数学小故事5【精品20篇】

唐僧和沙僧来到另一间教室门口。只有学生们热情地说:“请进来参观！”沙僧高兴地说:“这个班的学生还是很好客的。”他们正要进入教室，这时他们看到这个班的学生指着门上的纸条说:“请进来看着参与者！”沙僧看了看门上的纸条。原来门上有张纸条，上面写着一个公式:

请进来

x 4

请查看参数

(上面的每个单词代表一个数字。如果你想参观，请告诉我们每个单词是什么？)

沙僧道:“原来我要回答问题！”他看了很长时间，想不出每个单词代表什么。他只好转向唐僧问道:“师父，这些字代表什么数字？”唐僧:“这是一个著名的回文公式。如果你想这样回答，“参数”乘以4等于“输入”并且不进位，这意味着“参数”只能是数字1或2，“输入”乘以4等于“参数”，这意味着“参数”只能是数字2，“参数”可以是数字2，“输入”可以是数字8，“视图”只能是数字1或2， “参数”只能是数字1，“观”可以用“请”乘以4，进位3等于“观”。经唐僧分析，全班同学热烈鼓掌，并邀请唐僧和沙僧到教室参观。

如果你加三次，就没问题了。"

“你看”阿基米德用沙子填满半个球，然后把它倒进一个圆柱形的桶里，精确地填满三次。

“很好！”铁蛋特别开心。蒂丹只想把信给他。突然，门被踢开了。一名手持匕首的古罗马士兵冲进来，踩在沙盘上。

阿基米德愤怒地喊道，“狗娘养的！你踩了我沙盘上的人。”

古罗马士兵非常愤怒。一把剑刺入阿基米德的左胸。数学家倒下了，沙盘被鲜血染红了。

铁蛋落在阿基米德身上，痛哭流涕。然后他被埋在一棵树下，坟墓前立了一块墓碑。在墓碑上写或画什么更好？

一、目标与要求

1.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。

2.理解同类项概念，掌握合并同类项的方法，掌握去括号时符号的变化规律，能正确地进行同类项的合并和去括号。在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算。

3.理解整式中的字母表示数，整式的加减运算建立在数的运算基础上；理解合并同类项、去括号的依据是分配律；理解数的运算律和运算性质在整式的加减运算中仍然成立。

4.能够分析实际问题中的数量关系，并用还有字母的式子表示出来。

二、重点

单项式及其相关的概念；

多项式及其相关的概念；

去括号法则，准确应用法则将整式化简。

三、难点

区别单项式的系数和次数；

区别多项式的次数和单项式的次数；

括号前面是“—”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误。

四、知识框架

五、知识点、概念总结

1.单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式；数字或字母的乘积叫单项式（单独的一个数字或字母也是单项式）。

2.系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。任何一个非零数的零次方等于1。

3.多项式：几个单项式的和叫多项式。

4.多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。

5.常数项：不含字母的项叫做常数项。

6.多项式的排列

（1）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

（2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

7.多项式的排列时注意：

（1）由于单项式的项，包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分，一起移动。

（2）有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意：

a.先确认按照哪个字母的指数来排列。

b.确定按这个字母向里排列，还是向外排列。

（3）整式：

单项式和多项式统称为整式。

8.多项式的加法：

多项式的加法，是指多项式的同类项的系数相加（即合并同类项）。

9.同类项：所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项。

10.合并同类项：多项式中的同类项可以合并，叫做合并同类项，合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变。

11.掌握同类项的概念时注意：

（1）判断几个单项式或项，是否是同类项，就要掌握两个条件：

①所含字母相同。

②相同字母的次数也相同。

（2）同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关。

（3）所有常数项都是同类项。

12.合并同类项步骤：

（1）准确的找出同类项；

（2）逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变；

（3）写出合并后的结果。

13.在掌握合并同类项时注意：

（1）如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0；

（2）不要漏掉不能合并的项；

（3）只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。

14.整式的拓展

整式的乘除：重点是整式的乘除，尤其是其中的乘法公式。乘法公式的结构特征以及公式中的字母的广泛含义，学生不易掌握。因此，乘法公式的灵活运用是难点，添括号（或去括号）时，括号中符号的处理是另一个难点。添括号（或去括号）是对多项式的变形，要根据添括号（或去括号）的法则进行。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为，一般多项式的乘除都要“转化”为单项式的乘除。

整式四则运算的主要题型有：

（1）单项式的四则运算

此类题目多以选择题和应用题的形式出现，其特点是考查单项式的四则运算。

（2）单项式与多项式的运算

此类题目多以解答题的形式出现，技巧性强，其特点为考查单项式与多项式的四则运算。

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12.1轴对称(2)

实验探究

1．折一折．

要解决问题3，我们可以从最简单的一个点开始：先将一张纸对折，用圆规在纸上穿一个孔，然后再把纸展开，记两个孔的位置为点A和点A，折痕为直线MN(如图3)．显然，此时点A和点A关于直线MN对称．连结点A，A，交直线MN于点P．

注：这里采用让学生动手折一折，目的是让学生在折纸中体验对称性．先选取一个点进行实验，一是解决一个点，就解决了其他的点，二是从简单入手分析问题本身是我们处理和解决问题的一种手段．

4、距离问题：点(x，y)距x轴的距离为y的绝对值

距y轴的距离为x的绝对值

坐标轴上两点间距离：点A(x1，0)点B(x2，0)，则AB距离为x1-x2的绝对值

点A(0，y1)点B(0，y2)，则AB距离为y1-y2的绝对值

5、绝对值相等的代数问题：a与b的绝对值相等，可推出

1)a=b或者

2)a=-b

6、角平分线问题

若点(x，y)在一、三象限角平分线上，则x=y

若点(x，y)在二、四象限角平分线上，则x=-y

7、平移：

在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)

向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x-a，y)

向上平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)

向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y-b)

在word2007，2010和2013版中，插入数学公式比原来更加方便。本例介绍如何插入公式。

1、首先，选中并激活功能区的【 插入 】选项卡。

2、选中功能区靠右边的【 公式 】。

3、点击【 公式 】后可以看到程序提供了很多常用公式，可以直接选择。

4、比如说插入勾股定理的公式。

5、如果没有自己想要的公式，可以点击【 插入新公式 】自行插入。

6、点击后Word页面就出现了如下的编辑框，里面可以直接键入公式。

7、再看下功能区，将自动激活一个【 设计 】的选项卡，里面有各种公式输入辅助工具。

8、下面，我们来输入一个著名的质能方程。

在方框内输入文本“E=MC”，然后点击【 上下标 】按钮。

9、选择下拉列表中的【 上标 】。

10、选择上标后，在文本后面会出来两个框，一个低，一个高。

11、选中“MC”两个文字，拖到第一个框里，然后在右上角的框输入2。这样，一个质能方程公式就输入完毕了。当然，也可以直接插入上下标的两个框，然后手动输入。

数学故事-意外访客来访

赫尔丁住在一家旅馆里。

洗完澡后，他打电话给服务员，让他们给他送一份《华盛顿邮报》和一杯咖啡。

很快，有人敲门。

“哦，这么快。请稍等。”椅子过去常常开门。

“早上好，先生。这是你的早餐。”一个服务员站在门口。

“但我不想吃早餐。”主席说，“你可能搞错了。我只想喝杯咖啡。这是321房间。”

“哦，对不起，应该是327。抱歉打扰你。”服务员关上门离开了。

很快又响起了敲门声。

“进来！”主席想:这次是我的咖啡。

一个男人进来说，“哦，你在这里做什么？”

“什么？”主席感到惊讶和愤怒。“你为什么在我房间里这样说话？你是谁？”

那人不甘示弱:“你在我房间干什么？你是怎么进来的？”

“这是我的房间。”主席说，“321。”

“321？”那人看着门牌说，“哦，我的上帝，我真的不知道该说什么。我犯了个错误。我很抱歉。”

“没关系。”主席等他出去，关上门。

有人又敲门了。

“进来！”

一个女服务员进来说，“早上好，先生。这是你想要的咖啡和报纸。”

就在这时，我听到外面有人大喊，“我丢了我的钻石项链！”

主席停了下来，冲出门外喊道，“快，抓住那个人！”

他要逮捕谁？为什么？

高等数学不比以往初中、高中的数学来得简单，下面小编就和大家分享高等数学的学习方法，希望对大家有帮助!

高等数学的学习建议：

1。举例具体化。如理解导数时，自己也举个例子，如f(x)=820302X2+811211(x的平方)。

2。比喻形象化。就是打比方,比如把一个二元函数的图形想成邻家女孩的头上的草帽。

3。类比初级化。比如把二元函数跟一元函数类比，泰勒公式想成二次函数，好理解。

4。多书参考法。去你们图书管借几本不是一个作者写的高数教材，虽然讲的内容都一样，但不同的作者往往对同一个问题从不同的角度表述，对你来说，从很多不同的角度、例子理解同一个问题，往往就容易多了。Just have a try!

5。不懂暂跳法。对一些定理的证明、推导过程等，如果一时不明白没关系，暂时放过，记下这个疑点待以后解决就可以了。

高等数学学习方法指导2

1、按部就班。数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。所以，平时学习不应贪快，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。

2、强调理解。概念、定理、公式要在理解的基础上记忆。我的经验是，每新学一个定理，便尝试先不看答案，做一次例题，看是否能正确运用新定理;若不行，则对照答案，加深对定理的理解。

3、基本训练。学习数学是不能缺少训练的，平时多做一些难度适中的练习，当然莫要陷入死钻难题的误区，要熟悉常考的题型，训练要做到有的放矢。

4、标出重点。平常看题看课本的时候,碰到有好的解题方法或重点内容,可以用鲜艳的彩笔划出来,以便以后复习时能一目了然.

高等数学学习方法指导3

一、摒弃中学的学习方法

与高中相比，大学的高等数学课程则不一样，教材仅是作为一种主要的参考书。要求学生以课堂上老师所讲的重点和难点为线索，通过大量地阅读教材和同类的参考书，以充分消化和掌握课堂上所讲授内容，然后做课后习题巩固所掌握知识，这就是进行反复地创造性的学习。这是一种艰苦的脑力劳动，它不仅要求学生主动地、自觉地进行学习，同时还要在松散地环境下能约束自己，并且要掌握较好的学习方法，才能把所要学习的知识学得扎实，为专业课程的学习打下良好基础。

二、抓好三个环节

什么是学习高等数学的最好方法呢?这根据每个人的学习时的习惯和理解问题的能力不同而异，但就一般说来，均应抓好以下三个环节。其一是课前预习。这一过程很重要，因为只有课前预习过，才会在听课时做到心中有数，即老师所讲的内容哪些是属于难以理解的，什么是重点等，这样带着一些问题去听老师讲课，效果就很明显了，同时预习的过程中也就培养了你的自学能力，这对自己来说将是终身受益的。预习的过程也不需要花太多时间，一般地一次课内容花三、四十分钟左右时间就可以了。在预习时不必要把所有问题弄懂，只要带着这些不懂的问题去听课就行。其二是上课用心听讲，并且要记好课堂笔记。

对于上课要用心听讲大家都明白，但要记好课堂笔记的重要性，有的同学就不以为然了，认为教材上都有，大可不必去记，有的同学甚至说：中学里老师就告诉我们，数学课不用记笔记。其实这种认识是错误的，也是中学里带来的一种不良的学习习惯。首先可以说：老师对于高等数学课程的讲授，绝对不是教材上的内容的简单重复，而是翻阅了大量的同类参考书，而结合自己的教学经验与体会，反复推敲怎样讲授才能使学生更好的领会和掌握后才写成讲稿的。所以毫不夸张地说：教师的授课教案既有以往成功的经验体会，同时也有过去的教训的借鉴。而且将一次课的内容归纳成有条理性的几点，有些典型的例题、习题的适当选择等，这些都是教科书上所没有完全具备的，因此，学生在听课的同时必须记好课堂笔记，同时这种好的学习习惯即勤动笔对于自己学习及工作能力的培养也是大有好处的。其三，课后复习，整理笔记，认真完成课后作业。课后的自习，不少人是赶快做作业，这也是一种不好的习惯，其实下课后应该进一步认真钻研教材或教学参考书，在完全弄懂本次课内容之后，整理充实课堂笔记，有些需要理解的地方添上自己的心得与体会，把书本上的知识真正变成自己掌握的知识，然后再完成作业，这要比下课就赶作业的效果要好得多，而且完成作业的速度也要快得多。

三、善于归纳，经历“由厚变薄”的过程

人们常说：读书学习要善于把书本“从薄到厚，还要从厚到薄”。在高等数学的学习中，这条经验可以说是非常实在的。因为学习的本身就是知识的不断积累，这样书也就“由薄变厚”了，内容也就越来越多了，但是人的记忆力是有限的，要全面记住所有有用的东西而不遗忘是很难办到的，怎么办呢?这就需要对自己学的知识加以归纳总结，找出它们之间的内在联系和共同本质的东西，然后使之系统化条理化，从而记住最有代表性的知识点，而其余部分只要在此基础上经过推理便可以了解，这就是“由厚变薄”。所以在每章结束或一个单元的内容讲完后，应该进行总结，把其中基本概念、定理、基本公式及计算方法加以归纳，然后有条理用大脑记忆起来，这样所学知识就完全属于你的了。

数学故事——数学史上的一个“不公平案例”

长期以来，人类已经掌握了一元二次方程的解法，但对一元三次方程的研究进展缓慢。中国古代、希腊、印度等地的数学家曾努力研究一元三次方程，但他们发明的解只能求解特殊形式的三次方程，不适用于一般形式的三次方程。

在16世纪的欧洲，随着数学的发展，也有了解决三次方程的固定方法。在许多数学文献中，三次方程的根公式被称为“卡尔达诺公式”。这显然是为了纪念世界上第一位意大利数学家，他发表了一元三次方程的根公式。那么，卡尔达诺第一次发现了一元三次方程的通解吗？这不是历史事实。

在数学史上，第一个发现三次方程通解的人是16世纪的另一位意大利数学家尼古拉斯·丰塔纳。冯塔娜出身贫寒，十几岁时失去了父亲，家里没有条件供他学习。然而，通过努力工作和自学，他最终成为16世纪最有成就的意大利学者之一。因为冯塔纳患有“口吃”，当时人们给他起了个绰号叫“塔尔塔”，意为“口吃”。在后来的许多数学书籍中，“格子塔里亚”被直接用来指冯塔纳。

经过多年的探索和研究，冯塔娜找到了一种方法，用一种非常巧妙的方法找到了一元三次方程一般形式的根。这一成就使他在几次公开数学竞赛中大获全胜，从此他在欧洲声名鹊起。但是冯塔纳不愿意公开他的重要发现。

当时另一位意大利数学家和医生卡尔达诺对冯塔纳的发现非常感兴趣。他几次真诚地前来咨询，希望获得冯塔纳的寻根公式。然而，冯塔娜一直守口如瓶，守口如瓶。虽然卡尔达诺多次受挫，但他非常执着，从冯塔纳那里“挖掘出了秘密”。后来，冯塔纳终于用咒语向卡尔达诺“揭示”了三次方程的解。冯塔纳认为卡尔达诺破解他的“咒语”很难，但卡尔达诺的理解非常好，他通过解三次方程的比较实践，很快就完全破解了冯塔纳的秘密。

卡尔达诺在他的学术著作《大发》中写了冯塔纳的三次方程来寻找根公式，但没有提到冯塔纳的名字。随着大发在欧洲的出版和发行，人们只学会了解三次方程的一般方法。由于第一个发表三次方程根公式的人确实是卡尔达诺，所以后世称这种方法为“卡尔达诺公式”。

卡尔达诺剽窃了其他人的学术成就，根据他们的说法，这种行为在人类数学史上留下了不光彩的一页。当然，这个结果对努力工作的冯塔娜是不公平的。然而，冯塔纳坚持不披露他的研究成果并不是一种正确的方法，至少对人类科学的发展来说，这是一种不负责任的态度。

数学故事-牵牛花照片

8月15日凌晨3: 30左右，一名保安在一栋建筑中被杀。看起来潜伏在大楼里的劫匪在被保安发现并杀死后逃跑了。

由于搜查的结果，嫌疑犯很快被发现，当晚，一个单身男子住在郊区。

警察立即赶到了他的家。

"今天早上3: 30你在哪里？"国际刑警正在询问他是否有不在场证明。

“那时，我起得很早，在我的院子里用一次性相机从初出茅庐的牵牛花到公开组每4分钟拍一系列照片。”那人指着院子角落里的一片牵牛花说，“这牵牛花大约在凌晨3点10分开始开花，大约40分钟后就结束了。我一直在拍照。”

把照片和花比较一下，确实是今天早上在院子里拍的。为了安全起见，警察把他们送到了一所大学的植物研究所，给他们看了照片，以了解牵牛花的开花时间。

根据调查结果，该地区的牵牛花在8月中旬最早在凌晨2: 00开花，通常在凌晨3: 00开始开花，大约在凌晨4: 00结束。这样，就确立了该男子不在犯罪现场的证据。从他家到犯罪现场，开快车不下一个小时。

然而，留在现场的指纹证明罪犯仍然是他。

他没有搭档，他用什么手段伪造这些照片？

数学故事——索格的不同证词

一天晚上，在侦探家附近的公寓里发生了一起枪击事件。与此同时，住在公寓里的四个人被枪声震惊了，每个人都看了看手表。当该团的侦探到达现场并询问了大约四个人时，他们分别给出了以下答案:

"我在12: 08听到枪声."

“不，现在是11: 40。”

“我记得是12点15分。”

"我的表显示是11: 53。"

四个人说不同的时间，因为他们的手表不准确。一个慢25分钟，一个快10分钟，另一个快3分钟，最后一个慢12分钟。

那么，犯罪的确切时间是什么时候？

数学故事-五福娃计时

福娃的五个兄弟姐妹将去参观奥运村。森林镇派了最好的司机猛犸带他们去那里。

在路上，长毛象为了测试它们的智力，说:“一辆卡车在2小时内行驶了90公里，这是总距离的40%。你认为需要多少小时？”

虽然福娃晶晶外表迷人，能解决数学问题，但她思维敏捷。她认为:汽车在2小时内行驶了90公里，所以总行程有几个90公里，整个行程有几个2小时。公式为:2×[(90-40%)-90]= 5(小时)。

福娃贝贝温柔纯洁，是水上运动的大师。这个问题的答案是明确的。她想:如果你想要时间，你必须知道总距离/速度=时间。公式为:90 u 40% u 90 u 2 = 5(小时)。

福娃的大哥欢欢在解决这个问题上也很有优势。他认为:整个旅程的40%需要2个小时，那么整个旅程是共享的:2 ÷ 40% = 5(小时)。

福娃妮妮是一只从天而降的燕子。她天真、开朗、精力充沛，在解决问题方面很优秀。她为一行的完整旅程设定了X小时，并列出了比率公式:40 u 2 = 1 uχ，χ = 5。

为了满足人们的需求，让我们用x小时完成旅程，并列出等式:(90 ÷ 2) χ = 90 ÷ 40%，并求解χ = 5。

长毛象开心地笑了。

(10+9+8-7-6)×5-43-21 = 6；

(10+9+8+7+6)5-4(3-2)+1 = 5；

10×9-87+65-43-21 = 4；

(109-8+7)6-54 3+2+1 = 3；

(109+87-6)5-4-32×1 = 2；

(10×9-87 )( 6×54-321)= 1 .

数学故事——苦涩的故事

亨利一路破门而入，气急败坏地寻找丑角，讲述着一件棘手的事情:

“我家有个老园丁，名叫马丁。三天前，他跑到我的办公室，一边鞠躬一边傻笑，公开向我索要10万美元。他声称，在修整我父亲书房外的花园时，他发现了一份被我父亲丢弃的遗嘱，遗嘱指定我在新西兰的叔叔为他所有财产的唯一继承人。这消息对我来说犹如晴天霹雳。11月的一天，我和父亲为我的未婚妻珍妮发生了激烈的争吵。珍妮只比我大几岁，我父亲反对这桩婚姻，可能会取消我的继承权。”

”马丁声称他持有第二份遗嘱。这份遗嘱比他要求的更有价值。因为这份遗嘱的签署日期是11月30日晚上1点。它比遗嘱生效晚了几个小时，所以它将被法律承认。我立即拒绝了他的勒索，所以他缠着我讨价还价。先是50000，然后25000。医生，你觉得这个怎么样？”

“我说，你不应该在乎。”丑角说。

为什么丑角会这么说？

答案是宣布:

马丁伪造了他的勒索遗嘱。然而，不可能在11月30日晚上1: 00签署夏季高温，因为11月只有30天。

1.什么是无限？一个富人无意中听到一位数学教授对他的学生谈论“无限”，他想知道，这个“有限的数字”很容易理解，例如，我的钱，但这个“无限”是什么？它和自然数一样多，还是“更多”？富人想知道他是否理解它，所以他问教授，“教授，什么是”无限？教授回答道:“无限的是没有穷人，他们和你一样富有。看到富人不明白，教授进一步解释道:“想想看。例如，如果地球上有无限多的人，他们可以对应于自然数字，每个人只有一美元，而不是更多，那么第一个人向第二个人借一美元，第二个人向第三个人借一美元，然后再借回来。如果这种情况继续下去，第一个人有2元钱，其他人也一样。富人点点头，承认了，并说，“这仍然没有我的钱多。教授接着说:“如果第一个人重复一百万次，那不是百万富翁吗？！直到那时，富人才突然意识到“无限”是什么。名人的生日是众所周知的，名人和伟人都有不同寻常的个性。如果你学习代数并计算他们的生日，你会发现所有名人和伟人的生日都有以下特点:例如，爱因斯坦的生日是1879年3月14日，一月的日期是1879年314日。随机排列这个号码，你可以得到另一个号码，例如:4187139。从大数字中减去小数字，得到一个差值:4187139-1879314 = 2307825。将差值的所有数字相加得到一个数，2+3+0+7+8+2+5 = 27，然后将这个数的数字相加，和为9。也就是说，最终获得最大的一位数9。根据上述方法，计算出数学家高斯的生日:高斯出生于1867年11月7日，因此可以得到一个数字1867117。例如，重新排列的数字是1167781，差值是1867117-1167781 = 669336。计算数字的和，数字的和是:6+9+9+3+3+6 = 36。然后计算数字的和，最后3+6 = 9。同样，我们最终得到最大的一位数9。所有名人的生日都有这样的特点。这是成为名人的“必要条件”。

1．二次根式：一般地，式子叫做二次根式。

注意：（1）若这个条件不成立，则不是二次根式；

（2）是一个重要的非负数，即；≥0。

积的算术平方根：

积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；

二次根式的乘法法则：。

二次根式比较大小的方法：

（1）利用近似值比大小；

（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；

（3）分别平方，然后比大小。

商的算术平方根：，

商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

最简二次根式：

（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开的尽的因数或因式；

（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；

（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；

（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。

10．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

12．二次根式的混合运算：

（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；

（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等。

中考数学考前复习辅导：点、线、角

一、线

1、直线2、射线3、线段

二、角

1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。

另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

2.角的平分线

3、角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。

4.角的分类：(1)锐角(2)直角(3)钝角(4)平角(5)周角

5.相关的角：

(1)对顶角(2)互为补角(3)互为余角

6、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。

注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。

7、角的性质

(1)对顶角相等(2)同角或等角的余角相等(3)同角或等角的补角相等。

提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

现代世界三大最难的数学问题之一。四色猜想来自英国。1852年，当伦敦大学毕业生弗朗西斯·格思里来到一个科学研究所做地图着色工作时，他发现了一个有趣的现象:“似乎每张地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家有不同的颜色。”这个结论能从数学上得到严格证明吗？他和他正在大学学习的哥哥格里斯决定试一试。为了证明这个问题，兄弟俩已经堆积了很多手稿，但是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟向他的老师，著名的数学家德·摩根寻求这个问题的证明。摩根找不到解决这个问题的方法，所以他写信给他的好朋友、著名数学家汉密尔顿爵士征求意见。汉密尔顿收到摩根的信后，演示了四色问题。但是直到1865年汉密尔顿去世，这个问题才得以解决。

1872年，当时最著名的英国数学家凯利向伦敦数学学会正式提出了这个问题，因此四色猜想成为了世界数学界关注的问题。许多世界级的数学家参加了四色猜想会议。从1878年到1880年，两位著名的律师和数学家坎普和泰勒提交了证明四色猜想的论文，并宣布他们已经证明了四色定理。每个人都认为四色猜想从此已经解决了。

11年后，1890年，数学家海伍德通过自己的精确计算指出，坎普的证明是错误的。很快泰勒的证据也被否定了。后来，尽管越来越多的数学家绞尽脑汁，他们还是一无所获。结果，人们开始意识到这个看似简单的话题实际上是一个相当于费马猜想的难题:前人数学家的努力为后来的数学家揭示四色猜想的奥秘铺平了道路。

自20世纪初以来，科学家对四色猜想的证明基本上是基于坎普的想法。1913年，boekhoff引入了一些基于Kemp的新技术。1939年，美国数学家富兰克林证明了22个国家以下的地图可以用四种颜色着色。1950年，一些人从22个国家搬到了35个国家。1960年，证明了39个国家以下的地图只能用四种颜色着色。然后它被推广到50个国家。这一进展似乎仍然非常缓慢。电子计算机出现后，由于计算速度的迅速提高和人机对话的出现，证明四色猜想的过程大大加快了。1976年，美国数学家阿佩尔和哈肯花了1200个小时，在美国伊利诺伊大学的两台不同的计算机上做了100亿次判断，最终完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明在世界上引起了轰动。它不仅解决了一个持续了100多年的难题，而且可能成为数学史上一系列新思维的起点。然而，许多数学家对计算机取得的成就并不满意。他们仍在寻找一种简单明了的书面证明方法。

可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件;有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件;必然事件和不可能事件都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。

概率：①人们通常用1(或100%)来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率为1，记作P(必然事件)=1;不可能事件发生的概率为0，记作P(不可能事件)=0;如果A为不确定事件，那么0〈P(A)〈1。

对于概率类问题特别要注意以下几点

01注意概率、机会、频率的共同点和不同点。

02注意题目中隐含求概率的问题。

03画树状图及其它方法求概率。

04摸球模型题注意放回和不放回。

05注意在求概率的问题中寻找替代物，常见的替代物有：球，扑克牌，骰子等。

统计与概率会在中考中以客观题的形式进行考查，选择题、填空题较多，同时考查多个考点的综合性题目一般以解答题的形式进行考查。

解决统计与概率问题常用的数学思想是方程思想和分类讨论思想;常用的数学方法有分类讨论法，整体代入法等。

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一、正数和负数

正数和负数的概念

负数：比0小的数;正数：比0大的数。

0既不是正数，也不是负数

☆注意：字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数;当a表示负数时，-a是正数;当a表示0时，-a仍是0。强调：带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数。

具有相反意义的量

若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量。习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负.

二、有理数

有理数的概念

(1)正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)

(2)正分数和负分数统称为分数

(3)整数和分数统称有理数

☆注意：①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

数轴

(1)数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线;

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可;

数轴的三要素都是根据实际需要规定的，同一数轴上的单位长度要统一;

(2)数轴上的点与有理数的关系

所有的有理数都可以用数轴上唯一的点来表示，正有理数可用原点正方向的点表示，负有理数可用原点负方向的点表示，0用原点表示。

相反数

(1)只有符号不同的两个数叫做互为相反数;0的相反数是0;任何一个有理数都有相反数

(2)互为相反数的两数的和为0，即：若a、b互为相反数，则a+b=0;互为相反数的两个点在数轴上分别位于原点两侧，并且与原点的距离相等。

(3)在一个数的前面加上负号“-”，就得到了这个数的相反数。a的相反数是-a。

(4)多重符号的化简

多重符号的化简规律：“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。

绝对值

(1)绝对值的几何定义：数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值，记作：|a|

(2)求绝对值：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;可用字母表示为：①如果a>0，那么|a|=a;②如果a

可归纳为①：a≥0时，|a|=a(非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。)②a≤0时，|a|=-a(非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)

(3)若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。(非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0)

有理数比大小

(1)利用数轴表示两数大小

在以向右为正方向的数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大;

正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数;

(2)数轴上特殊的最大(小)数

最小的自然数是0，无最大的自然数;

最小的正整数是1，无最大的正整数;

最大的负整数是-1，无最小的负整数

(3)利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小;

(4)大数-小数>0，小数-大数

三、有理数的加、减法运算

有理数加法

(1)同号两数相加，取相同符号，并且把绝对值相加

(2)异号两数相加，取绝对值大的数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值

(3)互为相反数的两数相加得0

☆

加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变，a+b=b+a

加法结合律：三个有理数相加，先把前两个数相加，再把结果与第三个数相加;或者先把后两个数相加，再把结果与第一个数相加，和不变，(a+b)+c=a+(b+c)

☆

(1)同号结合相加(正数+正数、负数+负数)

(2)互为相反数的两数结合相加(把相加结果为零的数结合相加)

(3)几个分数相加，将同分母的先结合相加

(4)将求和后为整数的数先结合相加

(5)几个带分数相加，可将整数部分与分数部分分别结合相加

☆在一个求和的式子中，通常可以把“+”省略不写，同时去掉加数的括号

有理数的减法

根据相反数的定义，减去一个数，等于加上这个数的相反数，有理数的减法可以转化为加法进行计算。引入相反数的之后，有理数的加减混合运算可以统一为加法运算。

四、有理数的乘、除法运算

有理数乘法

(1)异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘;同号两数相乘得正数，并把绝对值相乘。

(2)任何数与0相乘都得0

☆有理数的乘法运算定律

乘法交换律：两个有理数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。a×b=b×a

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘,再和另外一个数相乘，积不变。a×b×c=a×(b×c)

乘法分配律：两个数的和(差)同一个数相乘,可以先把两个加数(减数)分别同这个数相乘,再把两个积相加(减),积不变。a×(b+c)=a×b+a×c

倒数

(1)乘积为1的两个数互为倒数;注意：0没有倒数;

(2)若a,b互为倒数，则ab=1;

(3)求倒数：求一个数的倒数就是用1去除以这个数。

①求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可;

②求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置;

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。(求一个数的倒数，不改变这个数的性质);

④倒数等于它本身的数是1或-1;

有理数除法

(1)除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。

(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0

有理数的加减乘除混合运算

(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

(2)有理数的加减乘除混合运算，如果有括号先计算括号里的，如果无括则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行，同级运算中，按前后顺序从左到右依次运算，谁在前先算谁。

五、有理数乘方

乘方的概念：求n个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数。

记作：an,在an中，a叫做底数，n叫做指数，an叫做幂

乘方的性质

(1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

(2)正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

(3)互为相反数的两个数的奇数次幂仍互为相反数，偶数次幂相等。

(4)任何一个数的偶数次幂都是非负数。

有理数的混合运算

做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

(1)先乘方，再乘除，最后加减;

(2)同级运算中，按前后顺序从左到右依次运算，谁在前先算谁。

(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

科学记数法

把一个绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数(即1≤|a|

方法：①a的确定：把原数的小数点向左移动，使它的整数位数为1，数的正负号保持不变;②n=原数的整数数位-1。