗莱希曼的理论，这是合乎逻辑的。

虽然所有的计算结果都是一致的，但这也可能只是一个巧合，而真正的答案可能永远不会为人所知，因为中本聪的真实身份可能永远不会被披露。在那之前，这个理论是最令人信服的。

描述定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫圆心。线段OA叫做半径。

集合定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

2、圆的表示方法：以O为圆心的圆记做⊙O，读作圆O。

3、圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

4、半径：圆心与圆上任意一点所连的线段叫半径。直径：经过圆心的弦叫直径。

5、圆心角：顶点在圆心上的角叫圆心角。

6、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

二次函数概念：

二次函数的概念：一般地，形如ax^2+bx+c=0的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.

二次函数图像与性质口诀

二次函数抛物线，图象对称是关键;

开口、顶点和交点，它们确定图象限;

开口、大小由a断，c与Y轴来相见，b的符号较特别，符号与a相关联;顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

悟空一起床，八戒就告诉悟空他早上是怎么判断的，他是怎么帮渔夫分鱼的。悟空听后，举起大拇指称赞道:“猪进步很大！”八戒遗憾地说，“可惜给了他们鱼。如果给他们馒头，我会向他们要一些。那时候我在高老庄，那个馒头……”

悟空知道猪的贪吃问题又犯了，开玩笑地说:“猪，我第一次出道就考验你吃馒头的问题。我答对了。我陪你去高老庄吃馒头”八戒听了包子，忽然发狠道:“好！”悟空:“有个人一次吃20个馒头，比前一天多吃了2个。当他一次吃78个馒头时，你知道他在这段时间里吃了多少个馒头吗？”

八戒道:“哈哈，就把它一天一天加起来。”之后，他在纸上写道:20，22，24，26，28 …写了一会儿之后，猪变得迟钝了，“这太麻烦了！”悟空:“仔细看，你能找到规则吗？”八戒仔细研究了这些数字。“呵呵，我知道，”八戒兴奋地说。“由于后一个数字比前一个数字大2，最后一个数字是78，他用(78-20)2 = 29来表示他总共吃了29+1 = 30天，然后将这30个数字分成前后两组，如20组和78组，22组和76组...总共分成15组。由于各组的总和相等，因此(20+78) x (30÷ 2) = 1470。八戒得意道:“行者，我的方法简单。现在我们吃馒头吧！”

数学童话

蒂丹告诉古巴数学家比伦，地球应该围绕太阳旋转，一年应该是365天5小时48分46秒。

这个又矮又胖的数学家非常生气。他指着铁蛋喊道:“抓住这个咿呀学语的孩子！”几个巴比伦人走上前来，抓起铁蛋。

当铁蛋看起来很糟糕的时候，它开始跑出来了，并大声喊道:“我比你落后2000多年。你当然不了解2000年后的科学！”

不，几个巴比伦人正处于赶上铁蛋的边缘。突然传来鹰的叫声。时间之鹰像闪电一样俯冲下来，抓起铁蛋冲向天空。

铁蛋擦去他头上的汗水，说道:“真是个谜！”

时间之鹰说，“我会带你去古代印度！”铁蛋高兴地点点头。

印度有许多寺庙。当铁丹踏上这座著名的佛教圣地时，他跑进了一座寺庙，在那里他看到了一尊供奉着上帝的雕像。这座雕像非常特别。他有四只手。这四只手分别拿着莲花、贝壳、铁饼和狼牙棒。

蒂丹自言自语道:“这是什么上帝？”

突然间，四手神说话了。它说，“我的名字是哈利。事实上，我也可以有很多名字。根据佛经，如果我改变我持有的东西的顺序，我可以有一个新的名字。”

蒂丹问，“你为什么要这么多名字？”

哈利说，“如果我还有一个名字，我会有一个单词和一个拼写。多年来，我一直想知道我拿的四样东西能有多少种不同的排列，我有多少种不同的名字。请帮我计算一下。”

"仙女恳求我数数，但我不敢数."蒂丹在地板上写道:“排列的顺序应该是规则的，而不是随机的。这取决于我。”

第一只手，第二只手，第三只手，第四只手，锏铁饼，莲壳，锏铁饼，莲壳，莲铁饼，壳，锏莲壳，铁饼，锏壳，莲铁饼，锏壳，锏铁饼，锏壳，铁饼，莲。让第一只手牢牢抓住狼牙棒，让另外三只手改变他们的模式。可以有6种不同的安排。如果你让第一只手拿着别的东西，你有多少种方法可以安排它？为你自己想想吧！”

说完铁蛋扭头走了出去。

哈利从后面喊道，“别走，我还是数不清。”

数学故事——酸梅汤和压缩饼干

水库的进出水量已经计算出来了，在同一个笼子里关着鸡和兔子的数学问题也增加了。在不苟言笑的数学公式法则面前，数学不仅失去了生命力，也失去了孩子们自己。如何在课后为孩子们找到生动的数学不是以前没有人尝试过的事情，也有成功的例子。《爱丽丝梦游仙境》是外国数学家写给孩子们的童话。然而，也有一些失败。他们认为如果书中有动物和儿童，那就相当于科普。一天结束时，他们只是让牛背诵一条数学定律，让鸟讲一些数学逻辑，这仍然很无聊。照搬流行科学的术语，这被称为“知识的硬块”，像压缩饼干一样难以消化。然而，在李毓佩的童话故事中，没有酸梅汤、水煮汤、酸甜蜜蜜之类的东西。有些人把他的话比作酸梅汤，他称之为一种用水的功夫。

水需要技能，许多数学学者也承认他们做不好，因为习惯写数学论文的大脑不能解决简单的公式。光有文学想象力是不够的，一些纯文学作家也做不到，因为他们还没有达到一定的数学高度。“一个数学公式，你不知道它的因果，它的发展和演变，它的积极和消极，只能告诉孩子规律。这是一个数学成就的问题。”

李毓佩觉得他站在正确的地方。他从小热衷于武术侦探，长大后从数学系毕业。他崇拜许多数学方面的顶尖人物，如张景中院士，他不仅在专业领域出类拔萃，而且还能写通俗的数学论文。但是他几十年的创造性实践告诉他，数学中的流行科学对他来说是最好的。“我可能不是一流的化学家，但我可能是一流的科普作家。”他经常用美国科普作家阿西莫夫的话鼓励自己，还想象有一天，中国孩子会举起他的数学童话，就像美国孩子看地理课本一样——知识完全沉浸在旅行笔记中，就像营养完全沉浸在酸梅汤中一样。

教学目的

理解一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列一元一次方程解简单应用题。

重点、难点

1、重点：弄清应用题题意列出方程。

2、难点：弄清应用题题意列出方程。

教学过程

一、复习

1、什么叫一元一次方程？

2、解一元一次方程的理论根据是什么？

二、新授

例1、如图（课本第10页）天平的两个盘内分别盛有51克，45克食盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到月盘内，才能两盘所盛的盐的质量相等？

分析：等量关系；A盘现有盐＝B盘现有盐

检验所求出的解是否合理。培养学生自觉反思求解过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。

例2.学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖，初一同学每人搬6块，其他年级同学每人搬8块，总共搬了1400块，问初一同学有多少人参加了搬砖？

1．题目中有哪些已知量？

（1）参加搬砖的初一同学和其他年级同学共65名。

（2）初一同学每人搬6块，其他年级同学每人搬8块。

（3）初一和其他年级同学一共搬了1400块。

2．求什么？

初一同学有多少人参加搬砖？

3．等量关系是什么？

初一同学搬砖的块数十其他年级同学的搬砖数＝1400

三、巩固练习

教科书第12页练习1、2、3

四、小结

列方程解应用题的关键在于抓住能表示问题含意的一个主要等量关系，对于这个等量关系中涉及的量，哪些是已知的，哪些是未知的，用字母表示适当的未知数（设元），再将其余未知量用这个字母的代数式表示，最后根据等量关系，得到方程，解这个方程求得未知数的值，并检验是否合理。最后写出答案。

五、作业

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知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离

当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。[来源:Zxxk.Com]

当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。

当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径

切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。

罗科答应了一声，开始填补这个小圆孔。首先连续填三个小圆孔。他先做了一个除法:90÷ 3 = 30，然后很快填了三个连续的自然数29+30+31；然后连续填四个圆孔。他还做了除法:90 ÷ 4 = 22.5。罗克很快填写了四个连续的自然数21+22+23+24。

他就这样继续下去，很快就把所有的圆孔都填满了。

罗科刚刚填完所有的数字，桌子突然向前移动。然后传来“哔”的一声。一个平台从下面升起。平台上有一个盒子。罗科和米切尔把箱子放下，打开了它。有101件珍宝，其中许多在里面。

“找到宝藏了！”“找到宝藏了！”罗克和米切尔高兴地跳着舞。

矮胖子经理低着头坐在地上说:“结束了，一切都结束了！”

这时，海船外人声鼎沸，乌什的首领带了几十名士兵来迎接他。

白发苍苍的老人，罗科和米切尔，有着粗壮的经理和大胡子，从海上把装有珍宝的箱子搬下来。尤氏首领迅速走上前去，一个接一个地拥抱了这三个人。

尤实紧紧地拥抱着罗科，眼里含着泪水动情地说，“谢谢你，罗科！没有你的帮助，我们神圣部落的这批国宝就不会被找到。即使找到了，也会被这些外国强盗带走。你来自天堂，帮了我们很多！”

罗科笑着说，“我是从天上掉下来的，但我不是神。我是一架遇险的飞机。如果我没有在你的岛上着陆，没有被你及时营救，我早就完了。我应该感谢你！”

每个人都有说有笑，非常活泼。突然，罗科显得焦虑不安。尤实问，“罗克，你怎么了？太累了，还是有点不舒服？”

罗克摇摇头，说道，“离第31届国际中学生奥林匹克数学竞赛只有两天了。原来我可以把这艘船带到华盛顿，但我不认为它是一艘假船。我们逮捕了船上所有的人。我现在怎样才能参加比赛？"

“嘿，没必要担心这个。”尤实拍了拍罗科的肩膀说，“在我们神圣的部落里，有很多人能驾驶这样大的船。我会立即组织一个小组带你去华盛顿！”

这个团队很快就组织起来了，包括船长、大副和总工程师？？工作人员已经完成，米切尔也在船上。

就在黎明前，一声清脆的笛声划破了岛上的宁静，船启航了。岸上挤满了为他送行的人。古希和白发老人在船上频频向罗科挥手。罗科也挥手告别。岸上的人们看着船在晨雾中消失。

数学故事——田忌赛马的故事

《史记》中有这样一个故事:有一天，齐王让田忌和他一起比赛，规定每个人都要从自己的三等马中选一匹。它还规定每匹马都要参加比赛。双方还同意，每匹获胜的马，他将获得2000金，每匹落后的马，他将支付2000金。

当时齐王的马各等级都比《天纪》中的同等级的马好。因此，如果田忌用他的好马与齐王的好马作比较，用他的中号马与齐王的中号马作比较，用他的劣马与齐王的劣马作比较，田忌就会损失三次，从而损失3200金。但结果是，田忌没有输，而是赢得了1200枚金牌。这是怎么回事？

原来，在赛马之前，田忌的谋士孙膑给他出了一个主意，让田忌用他的劣马与国王的好马相比较，用他的好马与国王的劣马相比较，用他的劣马与国王的劣马相比较。田忌的劣马当然会输，但是好马和好马都赢了。因此，田忌不仅没有损失3000两黄金，还赢得了1000两黄金。

这个故事和老鼠逃跑策略的最后一段都表明，在双方都参与的竞争或斗争中，策略非常重要。如果所采取的策略是恰当的，在看起来一定会失败的情况下，就有可能赢得胜利。

研究这种竞争策略的数学分支叫做博弈论，也叫做博弈论。这是运筹学的一部分。

某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费。

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？应交电费是多少元？

解：（1）由题意，得0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72

解得a=60

（2）设九月份共用电x千瓦时，则0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x解得x=90

所以0.36×90=32.40（元）

答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．

对称图形，同时圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。