推导

梯形面积的推算方法是在小学时代学习的，记得它的推算方法有好几种方法，有利用两个平行四边形面积推算的梯形面积公式，还有有利用三角形面积推算的方法、、、。下面具有说说：梯形面积推导方法。

操作方法

用平行四边形推导梯形面积的方法：先将两个相等的梯形拼成一个平行四边形，如下图所示。设梯形上底长为a,下底长为 b;

则平行四边形的底长为 高设为h, 先算出平行四边形的面积为： 底x高=（a+b）x h

然后其中一个梯形面积的则是平行四边形的一半，所以要除以2，即梯形面积公式为：（a+b）x h÷2

先连接梯形中任意一条对角线，梯形则分为两个等高的三角形，如下图所示。

设上底为a，下底为b，高为h 。

其中三角形面积为：底x高÷2 ，则以下三角形面积分别为: axh÷2，bxh÷2

则梯形的面积就等于两等高三角形的面积相加，其梯形面积公式为: axh÷2+bxh÷2=(a+b)xh÷2

特别提示

梯形分为等腰梯形，直角梯形及其它梯形，，，随着年级的增高其推导面积方法会有多种不同的方法推导。

tanx的导数为secx的平方，知道推导过程能够方便记忆，那么下面就讲一下具体的推导过程。

操作方法

已知tanx = sinx/cosx。

即tanx的导数等于sinx/cosx的导数。

分式进行求导,两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导。

已知sinx的平方+cosx的平方=1

即等于cosx的平方分子1。

已知cosx分之1等于secx，即cosx的平方分之1等于secx的平方。

则cosx的平方分之1等于secx的平方，即tanx的导数为secx的平方

常用的三角函数诱导公式有：sin(2kπ α)=sinα(k∈Z)、cos(2kπ α)=cosα(k∈Z)、tan(2kπ α)=tanα(k∈Z)、cot(2kπ α)=cotα(k∈Z)等。三角函数常用诱导公式

设α为任意角，同一三角函数在终端相同角度的值相等

sin(2kπ α)=sinα(k∈Z)

cos(2kπ α)=cosα(k∈Z)

tan(2kπ α)=tanα(k∈Z)

cot(2kπ α)=cotα(k∈Z)

设α为任意角，π α三角函数值和α三角函数值之间的关系

sin(π α)=-sinα

cos(π α)=-cosα

tan(π α)=tanα

cot(π α)=cotα

任意角α与-α三角函数值之间的关系

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

使用公式二和公式三π-α与α三角函数值之间的关系

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

使用公式一和公式三可以得到2π-α与α三角函数值之间的关系

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα三角函数诱导公式推导过程

1、sin(-a)=-sina

sin(-a)=sin(0-a)=sin0cosa-sinacos0=0-sina=-sina

2、cos(-a)=cosa

cos(-a)=cos(0-a)=cos0cosa sin0sina=cosa 0=cosa

3、sin(π/2-a)=cosa

sin(π/2-a)=sinπ/2cosa-sinacosπ/2=cosa-0=cosa

4、cos(π/2-a)=sina

5、sin(π/2 a)=cosa

6、cos(π/2 a)=-sina

7、sin(π-a)=sina

8、cos(π-a)=-cosa

9、sin(π a)=-sina

10、cos(π a)=-cosa

欧姆定律的三个公式是：I=U/R、U=IR、R=U/I。欧姆定律是表示电路中电流、电压和电阻关系的基本定律。

在同一电路中，导体中的电流与导体两端的电压成正比，这是欧姆定律。欧姆定律公式：I=U/R。

由欧姆定律I=U/R的推导式R=U/I或U=IR不能说导体的电阻与两端的电压成正比，与通过的电流成反比，因为导体的电阻取决于导体的长度、横截面积、材料、温度和湿度。即使两端没有电压，也没有电流通过，其电阻值也是固定值。

可见，在已知电路中，U、I、R第三个量可以用欧姆定律计算。电路中的电压和电流可以用简单易用的万用表测量。

欧姆定律也可以知道：

串联电路：

总电压=各用电器分压和U总=U1 U2

总电流=每个分流I总=I1=I2

总电阻大于任何分电阻

并联电路：

总电压=每个分压U总=U1=U2

总电流=各分电流之和I总=I1=I2

总电阻比任何分电阻都小

牛顿第一定律公式为：∑Fi=dv/dt=0.牛顿第二定律公式为：F合=ma。牛顿第三定律公式是F1=F2。

牛顿第一定律：所有物体在任何情况下，在没有外力的情况下保持静止或匀速直线运动。表达式为∑Fi=dv/dt=0。

牛顿第二定律：物体的加速度与物体的外力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与外力相同。F合=ma

牛顿第三定律：两个物体之间的力和反作用力，在同一条直线上，大小相等，方向相反。表达式：F1=F2，F1表示作用力，F2表示反作用力。

牛顿的三大定律也被称为牛顿运动定律，其中第一定律解释了力的含义：力是改变物体运动状态的原因；第二定律指出了力的作用：力加速物体；第三定律揭示了力的本质：力是物体之间的相互作用。

适用范围为经典力学范围，适用条件为质点、惯性参考系、宏观、低速运动问题。牛顿运动定律阐述了牛顿力学的完整体系，阐述了经典力学中的基本运动规律，广泛应用于各个领域。

货币供给的主要内容包括：货币层次的划分;货币创造过程;货币供给的决定因素等。下面，小编来为你介绍货币供给理论的主要内容及乔顿的货币供给理论的推导。

乔顿的货币供给理论的推导

根据乔顿的分析，在美国，决定货币存量的要素为货币基数、联储成员银行的准备金与存款之比、通货与活期存款之比、定期存款与活期存款之比、美国政府存款与私人活期存款之比。这些要素与货币供给之间关系具体可以表述为：

假设：

B——货币基数，基础货币

——联储成员银行的法定准备金

——联储成员银行的超额准备金

——非联储成员银行的库存现金

R——商业银行的准备金总额

——联储成员银行活期存款准备金

——联储成员银行定期存款准备金

C——公众手持通货

D——商业银行的私人活期存款

T——商业银行的私人定期存款

G——政府存款

r——各种存款的加权平均准备率

——现金比率，通货比率

——定期存款比率

——政府存款比率

则有：狭义货币M=C+D

B=C+R

(1)

(2)

式(2)就是乔顿的货币乘数模型。根据这一模型，货币乘数m是行为参数r、t和g的递减函数。这意味着，商业银行各种存款的平均准备率、定期存款比率和政府存款比率的变化将对货币乘数产生反向的影响。对于通货比率对货币乘数的影响，从式(2)难以直观做出判断。但若就货币乘数对通货比率求偏导则可以发现，在一般情况下，货币乘数m是通货比率k的递减函数，即通货比率的变动会引起货币乘数的反方向的变动。当然，各行为参数对货币乘数的决定并不是完全独立的，而是相互影响的。例如，若t比率因活期存款增加或定期存款减少而下降，平均准备金比率，一就会上升，因为活期存款的准备率高于定期存款的准备率。t比率的下降使货币乘数扩大，而r比率的上升则使货币乘数缩小。货币乘数究竟会扩大还是缩小，将取决于这两种比率的变化对货币乘数影响的相对大小。[1]

由以上分析可知，乔顿模型中的货币乘数是由多种复杂因素共同决定的，而这些因素又分别受到货币当局(主要是中央银行)、商业银行及社会公众等不同的经济主体的行为的影响。由此可见，货币当局或中央银行实际上只能对决定货币乘数的部分因素而不是全部因素具有控制能力。也就是说，除了中央银行以外，商业银行和社会公众等其他经济主体的行为也将对货币乘数，从而对货币供给产生一定的影响，甚至产生比较重要的影响。这就说明，货币供给并不是一个完全决定于货币当局的主观意志，而不受经济运行的内在规律影响的外生变量。

猜你喜欢：

货币供给理论的主要内容

货币供给的主要内容包括：货币层次的划分;货币创造过程;货币供给的决定因素等。在现代市场经济中，货币流通的范围和形式不断扩大，现金和活期存款普遍认为是货币，定期存款和某些可以随时转化为现金的信用工具(如公债、人寿保险单、信用卡)也被广泛认为具有货币性质。

一般认为，货币层次可以划分如下：

M1=现金+活期存款;

M2=M1+定期存款;

M3=M2+其他金融资产。

货币创造(供给)过程是指银行主体通过其货币经营活动而创造出货币的过程，它包括商业银行通过派生存款机制向流通供给货币的过程和中央银行通过调节基础货币量而影响货币供给的过程。

决定货币供给的因素包括中央银行增加货币发行、中央银行调节商业银行的可运用资金量、商业银行派生资金能力以及经济发展状况、企业和居民的货币需求状况等因素。

货币供给还可划分为以货币单位来表示的名义货币供给和以流通中货币所能购买的商品和服务表示的实际货币供给等两种形式。

环节

与信贷关系

中央银行供给基础货币

中央银行供给基础货币有三种途径：

变动其储备资产，在外汇市场买卖外汇或贵金属;

变动对政府的债权，进行公开市场操作，买卖政府债券

变动对商业银行的债权，对商业银行办理再贴现业务或发放再贷款

商业银行创造存款记账货币

能斯特是奥斯特瓦尔德的学生，奥斯特瓦尔德与玻尔兹曼作战，后来导致玻尔兹曼自杀。还不清楚能斯特是否在辩论中挥舞旗帜并为老师们呐喊。然而，在辩论中，他们都加深了对玻尔兹曼理论的理解。

能斯特的主要工作是热力学，他试图通过测定比热和反应热来预测化学反应过程的结果。如果反应是吸热的，吸收的热量将随着温度的降低而减少，当达到绝对零度时将变成零。能斯特假设在绝对零度时，这种减少的速率也变为零。结果，引入了能斯特定理，该定理表明如果反应发生在绝对零度的纯结晶固体之间，那么熵不变。

换句话说，“当绝对温度接近零时，冷凝系统(固体和液体)的熵(即热除以温度的商)在等温过程中趋于零。”熵的概念是玻尔兹曼的主要概念。这个句子是什么意思？

这不太容易理解，是吗？普朗克说我会解释。在奥斯特瓦尔德和玻尔兹曼的争论中，普朗克心里支持玻尔兹曼，但由于他的害羞性格，他没有支持玻尔兹曼。现在你们都在谈论玻尔兹曼的理论。有什么顾忌？

能斯特进一步发展了这句话，即“不可能把一个物体冷却到绝对温度的零度。”这是热力学第三定律。

热力学第三定律的另一个说法是“没有一个系统能通过有限的步骤将其温度降低到绝对零度”。显然，这也是说绝对零度不能达到，因为要达到绝对零度，必须经历无限的步骤，而如何达到无限的步骤当然是不可能的。

热力学第三定律似乎是对热力学第二定律的贡献。事实上，第三定律的应用领域远不止于此。

能斯特提出了第三定律，从热力学数据中寻找化学平衡常数k的值。化学反应的驱动力，即各种物质的亲和力，总是调节初始产物和最终产物之间的平衡亲和力，这不等于反应热，而是等于可逆反应中获得的最大有效功。这个量也叫做热力学势。吉布斯用△G来表示。它随温度变化。如果我们知道反应体系的焓和△H的变化，就可以计算热力学势。为了计算热力学势的绝对值，有必要知道在任何给定温度下△G和△H之间的关系。

热力学第三定律指出，当T=0时，[△h-△g/T的极限值趋向于负无穷大，这意味着不能达到绝对零度。

到这个时候，热力学三定律已经完成了，那么就没有其他热力学定律了？仍然有一些，但它们不再被称为热力学第四定律，而是热力学零定律。为什么？

307.如何推导圆的面积公式？

圆的面积公式的推导必须基于圆的面积的明确概念。因此，在教学开始时应该复习哪些方面？然后过渡到对圆形区域的理解。由于教科书中的圆的面积公式是通过切割和拼接转换成近似矩形的，因此有必要复习矩形的面积公式。为了把旧的引入新的，把旧的和新的结合起来，把新的知识带入旧知识的网络。

在教学中，当圆的面积很清楚时，可以问以下问题，让学生思考后回答。

(1)如何用字母表示圆的周长公式？(C=2πr)

(3)如何找到矩形区域？(长×宽)

然后老师展示根据教材制作的圆形教具。演示过程可以按照以下步骤进行:

(1)首先，把圆分成两个半圆。每个半圆被分成8个相等的部分。每个零件都按顺序编号(如图所示)。

(2)将三角形1分成两个相等的部分，然后将两个半圆分开，并把它们贴在磁铁黑板上(如图所示)。

(3)在磁铁黑板上，向下滑动上半圆形成一个矩形(如图所示)

在这一点上，让学生观察圆的哪一部分是这个矩形的长度和宽度，然后结合前面问题形成的板书推导出公式。

推导出公式后，学生可以提问，然后转向应用反馈练习。

当圆被分成16个相等的部分，每个部分都是一个假设的三角形时，学生可以总结出下面的公式，老师应该归纳和引导，最后通过比较统一到πr2。

(1)假想三角形的面积×16。

(三角形底部)(高)

(2)假设平行四边形的面积是×8。

(平行四边形底部)(高)

这个平行四边形由两个假想的三角形组成。

(3)使用假设的大三角形面积×4。

公式是:

(三角形底部)(高)

这个大三角形由四个假想的小三角形组成。

295.如何推导梯形面积公式？

梯形面积公式是在平行四边形面积公式的基础上导出的。在此之前，梯形的概念已经确立。因此，在教学之前，学生可以自己制作两个全等的梯形。准备练习后，拿出一块4平方厘米的测量板，通过计算平方来计算梯形面积。(梯形面积占8平方，每平方为4平方厘米，梯形面积为32平方厘米。)

然后，让学生把事先准备好的两个全等梯形放在一起，一个在另一个的前面，形成一个平行四边形。提出一些问题:平行四边形的梯形是什么？(2)如何找到平行四边形的面积？(3)如何找到梯形的面积？

如图所示:

得出梯形面积=(上底+下底)×高度÷2。

梯形也可以通过切割和拼接转换成平行四边形。

如图所示:

从上图可以清楚地推断出:

也可以通过切割和修补将梯形转换成三角形，并通过使用计算三角形面积的公式并通过比较观察来推导出计算梯形面积的公式。

根据转换后的图形观察，三角形的底部是梯形上底部和下底部之和，三角形的高度等于原梯形的高度。由此，可以导出梯形面积公式:

在此基础上，抽象出寻找梯形面积的字母公式是:

s =(a+b)×h u 2 .

此时，我们可以安排寻找特定数字的梯形面积的练习，以巩固公式的应用。

在推导计算梯形面积的第二个公式时，学生可以先在自制的梯形学习工具上找到两个腰身的中点，画出中间的线，然后切掉右下角，拼在右上角，把梯形变成平行四边形。

如图所示:

经过切割和修补后，梯形变成了面积相同的平行四边形。梯形的中线对应平行四边形的底部，梯形的高度也是平行四边形的高度。

用字母公式表示:s = m× h。

第二个公式除了平行四边形求导外，还可以转换成矩形求导。

在前面推导的基础上，这个推导过程应该基于学生自己的思考。

梯形面积公式也可以由此导出:

304.如何推导圆的周长公式？

推导圆的周长公式是小学数学教学的重要内容之一。这是因为在这部分知识中，学生不仅要知道圆的周长，还要了解周长和圆的直径之间的关系；我们还应该掌握圆的周长公式，并且能够正确计算圆的周长。在这些教学要求中，推导和掌握圆周公式无疑是教学的重点。

在新课之前，老师应该安排必要的铺垫练习，从复习长方的周长公式开始，结合问题，写出以下板书:

C=2(a+b)

在矩形周长公式的基础上，用黑板写下正方形周长:

C=4a

通过铺垫练习，教师可以让学生用准备好的正方形纸画出最大的圆，正方形对角线的交点作为圆心，然后测量圆的直径，切掉圆，定义圆的周长的概念，自然地引入新知识。

新知识的实践和讨论可以按照以下步骤安排:

(1)练习:用尺子测量圆的周长。沿着尺子滚动图表，用一条细线圈出它，然后测量它。下表列出了测量结果。

(2)提问:教师可以问如何测量圆铅笔的周长，在黑板上画一个圆，并在一端附有一个物体的情况下摆动一条细线。此时，教师还可以通过投影仪中的各个圆圈来启发学生观察圆圈的周长和直径之间的关系。

(3)总结概述:在组织学生坐在同一张桌子上或分组讨论的基础上，初步总结:圆的周长总是大于其直径的3倍。同时指出，在同一圆内，周长和直径的倍数是固定的。这个常数的倍数在数学上叫做“π”。此时，我们可以简单介绍一下祖冲之对圆周率研究的杰出贡献。

圆周率用字母圆周率表示，小学的圆周率值是2位小数，即3.14。

总结圆的周长公式:圆的周长=直径× π

抽象成字母公式:c=πd

或c=2πr

(4)反馈练习:(略)

在进行上述安排时，需要在课前做好充分的准备，如教师幻灯片和其他教具、学生的方形纸、剪刀和其他学习工具。在推导圆的周长公式之前，必须明确建立周长比的概念，这是整个教学过程中的一个难点。

tanx的导数是(secx)^2。计算tanx的导数时，可以将tanx化为sinx/cosx进行推导，其计算过程为：[sinx/cosx]=[(sinx)cosx-sinx(cosx)]/(cosx)^2=(secx)^2。

tanx求导的完整计算过程

(f/g)=(fg-gf)/g^2

[sinx/cosx]=[(sinx)cosx-sinx(cosx)]/(cosx)^2

=[cosx*cosx+sinx*sinx]/(cosx)^2

=1/(cosx)^2

=(secx)^2

导数是什么

导数是函数的局部性质，又名微商，当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f(x0)或df(x0)/dx。

近日，一篇题为《5G将是注定失败的技术》文章“刷屏”，文中观点可简单归纳为：通信技术迭代史中，奇数易失败，即1G/3G/5G失败；技术至上，技术决定成败；需求虚构，用简单的需求模型分析得出需求不足引申出5G即将失败；用香农公式说明目前的技术已经到达容量极限，所以未来5G不容乐观。

此文可以说是“新瓶装旧酒”，它之前的标题是“无线通信产业前瞻”，注意到的人很少。这次更换为如此极端的题目，赶在5G即将商用的节点前发布，可谓居心叵测。

5G注定失败？业内并不认可。

一位通信行业技术专家指出，对于技术的进步，实践胜于空谈，5G能否成功，自有后来者评说，我辈自当尽力就好。做技术标准和做业务创新的人开发的是大脑的不同区域，相互无法替代，一个追求的是严谨和缜密，一个追求的是新鲜和刺激。

通信行业资深专家项立刚更是直言，极端可以博眼球，这是当今信息传播的“铁律”。但仅以技术角度彻底否定5G未免片面。5G即将到来，所以此文最近得以在网络中“刷屏”，既在情理之中，又令人叹息。

MWC2019汇集了世界几十万专业技术人员，核心词之一是5G，我们看到的不是技术推导，不是列举通信技术的基本知识再推演一番。我们看到的是产品，是各种5G应用，是实实在在的东西。在产品面前，说技术达不到或说这些技术是没用的，有什么意义？

而前文中也未列出5G技术不能实现的研究依据。“通信建好网，应用有人上。”业界不需要通信技术人员作应用判断，而是各司其职，技术人员将网建好，会有相应的专人琢磨应用。对应用没有深刻理解，就认为不需要高带宽、低时延、大连接，进而否定相关应用，这是不被业界认可的。

5G是行业大事，不是一篇论文，需要数千亿的投入，需要数十万人挑灯夜战，需要大量产品来实现。而不是为了推荐自己的某项技术就否定一个行业的技术方向，这也是不能被行业接受的。

此外，技术圈是残酷的，技术再“忽悠”也没用，产品证明一切。在3G时代，也有技术人员否定3G，但从根本上看，其理论和技术已过时，没跟上时代。

有专家指出，近两年，对于5G确实有些宣传过渡，例如，把切片用于高可靠要求的行业还没有论证清楚，空口技术上没有理论突破也是事实，但文章仅通过调制、编码、多址、组网和多天线向我们全面展示5G技术并不比4G高明，仅通过5G和4G的频谱效率就推断5G并不比4G的技术有多先进，但是这得不出5G将是失败的结论。存储计算、传输能力一直在飞速增长，5G是工程而不是理论，5G已有很大的创新，也会有对应的系统增益和优势。4G频谱没了，容量满了，继续扩容是必然需求，也就是eMBB需求不容质疑，从带宽来看，移动互联网不缺人、不缺资本，必然会做出好东西。

直接扩容4G还是新建5G对于满足前面2个场景需求没有实质的差异，所以到现在NSA当道也是可以理解的。5G相对于4G在利用计算存储和传输能力提高网络频谱效率、匹配高频段大带宽、获取单用户体验速率方面还是有明显优势的。

总而言之，5G失败论没有确切依据，5G要用产品说话。

万能公式推导

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))

然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式推导

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα

=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)

=3sinα－4sin^3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα

=(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

=2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α))

=4cos^3(α)－3cosα

即

sin3α=3sinα－4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)－3cosα

和差化积公式推导

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

中考数学辅导：三倍角公式推导

三倍角公式推导

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα

=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα

=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)

=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))

=4cos^3(α)-3cosα

即

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα