数学概率笔记【推荐20篇】

数学故事——苦涩的故事

亨利一路破门而入，气急败坏地寻找丑角，讲述着一件棘手的事情:

“我家有个老园丁，名叫马丁。三天前，他跑到我的办公室，一边鞠躬一边傻笑，公开向我索要10万美元。他声称，在修整我父亲书房外的花园时，他发现了一份被我父亲丢弃的遗嘱，遗嘱指定我在新西兰的叔叔为他所有财产的唯一继承人。这消息对我来说犹如晴天霹雳。11月的一天，我和父亲为我的未婚妻珍妮发生了激烈的争吵。珍妮只比我大几岁，我父亲反对这桩婚姻，可能会取消我的继承权。”

”马丁声称他持有第二份遗嘱。这份遗嘱比他要求的更有价值。因为这份遗嘱的签署日期是11月30日晚上1点。它比遗嘱生效晚了几个小时，所以它将被法律承认。我立即拒绝了他的勒索，所以他缠着我讨价还价。先是50000，然后25000。医生，你觉得这个怎么样？”

“我说，你不应该在乎。”丑角说。

为什么丑角会这么说？

答案是宣布:

马丁伪造了他的勒索遗嘱。然而，不可能在11月30日晚上1: 00签署夏季高温，因为11月只有30天。

是否只有数字头脑好的人，才能理解在信息安全种常用到的技术-密码学？假如你要成为密码学家，那可能是的，密码学家的工作无非是构造极难破解的加密算法。加密方法在当今世界的用途已经非常普遍了，从保护用户的信用卡信息、保护远程用户的网络连接，到保护智力产权、防止盗版，密码学无处不在。

这篇文章的目的，就是把令人望而生畏的密码学转述成大白话，让大家都能理解这些方法是如何用来加密数据的。

- 密码学就是数学和物理学的组合；它是信息安全技术的核心，保护我们的数据安全和隐私 -

1. 密码学（Cryptology）的历史

“cryptology” 和 “cryptography” 两个词在现代的文献中常常是无差别混用的，这就把对它们实际意义的混淆延伸到了语义学中。实际上，这几个不同的词语最好这样解释：

Cryptology（密码学） —— 对保密技术的艺术性 以及/或者 密码系统科学性的研究

Cryptography（密码设计学）—— 设计密码系统来保密的实用方法

Cryptoanalysis（密码学分析）—— 致力于发现无需得知密钥或算法就能从密文中反推出明文的漏洞

译者注：正如作者所说，在现代的文献中，“cryptology” 和 “cryptography” 基本上是没有差别的了，都是 “密码学” 的意思，而且，密码学虽然脱胎于加密方法研究，但现代的密码学早已不止于研究加解密，而是延伸到了研究如何保障通信中的 “机密性”、“身份同一性” 等属性上。因此，可以说，作者这里的定义即使不算过时，也至少是窄化了密码学。不过，出于理解作者原意的需要，对下文中的相应词语，我们仍沿用此处的翻译。

本文的绝大部分篇幅是在解释 “Cryptography（密码设计学）”，也就是今时今日的密码学实践，也希望读者能意识到这几个词的含义和区别。

就其本身而言，密码学作为一种科学的研究已经存在了很多年，已知最早的一个密码设计学的例子是在一段刻于公元前 1900 年的铭文，是在埃及贵族 Khnumhotep 二世墓地的主墓室里发现的。那个雕刻者到处使用一些奇怪的符号来代替更常见的符号。不过目的似乎并不是隐藏信息，只是为了改变其形式，让它看起来更高贵一些。

在罗马帝国的鼎盛时期（公元前 100 年），Julius Caesar（凯撒大帝）也因使用加密技术向前线将军传送消息而闻名。这种字符替换型加密方法（cipher）被称为 “凯撒密码”，可能是文献中最常提到的人类曾用过的加密方法。（所谓 “cipher”，就是用来加密或者解密的算法）。所谓 “字符替换型加密方法”，就是把明文（我们想要加密的消息）中的每个字母都换成另一个字母，形成密文（即被编码过的消息）。凯撒所用的方法是把每个字母位移三位，比如，“A” 会被换成 “D”，“B” 会被换成 “E”，以此类推（都是换成该字母后面第三个字母）。相应地，最后的几个字母会被换成开头的字母，比如 “X” 会被换成 “A”。

在第二次世界大战期间，美国海军从纳瓦霍人（Navajo）中招募并训练了许多熟练使用纳瓦霍语的人。从编码消息的角度来看，这是个绝妙的办法，因为很少有纳瓦霍人以外的人学过怎么说这种语言，而且当时还没有用纳瓦霍语出版的书。但是除了词语之外，纳瓦霍人的口语并不是十分复杂（按密码设计学的标准来看），一个母语为纳瓦霍语的人再加上一个训练有素的密码学家，合作起来完全可以破解这套密码。日本人曾经有过一次机会，就是在 1942 年 “巴丹死亡行军（Bataan Death March）” 期间他们在菲律宾抓住了 Joe Kieyoomia。Joe 是美国海军的一位纳瓦霍中士，但他并不是密语播报员，只负责翻译无线电消息。只不过，因为他没有参与过密语训练，这些词语是什么意思他一点也不懂。当他说自己不能解读这些消息时，日本人就开始严刑拷打他。因此，日本陆军和海军从来没有破译过这些密语。

再到 1970 年代，IBM 发现他们的客户需要某种形式的加密手段，所以他们成立了一个密码学小组，由 Horst-Feistel 领头。他们设计出了一种加密算法叫 “Lucifer”。1973 年，美国国家标准局（现在叫做国家技术与标准局，NIST）放出话来，希望大家能提议一种够格成为国家标准的数据加密方法。他们显然已经意识到，自己买了很多并没有什么密码学基础的商业产品。Lucifer 最终被接受了，因此叫做 “DES（数据加密标准）”。1997 年以后，DES 被穷举式搜索攻击攻破。DES 的主要问题在于加密密钥的位数太小。随着计算机运算力的增加，通过暴力穷举所有可能的密钥组合来破解密文慢慢变成了一种可行的办法。

在 80 年代，大家几乎只有一个选择，就是 DES。今天的情形已经大不相同了，有一大堆更健壮、更快，设计也更好的算法可供选择。问题已经变成了你如何厘清这些选择。

1997 年，NIST 再次征求新的加密算法提案，最终收到了 50 份提案。2020 年，NIST 接受了 “Rijndael” 算法，并命名为 “AES”，高级加密标准。

2. 基本原理

所谓加密，就是一个改变数据，使之变得不可辨识、无授权者无法使用的过程；同时，它还要保证解密过程能成功把改变后的数据恢复成原始形式。安全技术一般都把加密的数学方法和用于加密的参数（叫做 “key（密钥）”）区别开来。被选定的密钥（通常是一段随机的字符串）也是加密过程的输入，对加密过程来说也是必不可少的。同一把密钥往往也是解密过程的必要输入。

这个保护过程的原理是，只要密钥（有时候也叫 “口令”，password）没有暴露、只被得到授权的人所知，那么原始数据就不会暴露给其他人。只有知道密钥的人才能解密密文。这个思路，我们叫 “私钥” 密码设计学（译者注：称作 “对称密码学” 可能更恰当一些，因为加解密过程是对称的，都使用同一把密钥），也是最广为人知的加密形式。

那么，加密之所以必要的基本理由如下：

机密性（confidentiality）—— 在传输数据的时候，不希望窃听者能够知道被广播的消息的内容。在保管数据的时候不希望未经授权的人（比如黑客）能够访问，也是同理。

身份认证（Authentication）—— 相当于签名。收信者希望能确证该信息是特定的某个人发出的，其他人不能冒充（甚至初始发信方后面想抵赖也不可能）。

完整性（Integrity）—— 这意味着收信者能够证实自己得到的数据是完完整整、没有经第三方改动过的。

不可抵赖性（Non-repudiation）—— 防止发信方抵赖自己创建过、发送过某条消息。

译者注：作者在这里提到的才算是现代密码学研究的范围。比如身份认证和不可抵赖性，都是很重要的属性，但是在实用中几乎与加解密过程无关，但对数字签名的研究毫无疑问是密码学的内容。加解密的安全性跟机密性有关，只是现代密码学的一部分。

Cipher

密码设计学是（通过加密）隐藏敏感数据的艺术和科学。它包括加密过程（就是在原始的 “原文” 上使用加密算法）和解密过程（就是在密文上使用算法，使之恢复到可读的形式）。

要解释什么是 Cipher，最好还是给你看几个简单的例子：

波利比乌斯密码

波利比乌斯密码（Polibius Cipher）也是一种字符替换型密码。在我这个示例中，我用的是一个 6×6 的二维矩阵，可以把所有的大写字母和数字 0 到 9 都包括进去。然后我们可以得出下表：

有了这个矩阵，我们就可以开始代换了。比如，字母 “A” 可以表示成 “1 × 1”，或者 “X = 1，Y = 1”，甚至再简化成 11。再举例，字幕 “N” 可以表示成 “2 × 3”，或者 “X = 2，Y = 3”，简化后就是 23。

来试试加密一条简单的信息：

消息（原文）：ENCRYPT ME 2 DAY

加密后的数据（密文）：51–23–31–63–15–43–24 13–51 55 41–11–15

纳入生僻字符后，这张表可以变得很大很复杂。而且，定期地随机改变字符的位置也会让暴力破解无从下手。这很像我们今天在高级计算型加密方法所用的多态性（polymorphism）。

凯撒密码

历史最悠久的加密算法之一就是以其创造者凯撒而闻名的凯撒密码（Caeser Cipher）。他用这套方法来保证跟罗马将军们的安全通信，这样罗马帝国的敌人们就算拿到信也没有办法读懂。凯撒密码是加密的一种初级形式，很容易被破解，所以今天已经基本不会用在任何安全用途中了。

从原理上来说，凯撒密码就是重排字母表，不同的位移值也会使得编码后的数据完全不同。位移值，顾名思义，就是通过让字母左移或者右移一定位数来生成密文的数值。（译者注：所以，在这里，大家可以把凯撒密码理解成一种根据字母表顺序的位移来加密的算法（cipher），而位移值就是那个 Key，密钥。）

这里我们用右移 3 位的做法来看一个实际的例子：

英文原文：ENCRYPT ME

密文：HQFUBSW PH （解密时候要相应左移 3 位才能解密）

上面这条消息可以通过尝试所有可能的位移值来暴力破解：不断尝试新的位移值，直到解出来的原文看起来像样子。更加复杂的密码比如 Vigenere 密码和 Gronsfeld 密码也是用同样的原理设计出来的。但是解密起来就很麻烦，因此每个字母都代表一个位移值。

维吉尼亚密码表

在理解密码设计学之前，我们先要了解加密算法的工作原理，因为它们是所有加密过程的基础。速记是一种记录隐藏信息的方法，实际上可以归为古典密码设计学一类，因为现代密码设计学已经成了 “计算机安全” 的代名词。

多态性

多态性是密码设计学中较为高级的部分，在计算机加密技术中最为常见。多态性指的是，一种加密方法在每次使用时都会产生不同的结果，而且在每次使用过后都会发生改变。多态性常见于计算机加密算法。也就是说，如果我们将相同的数据加密两次，每次都会得到一个不同的加密结果。

我们用汽车钥匙来打个比方。现在，我们只需要在一个小巧的电子遥控设备上轻轻一按，就可以解锁汽车了。当你解锁车门时，你或许从来没思考过其中的原理 —— 你按下按钮的那一刻，会有一段特定的数据发送到你的车上，一旦匹配成功，车门就解锁了。要实现这点，最简单的方法是为每个遥控设备设定不同的频率。但是，这样管理起来会很麻烦。因此，所有遥控设备都采用了同样的波长，但是使用不同的算法（滚动码）来生成发送给汽车的数据。这些就是多态性算法。

由于这些算法每次使用过后都会发生改变，很难对其进行逆向工程。即使有黑客破解了算法（首先，破解多态性算法本身难度就很大），他还得找到与该算法匹配的汽车/钥匙（这又是一项复杂的任务）。

3. 常用算法

现如今，常用的加密算法不外乎私钥加密方法和公钥加密方法。私钥加密方法可以用来保护关键/敏感数据。密钥密文只需一把钥匙（由通信双方共享）破解，因此被称为对称性密码设计学。

1949 年，贝尔实验室的 Claude Shannon 公布了私钥加密方法的基本理论。数十年来的演化已经孕育出了很多高质量的私钥加密算法。然而，直到 1975 年，一个名为 DES 的强大私钥加密方法才得到了广泛使用。

公钥/非对称性密码设计学诞生于 20 世纪 70 年代中期。公钥加密方法需要用到一对密钥，分别是对外公开的公钥和相对应的由个人持有的私钥。例如，接收方可以创建一对密钥，并将公钥分享给任何想要向 ta 发送密文的人。发送方可以使用公钥加密发送给接收方的信件，接收方可以用私钥来解密。

加密算法的强大程度取决于三个主要因素：

基础设施 —— 如果相关密码设计主要由软件实现，那么底层基础将是最薄弱的环节。如果你总是会加密某些信息，那么对黑客来说，最好的做法是黑进你的电脑，在信息被加密前将其偷到手。相比破解密钥来说，入侵系统或者使用病毒感染系统要容易得多。很多情况下，破解密钥最简单的方法是窃听用户，并在密钥被传入加密程序时进行拦截。

密钥长度—— 在密码设计学中，密钥长度很重要。如果攻击者无法安装按键监视器（keystroke monitor），那么破解密文的最佳方法就是通过不断的试错来暴力破解。实用的加密算法必须将密钥长度设定得足够长，来杜绝暴力破解的可能性。但是，随着电脑运算速度一年比一年快，密钥长度的安全阈值也需要一直提高。专家们承认，小于等于 64 位的密钥，包括 DES 密钥在内，都很容易被暴力破解。在 1999 年，电子前线基金会（Electronic Frontier Foundation）资助开发了一种叫做 “Deep Crack” 的设备，可以在三天以内破解一个 DES 加密密钥。所以现在加密算法的密钥长度一般都在 100 位以上，少数算法支持 256 位的密钥。

算法质量 —— 算法质量本身是很难评价的，基于一个现有算法去构造一个看似可行的算法是很容易的，但只有经验老道的专家仔细检查才能发现其中的微妙漏洞。算法中的漏洞会产生 “捷径”，让攻击者可以在暴力搜索攻击时候跳过大批密钥。举个例子，流行的压缩程序 PKZIP 以前继承了一个定制的的加密功能，使用 64 位的密钥。理论上来说，应该要 264 尝试才能试完所有的密钥。但实际上，有捷径可走，所以攻击 PKZIP 加密算法只需 227 次尝试就能破解密文。发现这样漏洞的唯一办法就是尝试破解算法，一般来说就是使用对付其它算法的技巧。只有在经过这样的分析和攻击之后，算法的质量才会展现出来，所以，还没有找出这样的漏洞，并不代表这个算法永远不被发现有漏洞。

算法的类型

DES —— DES 已经经受住了时间的考验，多来年出版的研究都证明了其质量。经过四分之一世纪的研究之后，研究员也只能找出一些猜测式的攻击方法，而且实用性还不如暴力破解。DES 算法的唯一真实弱点就是它过短的密钥长度（56 位）。

三重 DES —— 使用 112 位或者 168 位的密钥连续三次使用 DES 算法。最终这个算法会比其它有类似强度的算法慢得多，而且，因为计算机还是强大到了能破解这个算法，这一方法已经过时了。

AES —— 高级加密标准（AES）支持三种密钥大小，128 位的、192 位的和 256 位的，而数据则按 128 位为一个组。现在 AES 被当成标准，全世界都在使用。

Rijndael 密码表

DES 是明确设计为内置在硬件中的，从没考虑过怎么让它在软件层面实现。后来，NIST 评估了执行效率和存储需求，保证 AES 能在 C 语言和 Java 语言中工作，既能在工作站中运行，也能在资源更有限的环境比如嵌入式 ARM 处理器和智能卡中运行。

虽然荷兰研究院 Vincent Rijman 和 Joan Daemen 发明的 Rijndael 算法赢得了 NIST 精算，但所有进入 AES 决赛的算法相对比 DES 和 DES 的替代品都显现出了巨大的进步。所有这些算法都是分组加密（block cipher）算法并且支持 128 位乃至更大的密钥；没有一种算法有严重的漏洞；最终选择其实是密码设计强度和性能的权衡。

AES 基于一种叫做 “置换-排列” 的设计原理，在计算中既有置换，又有排列，无论在软件层还是硬件层，计算起来都很快。不像其前辈 DES，AES 不使用费斯托密码（Feistel）原理，AES 是 Rijndael 密码的一种变种，使用固定的 128 位大小作为输入，而且支持 128 位、192 位 和 256 位的临界维数（critical dimension）。相反，Rijndael 设计规范仅指定了输入组和密钥的大小都是 32 的倍数，最小是 128 位，最大是 256 位。

AES 在一个 4×4 的字节矩阵上操作，这些举证叫做 “状态”。但是 Rijndael 算法的某些版本的输入组更大，因此矩阵更大。大部分 AES 计算都是在一个特定的有限域内完成的。

AES 算法所用的密钥大小会相应决定转换操作的重复轮数。对应关系如下：

128 位密钥对应 10 轮重复

192 位密钥对应 12 轮重复

256 位密钥对应 14 轮重复

每一轮都包含几个处理步骤，而每个步骤都包含 4 个相似但不同的阶段，其中包括取决于加密密钥本身的一个阶段。在解密的时候，需要用同一把密钥来反向重复操作、将密文恢复成原文。

量子密码学

上面这个图示说明了量子密钥分发方案（BB84 协议），它实现了一种包含量子力学的密码学协议，能够保证安全通信。它让通信双方可以生成一个共享的随机密钥（是个对称密钥），这个密钥只有他们双方才知道，因此可以用于加解密消息。量子力学是一组描述组成宇宙的光子、电子和其它粒子运动规律的科学定律。

业界一直在尽最大努力寻找能够抵抗黑客攻击的最高安全手段，而新一代的密码设计学已经从数学转向物理学。量子力学科学家已经进入密码学的世界了，这些科学家希望利用量子力学的原理来发送无法被黑的消息。这就是 “量子密码学” 的大概，它是在过去这几十年里才成长起来的。

量子密码学将自己的根扎在量子物理学中。组成我们这个宇宙的基本粒子具有内在的不确定性，可能同时存在于此处或彼处，也可以有不止一种状态。只有在撞上一个物体或者被测量时，它们才会显现出运动现象。

密码设计学是信息安全的一个迷人领域，也是最复杂的学科之一。不过，我们从简单的凯撒密码和波利比乌斯密码介绍到多轮加密的 DES 和 AES 算法，相信读者会觉得理解起密码算法的概念来不那么复杂了。

对于密码学这门科学，我们已了解其历史、从最简单到最复杂的加密算法的基本概念。

为帮助广大考生在公共基础知识考得高分，对相关法律的重要考试内容进行筛选，总结成笔记。以下是由小编整理关于公共基础知识法律笔记的内容，提供给大家参考和了解，希望大家喜欢!

公共基础知识法律笔记

【重点法条】

第一条中华人民共和国是工人阶级领导的、以工农联盟为基础的人民民主专政的社会主义国家。

社会主义制度是中华人民共和国的根本制度。禁止任何组织或者个人破坏社会主义制度。

第二条中华人民共和国的一切权力属于人民。

人民行使国家权力的机关是全国人民代表大会和地方各级人民代表大会。

人民依照法律规定，通过各种途径和形式，管理国家事务，管理经济和文化事业，管理社会事务。

第三条中华人民共和国的国家机构实行民主集中制的原则。

全国人民代表大会和地方各级人民代表大会都由民主选举产生，对人民负责，受人民监督。

国家行政机关、审判机关、检察机关都由人民代表大会产生，对它负责，受它监督。

中央和地方的国家机构职权的划分，遵循在中央的统一领导下，充分发挥地方的主动性、积极性的 原则。

【意思分解】

1 宪法以法律的形式确认了中国各族人民奋斗的成果，规定了国家的根本制度和根本任务，是国家的根本法，具有最高的法律效力。这是《宪法》序言所指出的。

2 第1条规定了我国国体：人民民主专政制度。人民民主专政制度的阶级结构是：

(1)工人阶级为领导阶级;

(2)以工农联盟为阶级基础，以知识分子为依靠力量之一;

(3)以广泛的爱国统一战线为政治联盟，爱国战线的组织形式是中国人民政治协商会议。

3 第2、3条规定了我国的政体(政权组织形式)：人民代表大会制度。

人民代表大会制度的构成：

(1)民主选举人民代表组成各级人民代表大会;

(2)以人民代表大会为基础，组成全部国家机构;

(3)统一协调全部国家机构，共同行使国家权力;

(4)贯彻一切权力属于人民的政治原则，实现人民当家作主的权利。

4 我国国家机构的组织原则：民主集中制。

【不要混淆】

政体、国体、根本制度、组织原则内容各不相同，需要注意。

【重点法条】

第六条中华人民共和国的社会主义经济制度的基础是生产资料的社会主义公有制，即全民所有制和劳动群众集体所有制。社会主义公有制消灭人剥削人的制度，实行各尽所能，按劳分配的原则。

国家在社会主义初级阶段，坚持公有制为主体、多种所有制经济共同发展的基本经济制度，坚持按劳分配为主体、多种分配方式并存的分配制度。

第七条国有经济，即社会主义全民所有制经济，是国民经济中的主导力量。国家保障国有经济的巩固和发展。

第八条农村集体经济组织实行家庭承包经营为基础、统分结合的双层经营体制。农村中的生产、供销、信用、消费等各种形式的合作经济，是社会主义劳动群众集体所有制经济。

参加农村集体经济组织的劳动者，有权在法律规定的范围内经营自留地、自留山、家庭副业和饲养自留畜。

城镇中的手工业、工业、建筑业、运输业、商业、服务业等行业的各种形式的合作经济，都是社会主义劳动群众集体所有制经济。

国家保护城乡集体经济组织的合法的权利和利益，鼓励、指导和帮助集体经济的发展。

第十一条在法律规定范围内的个体经济、私营经济等非公有制经济，是社会主义市场经济的重要组成部分。

国家保护个体经济、私营经济的合法的权利和利益。国家对个体经济、私营经济实行引导、监督和管理。

【意思分解】

以上4个条文规定了我国基本的经济制度和分配制度，十分重要。又加之这4个条文都先后经过了宪法修正案的修正，故成为考试的重点。

1 第6条有以下几层意思：

(1)我国基本经济 以公有制为主体，多种所有制经济共同发展。

(2)分配制度：社会主义实行各尽所能，按劳分配，这是社会主义社会的一项基本原则。但在现阶段(社会主义初级阶段)，我国坚持按劳分配为主体、多种分配方式并存的分配制度。这里应区分作为社会主义基本原则的分配制度同我国社会主义初级阶段实行的分配制度的差异。

2 对于第7条，考生应注意：

(1)国有经济与全民所有制经济是同义语。

(2)国有经济的地位：是国民经济的主导力量。

3 了解第8条第1、2款的规定，重点掌握第3款：国家对集体经济的政策是“鼓励、指导和帮助”。

4 重点掌握第11条：

(1)个体经济、私营经济的地位是社会主义市场经济的重要组成部分。

(2)国家对个体经济、私营经济基础的政策是：“引导、监督和管理”。

【不要混淆】

1 作为社会主义社会基本原则的分配制度与我国在社会主义初级阶段分配制度的区别。

2 国家对集体经济和对私营、个体经济政策的区别。它们各为6个字，但是不同的6个字：前者是鼓励、指导和帮助;后者是引导、监督和管理。

【重点法条】

第九条第一款矿藏、水流、森林、山岭、草原、荒地、滩涂等自然资源，都属于国家所有，即全民所有;由法律规定属于集体所有的森林和山岭、草原、荒地、滩涂除外。

第十条城市的土地属于国家所有。

农村和城市郊区的土地，除由法律规定属于国家所有的以外，属于集体所有;宅基地和自留地、自留山，也属于集体所有。

国家为了公共利益的需要，可以依照法律规定对土地实行征用。

任何组织或者个人不得侵占、买卖或者以其他形式非法转让土地。土地的使用权可以依照法律的规定转让。

一切使用土地的组织和个人必须合理地利用土地。

【意思分解】

以上两个条文关于自然资源所有权、使用权的基本规定，应注意：

1 森林、山岭、草原、荒地、滩涂既可以属于公民所有，也可以属于集体所有，但矿藏、水流只能属于国家所有，即全民所有(第9条第1款)。

2 关于第10条规定的土地所有权、使用权制度，读者可参见《土地管理法》第2条的“意思分解”。

【不要混淆】

1 再次提醒读者注意第9条第1款中几类自然资源所有权人的差别。

2 《水法》第3条第2款规定，农业集体经济组织所有的水塘、水库中的水属于集体所有。

【重点法条】

第二十四条国家通过普及理想教育、道德教育、文化教育、纪律和法制教育，通过在城乡不同范围的群众中制定和执行各种守则、公约，加强社会主义精神文明的建议。

国家提倡爱祖国、爱人民、爱劳动、爱科学、爱社会主义的公德，在人民中进行爱国主义、集体主义和国际主义、共产主义的教育，进行辩证唯物主义和历史唯物主义的教育，反对资本主义的、封建主义的和其他的腐朽思想。

【意思分解】

我国社会主义精神文明建设分为两个方面：

1 教育科学、文化建设

(1)发展社会主义教育事业(第19条)。

(2)发展科学事业(第20条)。

(3)发展卫生和体育事业(第21条)。

(4)发展文学艺术和其他文化事业(第22条)。

2 思想道德建设的内容

(1)普及理想道德、文化和法纪教育，培养“四有”公民(第24条第1款)。

(2)提倡“五爱”教育，树立和发扬社会公德(第2款)。

(3)进行马克思主义教育，反对腐朽思想(第2款)。

【不要混淆】

考试考查以上诸条内容的角度往往是让考生判断某一项内容是属于精神文明建设中的教育科学、文化建设内容，还是属于思想道德建设的内容。因而，这里的难点即在于分清楚精神文明建设两大项内容各包含了哪几个子项内容。

【重点法条】

第三十条中华人民共和国的行政区域划分如下：

(一)全国分为省、自治区、直辖市;

(二)省、自治区分为自治州、县、自治县、市;

(三)县、自治县分为乡、民族乡、镇。

直辖市和较大的市分为区、县。自治州分为县、自治县、市。

自治区、自治州、自治县都是民族自治地方。

第三十一条国家在必要时得设立特别行政区。在特别行政区内实行的制度按照具体情况由全国人民代表大会以法律规定。

【意思分解】

1 第30条关于行政区划的规定，应注意：

(1)我国的行政区划并存着三级制与四级制。

(2)民族自治地方不包括民族乡。

(3)《宪法》第112条所规定的自治机关的范围应与本条联系记忆。

2 《宪法》第31条是我国建立特别行政区的法律依据，对此，读者务必铭记在心。注意只有全国人大有权决定特别行政区的设立及其制度。

看过“公共基础知识法律笔记“

1.有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算。

2.进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化。

3.有理数混合运算的四种运算技巧：

①转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算；

②凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解；

③分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算；

④巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便。

等腰直角三角形面积公式

=(1/2)*底*高

s=(1/2)*a*b*sinC(C为a，b的夹角)

底*高/2

底X高除2二分之一的（两边的长度X夹角的正弦）

s=1/2的周长*内切圆半径

s=(1/2)*底*高

s=(1/2)*a*b*sinC

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

大角对大边

周长c=三边之和a+b+c

面积

s=1/2ah(底*高/2)

s=1/2absinC(两边与夹角正弦乘积的一半)

s=1/2acsinB

s=1/2bcsinA

s=根号下：p(p-a)(p-b)(p-c)其中p=1/2(a+b+c)

这个公式叫海伦公式

正弦定理：

sinA/a=sinB/b=sinc/C

余弦定理：

a^2=b^2+c^2-2bccosA

b^2=a^2+c^2-2accosB

c^2=a^2+b^2-2abcosA

三角形2条边向加大于第三边.

三角形面积=底*高/2

三角形内角和=180度

求面积吗(上底+下底)×高÷2

三角形面积=底*高/2

三角形面积公式：

底*高/2

三角形的内角和是180度

1、定义：

平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

2、各个象限内点的特征：

第一象限：（+，+），点P（x，y），则x>0，y>0；

第二象限：（-，+），点P（x，y），则x0;

第三象限：（-，-），点P（x，y），则x

第四象限：（+，-），点P（x，y），则x>0，y

3、坐标轴上点的坐标特征：

x轴上的点，纵坐标为零；

y轴上的点，横坐标为零；

原点的坐标为（0，0）。

两坐标轴的点不属于任何象限。

4、点的对称特征：

已知点P（m,n）,

关于x轴的对称点坐标是（m，-n），横坐标相同，纵坐标相反;

关于y轴的对称点坐标是（-m,n），纵坐标相同，横坐标相反;

关于原点的对称点坐标是（-m,-n），横、纵坐标都相反。

5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：

平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；

平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。

6、各象限角平分线上的点的坐标特征：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

点的坐标

点的坐标是在平面直角坐标系中确定点的位置的主要表示方法，是今后研究函数的基础。在平面直角坐标系中，要想表示一个点的具体位置，就要用它的坐标来表示，要想写出一个点的坐标，应过这个点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a，垂足N在y轴上的坐标是b，我们说点A的横坐标是a，纵坐标是b，那么有序数对（a,b）叫做点A的坐标，记作:A(a,b)，用(a，b)来表示，需要注意的是必须把横坐标写在纵坐标前面，所以这是一对有序数。

注：①写点的坐标时，横坐标写在前面，纵坐标写在后面。横、纵坐标的位置不能颠倒。

②由点的坐标的意义可知：点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离。

第二天，天刚亮，唐僧师徒们就告别了寺庙主人，出发了。山林中的早晨格外美丽，森林中的鸟儿快乐地歌唱，薄雾笼罩的森林反射着天空中的阳光，宛如仙境。

空气中飘着野花的味道，令人心旷神怡。然而，猪却没有心情欣赏这美丽的风景。由于他吃得太多，感到口渴，碰巧一路上没有山泉。中午，猪八戒找到一家卖苏打水的小店，叫嚷着要苏打水。唐僧见路上没有山泉，天气又热。他说，“我们每人喝两瓶苏打水。”八戒不高兴地说，“我的老猪肚子很大。我得喝三瓶。”

唐僧对八戒道:“八戒，你再喝一瓶，问商店卖得如何？”八戒小跑过去，问店主，告诉师父:“一瓶汽水五十美分。三个空瓶可以换成一瓶苏打水。”唐僧听了，叫沙僧给八戒三块钱。八戒接过钱，自言自语道:“三块钱只能买六瓶汽水，每瓶五毛钱。他们每人喝两瓶。那我就没有给我的老猪吃的了。”

于是他对唐僧说:“师傅，你们每人喝两瓶，我喝三瓶，一共九瓶。4.5元不会给你足够的钱。”唐僧笑着说:“沙僧给你的钱是对的！”悟空对师父说:“师父，让我给这呆子解释一下。”悟空把八戒拉到一边，对八戒道:“师父，这是三元。我能买六瓶汽水吗？”八戒委屈地说:“是的，六瓶，你们每人两瓶，我没有。”悟空笑着说，“你不是有六个空瓶子吗？如果你每三个空瓶换一瓶汽水，你就不能喝两瓶吗？还有两个空瓶子。”八戒说，“但主人答应给我三瓶。

两个空瓶子不够一瓶汽水。悟空补充道:“你这个白痴，你不会从店里借一个空瓶，所以你可以用三个空瓶换另一瓶汽水。”。当你喝完苏打水，你可以把空瓶子还给商店。八戒恍然大悟，“原来如此！早点告诉我。”因为我可以多喝一瓶苏打水，这个差事被愉快地同意了。

学习目标

1．掌握有理数的减法法则．

2．熟练地进行有理数的减法运算．

3．了解加与减两种运算的对立统一关系，掌握数学学习中转化的思想.

知识重点

有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的________，即a－b＝a＋(－b)．

精典范例

知识点一 有理数减法法则

例1 下列运算正确的是( )

A．(－3)－(＋5)＝(＋5)－(－3)＝＋2

B．(＋3)－(－5)＝(＋3)＋(＋5)＝＋8

C．(－3)－(－5)＝(－3)＋(＋5)＝－2

D．(－3)－(＋5)＝(－3)＋(－5)＝－2

例2 (1)(教材P23练习第1题节选)计算：

①(＋4)－(－7)；②(－5)－(－8)；③0－(－5).

(2)(教材P25习题1.3第4题节选)计算：

①2(1)－3(1)；②(－2)－3(2)；

③4(3)－4(1)－2(1).

知识点二 有理数减法法则的实际应用

例3 某矿井下A，B，C三处的海拔分别为－32.5米，－120.7米，－63.8米.

(1)B处比C处高多少米？

(2)A处比C处高多少米？

变式练习

变式1 计算：

(1)0－2＝0＋________＝________；

(2)7－9＝7＋________＝________；

(3)3－(－3)＝3＋________＝________；

(4)－7－9＝－7＋________＝________．

变式2 (1)(2019·台湾)算式－3(5)－(－6(1))之值为何？( )

A．－2(3)B．－3(4)

C．－6(11)D．－9(4)

(2)(2018·山东淄博)计算2(1)－2(1)的结果是( )

A．0B．1

C．－1D．4(1)

(3)计算：－5－(－3)－(－4)－[－(－2)]．

变式3 某同学在计算时－38(7)－N，误将－N看成了＋N，从而算得结果是54(3)，请你帮助算出正确结果.

巩固练习

1．(2019·河池)计算3－4，结果是( )

A．－1B．－7

C．1D．7

2．(2019·遵义)遵义市2019年6月1日的最高气温是25℃，最低气温是15℃，遵义市这一天的最高气温比最低气温高( )

A．25℃B．15℃

C．10℃D．－10℃

3．下列说法正确的是( )

A．0减去一个数，仍得这个数

B．负数减去负数，结果是负数

C．正数减去负数，结果是正数

D．被减数一定大于差

4．有下列计算：①(－4)－|－4|＝0；②4(1)－2(1)＝－2(1)；③0－(＋5)＝－5；④(－5)－(－4)＝－1.其中正确的有( )

A．1个B．2个

C．3个D．4个

5．(2019·玉林)计算：(－6)－(＋4)＝________．

6．(2018·四川南充)某地某天的最高气温是6℃，最低气温是－4℃，则该地当天的温差为________℃.

7．计算：

(1)(－61)－(－71)－|－8|－(－2)；

(2)(－20)－(＋3)－(－5)－(＋7)；

(3)0－(＋3)－(－5)－(－7)－(－3)；

(4)(＋20)－(－10)－(－12)－(＋5)－(＋26)．

8．下列结论错误的是( )

A．若a＞0，b＜0，则a－b＞0

B．a＜b，b＞0，则a－b＜0

C．若a＜0，b＜0，则a－(－b)＜0

D．若a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，则a－b＞0

9．有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图，则计算|a－b|的结果为( )

A．a＋bB．a－b

C．b－aD．－a－b

10．若数轴上A，B两点表示的有理数分别是－62(1)和74(3)，则A，B两点之间的距离为________．

11．已知a，b互为相反数，且|a－b|＝6，求b－1的值．

12．已知|m|＝37，|n|＝31，且|m＋n|＝－(m＋n)，求m－n的值．

1、首先用喜欢的颜色写出主题文字 ，加粗描边并添加一个文字框，在主题文字下方画一个方形文字框，描出内边框，在下方再画一个云朵形文字框。

2、右下角画一个小女孩正趴在书本上，在书本上方继续画一个方形文字框，文字上方画三个气球，并写数字1/2/3。

3、接着在左边画出在碗里的数学题目5-3=几然后在下方文字框添加几朵小花，左右下角添加两个小植物点缀。

4、接下来开始给小装饰图案上色啦。碗，数字，气球都用喜欢的颜色填充，再给小女孩穿上好看的衣服，然后给文字边框和花朵上色，可以按照自己的喜好给边框做装饰，最后画上写作线，手抄报就完成啦。

在日常的生活中，大家难免有需要贷款的时候，因为现在有了网络贷款平台，所以很多人会选择比较容易申请的网贷平台，来解决小额贷款需求。不过，有人在从信用飞借钱的时候，发现信用飞今日额度已抢光。出现这样的情况，是怎么回事呢？大家应该怎么应对？今天，就为大家说一说这个问题。【】

从目前网友反映的情况来看，信用飞采用了抢额度的方式来控制了放款金额。如果大家申请的时间较晚，那么就会抢不到额度。据了解，每天10点钟是从信用飞获得贷款额度的好时机。因此，一旦大家收到了“信用飞今日额度已抢光”的提示，就只能等到第二天去尝试了。

为了大家能够更加顺利的获得贷款，建议大家这样去做：

2、在申请信用飞贷款之前，将信用飞手机APP升级到最新版本，并将自己的个人账户补充完整，且保证所有信息真实完整。

3、尽量选择在每天的10点钟去抢额度，且在抢额度之前要检查自己的网络稳定性和手机性能。

4、在看到“信用飞今日额度已抢光”的提示以后，先不要放弃，可以再刷新屏幕尝试几次。

以上，就是信用飞今日额度已抢光的原因和应对方式，希望能对大家有所帮助。

数学故事——打赌成功

普瑞是一个聪明的POPO人，他喜欢玩游戏。一天，当他正在参加一个重要的课程考试时，PREEY说了一些疯狂的话，说他想作弊，老师抓不到他。老师听了这些流言，跟他打了个赌，说如果他能逃过学校所谓的第一抓猫专家校长的眼睛，如果他成功了，他会被邀请去酒店吃海鲜。

考试后，PREEY得意洋洋地来到老师面前，说他赢了。老师问校长那天PREEY的情况。校长提供了几条线索:

preey按铃进入考场

preey的书包被从座位上扔到了讲台上。

3: preey的嘴总是发出咀嚼的声音。

4:普瑞总是摇头

5: preey不停地喝水，把所有的水都装在一个2000毫升的热水瓶里。

6.看过他的草稿后，没有明显的证据。

我经常低头，但是我没有任何工具。

8:经常玩笔筒

三、自我检测

1、一个班的学生中，14岁的有16人，15岁的有14人，16岁的有8人，17岁的有4人。这个班学生的平均年龄是______岁。

2、布袋里有1个白球和2个红球，从布袋里取两次球，每次取一个，取出后放回，则两次取出都是红球的概率是。

3、如果数据x1,x2,x3,…xn的的平均数是x，则(x1-x)+(x2-x)+…+(xn-x)的值等于。

4、抛掷两枚分别标有1，2，3，4的四面体骰子.

写出这个实验中的一个可能事件是______________________________；

写出这个实验中的一个必然事件是________________________________;

二、统计概率的本质

（二）概率

概率研究的是随机现象。随机现象实际就是在相同条件下，可以做大量地重复实验，其结果不确定，但是在大量实验中呈现出一种规律性，我想这三点是随机现象的根本特点。所以不用去给概率下定义，概率的定义也不在我们讨论的范围，但是有几个要界定清楚的问题，比如说结果是在实验之前无法确定的，一些老师如果把握不好，就会把一些在实验之前结果就完全确定的现象当做随机现象来处理。例如，火星上有没有生命，这是完全确定的，要么就有，要么就没有，只是我们不知道，这是未知现象，必须跟随机现象区分开来。

4、如图，一束光线照在坡度为的斜坡上，被斜坡上的平面镜

反射成与地面平行的光线，则这束与坡面的夹角是度.

5、平行四边形的边长分别为和，一个内角为120°，它的两条高线的长分别是（）、（）.

6、一个斜坡的坡度，则坡角α的正弦值为.

7、某同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m，则旗杆高度约为_______.（取，结果精确到0.1m）

8、在ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=6.则BC的长为（）(结果保留根号)

数学猜想的一系列故事——费马大定理

1993年6月24日，被公认为世界领先的报纸《纽约时报》发表了一篇关于数学问题解决方案的新闻。新闻的标题是“在旧的数学困境中，有人最终称之为“我找到了”。《泰晤士报》第一版的开篇文章还包括一张男子的照片，他留着长发，穿着中世纪的欧洲长袍。这个古代人是法国数学家皮埃尔·雷德费马(请参考他的传记附录)。费马是17世纪最杰出的数学家之一。他在数学的许多领域都做出了巨大贡献，因为他的职业是专业律师。为了表彰他的数学造诣，世界称他为“业余王子”。360多年前的一天，费马正在读一本古希腊数学家丢番图的数学书，突然他在空白处突发奇想。写下一个看似简单的定理。这个定理的内容是关于方程x2+y2=z2的正整数解。当n=2时，这就是著名的毕达哥拉斯定理(在古代中国也称为毕达哥拉斯定理):x2+y2=z2，其中z代表一个直角的斜边，x和y是它的两个分支，也就是说，直角三角形斜边的平方等于它的两个分支的平方和。当然，这个方程有整数解(事实上有很多)，例如:x=3，y=4，z = 5；x=6、y=8、z = 10X=5，y=12，z = 13...等等。

费马声称，当n>2时，不能找到满足xn+yn=zn的整数解，例如，不能找到方程x3+y3=z3。

当时费马没有解释原因。他只留下了这句话，还说他找到了证明这个定理的好方法，但是纸上的空白处不足以写下来。发起者费马也留下了一个永恒的问题。300多年来，无数数学家徒劳地试图解决这个问题。这个费马大定理，被称为世纪难题，已经成为数学领域的一个主要忧虑，并渴望迅速解决它。

在19世纪，法国的弗朗西斯学院向在1815年和1860年两次解决这个问题的人提供了金牌和300法郎。不幸的是，没有人能够得到奖励。德国数学家伏尔斯克尔？沃尔夫斯克在1908年向那些能够证明费马最终定理是正确的人提供了10万马克，有效期为100年。在此期间，由于大萧条，该奖项已经贬值到7500马克，尽管它仍然吸引了许多“数学极客”

20世纪计算机发展之后，当n非常大时，许多数学家可以证明这个定理是正确的。1983年，计算机专家斯洛文尼亚斯基在计算机运行5782秒的帮助下证明了当n为286243-1时费马定理是正确的(注286243-1是一个天文数字，约为25960位数字)。

然而，数学家们还没有找到普遍的证据。然而，这个有300年历史的未解数学题最终被英国数学家安德鲁·威尔斯解决了。事实上，威利斯用20世纪过去30年中抽象数学发展的结果来证明这一点。

20世纪50年代，日本数学家谷山宇一郎首先提出了一个关于椭圆曲线的猜想，后来又由另一位数学家Chimura提出。当时，没有人认为这个猜想与费马定理有关。在20世纪80年代，德国数学家弗雷将谷山育德的猜想与费马定理联系起来，威利斯所做的是根据这种联系证明谷山育德猜想的一种形式是正确的，然后推导出费马的最终定理是正确的。1993年6月21日，威利斯在剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会上正式发布了这个结论。这份报告立即震惊了整个数学界，甚至数学门外的公众也发出了无限的关注。然而，威利斯的证书立即被检查出了一些小缺陷，所以威利斯和他的学生又花了14个月修改它。1994年9月19日，他们终于交出了他们完美无瑕的答案，数学的噩梦终于结束了。1997年6月，威利斯在德国哥廷根大学获得福尔斯克奖。100，000福尔克约为200万美元，但威利斯收到时仅值约50，000美元。然而，威利斯已经被列入历史，永远不会死。

证明费马大定理是正确的

(即xn+yn=zn对n33没有正整数解)

只需要证明x4+y4=z4和xp+yp=zp(P是奇数素数)，没有整数解。

一天，曼迪对小惠说，“我们写五个五位数，你写三个，我写两个。当你写完第二个五位数时，我已经知道这五位数的总和了。”

肖辉起初不相信，但在她完成比赛后，她真的很钦佩肖敏。

游戏方法如下:

1.肖辉随机写了两个五位数。

例如，23754...①

70489……②

2.肖敏看到了，在她的笔记本上写下了五个数字的总和，270487。然后，他引用了第三个五位数:

76245……③

3.肖辉随意写下第四个五位数。

例如，64031...④

4.曼迪写下了第五个五位数。

35968……

令人惊讶的是，这五个数字的总和与肖敏在他的笔记本上写的270487完全一样。

小朋友，你能从中看出其中的奥秘吗？

查找提示:

肖敏的诀窍是在小惠第二次写的数字70489上加2，在最后一个数字9上减2，得到270487。肖敏写的第三个五位数和第一个数字之和必须是99999，1小于100000。肖敏写的第五个数字和第四个数字之和也必须是99999，1小于100000。

第275页回答:

第276页回答:至少需要七个小纸圈。

解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：用配方法解一元二次方程x2+px+q=0，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

(1)在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数;

(2)把原方程变为(x+m)2=n的形式。

(3)若n≥0，用直接开平方法求出x的值，若n

用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为ax2+bx+c=0(a≠0，a≠1)时，用配方法解一元二次方程的步骤：

(1)先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数;

(2)移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为(x+m)2=n的形式;

(3)若n≥0，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

直线和圆位置关系

①直线和圆无公共点，称相离。AB与圆O相离，d>r。

②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d

③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。(d为圆心到直线的距离)

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程

如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴(或垂直于x轴)，将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1

当x=-C/Ax2时，直线与圆相离;

当x=-C/Ax2时，直线与圆相离;

不管是点和圆位置关系又或是直线和圆位置关系，都需要我们灵活运用于实际。

【摘要】中考进入复习阶段，本网为同学们准备了一些历年各地的中考试题，欢迎大家参考练习，下面是中考数学圆专题复习辅助大家完成中考前的复习，在考试中取的好成绩!

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的识别方法有三种：

(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

(2)和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

人群挤进一个满是灰尘的探险家，问道:“你好，和尚，我是一个探险家。明天我将准备穿越80公里宽的沙漠。我一天能走20公里，但我一次只能带够三天的食物和水。如果食物和水太多，我就不能带回去。我应该怎么做才能避免在沙漠中渴死？”

这时，所有的旁观者都说，“你只需要在沙漠里建一个食物和水的转运站！”探险家:“但是在哪里建造这个中转站最好？”猪听了所有人的话后说:“在哪里建中转站是个难题。让我考虑一下。”猪拿起一根树枝，在地上画了一张路线图。

八戒:“我知道了！沙漠有80公里宽，你一天可以走20公里，也就是说，你需要4天才能成功穿越大沙漠。因为你一次只能带够3天的食物和水，所以当你到达b点时，你还必须有足够3天的食物和水，但是当你从a点到达b点时，你只有足够2天的食物和水，所以你不能继续往前走， 你必须在b点留够一天的食物和水，然后带足够一天的食物和水从b点回到a点，当你从a点到b点再带食物和水三天，只剩下两天了。 然后你带着储存在b点的食物和水，然后你就有足够3天的食物和水，你就可以成功穿越沙漠了！”