数学天才 高斯汇编20篇

最后，填入幻方常数65。"

罗科真是一个数学天才。他在短时间内用9个数字填满了中间的空间。

米切尔非常高兴。他说，“我会按这只表的按钮。”米切尔按了9次左上角的按钮，然后按了2次右边的按钮，一个接一个地按了下去。当他按下右下角的按钮17次时，墙“砰”的一声向上倒了。里面是一个秘密房间，海外部门经理正在那里打电话。

那个矮胖的经理看到门突然打开时吓了一跳。他拿起冲锋枪，扫了门外的一架穿梭机。米切尔和罗克大叫着跳下楼梯。

一、目标与要求

1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上;

2.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想;

3.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。

二、知识框架

三、重点

理解并掌握不等式的性质;

正确运用不等式的性质;

建立方程解决实际问题，会解"ax+b=cx+d"类型的一元一次方程;

寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型;

一元一次不等式组的解集和解法。

四、难点

一元一次不等式组解集的理解;

弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式;

正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。

五、知识点、概念总结

1.不等式：用符号""，"≤"，"≥"表示大小关系的式子叫做不等式。

2.不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。

一般地，用纯粹的大于号、小于号">"，"

3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

5.不等式解集的表示方法：

(1)用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来，例如：x-1≤2的解集是x≤3

(2)用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解，用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线;二是定方向。

6.解不等式可遵循的一些同解原理

(1)不等式F(x)F(x)同解。

(2)如果不等式F(x)

(3)如果不等式F(x)0，那么不等式F(x)H(x)G(x)同解。

7.不等式的性质：

(1)如果x>y，那么yy;(对称性)

(2)如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)

(3)如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z;(加法则)

(4)如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，z

(5)如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z;如果x>y，z

(6)如果x>y，m>n，那么x+m>y+n(充分不必要条件)

(7)如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn

(8)如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)

8.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

9.解一元一次不等式的一般顺序：

(1)去分母(运用不等式性质2、3)

(2)去括号

(3)移项(运用不等式性质1)

(4)合并同类项

(5)将未知数的系数化为1(运用不等式性质2、3)

(6)有些时候需要在数轴上表示不等式的解集

10.一元一次不等式与一次函数的综合运用：

一般先求出函数表达式，再化简不等式求解。

11.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成

了一个一元一次不等式组。

12.解一元一次不等式组的步骤：

(1)求出每个不等式的解集;

(2)求出每个不等式的解集的公共部分;(一般利用数轴)

(3)用代数符号语言来表示公共部分。(也可以说成是下结论)

一、知识归纳与例题讲解：

2、中位数，众数，平均数，加权平均数，注意区分这些概念。

相同点：都是为了描述一组数据的集中趋势的。

不同点：中位数--中间位置上的数据（当然要先按大小排列）

众数--出现的次数多的数据。

例3：某校篮球代表队中，5名队员的身高如下（单位：厘米）：185，178，184，183，180，则这些队员的平均身高为（）

（A）183（B）182（C）181（D）180

例4：已知一组数据为3，12，4，x，9，5，6，7，8的平均数为7，则x＝

例5：某班第二组男生参加体育测试，引体向上成绩（单位：个）如下：

69111311710812

这组男生成绩的众数是____________，中位数是_________。

瘸腿狐狸说:“凶手已经被找到了！看下面两个单词:狼和铅。这显然意味着“带狼进屋”。"

小熊说:“狐狸是对的，狼很残忍！”

山羊摇摇头说:“不，凶手留下了两个密码1232和1243。这两个密码与狼和语录列表上的数字不一致！”

瘸腿狐狸立刻改变了声音，说:“那是一头猪。猪的数字是1234，类似于1243。”

猴子仔细看了看手表，说道:“手表上没有1232和1243号。然而，桌子上的每个单词都是由左右两部分组成的。每个部分对应一个两位数。”

山羊捋了捋胡子，说道:“猴子说得对。从表中判断，12对应于“狗”，2对应于瓜

熊明白了。他说:“1232应该面对狐狸角色，1243应该面对浣熊角色，他们一起就是狐狸！”

每个人都把目光转向那只跛脚狐狸。狐狸浑身发抖，低声说道:“我不认为你真的能破解这个谜题。”

熊抓住了瘸腿狐狸的衣领，问道:“我们该拿这个可怜虫怎么办？”

所有人一起喊道:“杀了这个恶棍！”

瘸腿狐狸问:“你必须事先说好要打我多少次。”

猴子在地上写道:2+3-4+5-6+7-8+9-10+11。猴子说:“打了你这么多次后，你只有10秒钟的时间来想清楚！”

狐狸被这个加减运算弄糊涂了。他握手说道，“少几次，少几次？？”小猴子做了一个公式:2+3-4+5-6+7-8+9-10+11 =(110)+(9-8)+(7-6)+(5-4)+(3-2)+1 = 6“6以下是必要的！”熊生气地说。

整式

单项式和多项式统称整式。

a)由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。

b)单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数，系数为1或-1。

c)一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数(注意：常数项的单项式次数为0)

a)几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.

b)单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数，多项式没有系数。多项式的每一项都是单项式，一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数。多项式中每一项都有它们各自的次数，但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数，一个多项式的次数只有一个，它是所含各项的次数中最高的那一项次数.

a)整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式.

b)括号前面是“-”号，去括号时，括号内各项要变号，一个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都要相乘。

首先，数学方面，因为概率统计进入到中学，初中，时间还不是很长，而概率统计，特别是概率这些感觉都不是很好理解的一个概念，咱们国家进入市场经济也比较晚，有些情况不是靠做一道题，两道题就能弄清楚的，像抽签跟顺序无关，你尽管做题得出的结论，但是在心理上，还是不舒服，就很多这样的问题还是在这存在的，所以我想对我们来说呢，在数学上有一个提高的过程，当然对我们初中老师来说，起码应该把高中中的概率和统计的内容，你应该要比较熟悉，因为大学学的可能比较远了，或者也不太熟悉，但是因为你的课是给高中，他进一步学习，是要在高中学的，起码你应该了解一下高中对抽样他讲了一些什么东西，他在统计过程里，更强调一些什么东西，包括概率，包括古典概型，这些东西，我觉得这是一个非常重要，最起码应该要了解，这样咱们很好地把握初中的教学，如果你对高中的定位，各方面都不太熟的话，可能不太有利于对初中的教学，所以我想在这一点就特别希望我们老师能够关心一下高中的概率统计的教学。

其次，要了解数学模型和实际问题的关系，那么数学模型是一个被理想化了的一个东西，但是实际问题是具有多种因素的问题，那么在我们解决问题的过程中，我们需要对我们的模型进行选择，来解决问题，我想这是我们在概率里头需要学到一些东西，另外我们希望他的教学模式和初中一样，案例出发，能采取活动更好，这样才能让学生学习概率的积极性调动起来，关于统计呢，我想和初中一样，一定要帮助在初中的基础上，能够完善和提升我们统计处理问题的全过程，包括数据的收集，数据的整理，数据的描述，从数据中提取信息，并用这些信息解决问题，只是我们抽样的方式整理和描述数据的方式，以及我们提取信息的多少发生了一定的变化，我们解决问题的广度，我们解决问题的深度，发生了一定的变化，另外呢，我们也希望老师能掌握几个基本的重要的统计模型，比如说回归分析，独立性检验等等，这些学习我们希望初中的老师依然能够了解，在统计的教学中，和概率一样，我们仍然强调案例教学，活动教学，强调过程，强调抓住本质的东西。

最后，要了解学生，了解学生喜欢做什么，那我们就设计学生喜闻乐见的事情，对学生有挑战的事情。做中学，在开发案例的过程中提高自己的教育的本领，教育自己驾驭学生的本领，也提升自己的数学素养。

分数的加减法

1、一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备。

2、通分的依据：分式的基本性质。

3、通分的关键：确定几个分式的公分母。通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

4、类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

5、同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

6、异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

7、同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号。

8、对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分。

9、异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化。

10、作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式。

数学童话——狐狸卖鸡蛋

西瓜卖不出去，跛脚狐狸却在卖鸡蛋。

跛足的狐狸守护着许多盒子的鸡蛋，并喊道:“卖鸡蛋！新鲜鸡蛋！买得更便宜！”

突然，传来一声低沉的哭声。跛足的狐狸往里看，看见一只大公鸡抱着一只哭泣的母鸡向这边走来。

狐狸急忙打招呼:“请买些新鲜鸡蛋！”

听到“新鲜鸡蛋”这个词，母鸡大哭起来。母鸡的叫声把跛足的狐狸弄糊涂了。

狐狸看上去不高兴。他说:“今天是我第一次卖鸡蛋。你在我的货摊前哭吵闹闹，真倒霉！”

达公基连忙解释道，“我妻子几天前下了一窝蛋。她不小心被小偷偷走了。她非常难过。”

听到“偷窃”这个词，狐狸大吃一惊。他很快解释道:“人们常说狐狸偷鸡，但没人说狐狸偷鸡蛋。我买了鸡蛋，不是你！”

那只瘸腿的狐狸眼珠一转，立刻变了脸。他对着母鸡笑了笑，说道:“别哭！你丢了鸡蛋，是吗？我这里有很多鸡蛋。买一些回去孵化，以确保你有一个完整的家庭。”

听到狐狸说的话，母鸡立刻大哭起来，笑了。她立刻买了10个蛋，回到她的窝里快乐地孵蛋。

就在母鸡离开的时候，狐狸“噗噗”地笑着说，“我从养鸡场买了所有的鸡蛋。这个养鸡场里没有公鸡。这个蛋根本不能孵小鸡！”

母鸡一连好几天都回去孵蛋，蛋甚至都不动。几天后，鸡蛋开始发臭，母鸡知道自己被狐狸骗了。公鸡和母鸡报复狐狸！

狐狸拒绝承认，但是公鸡和母鸡没有离开。狐狸的眉头皱了起来，他的计谋出现了。狐狸说，“我们开始吧！我愿意给你这1000个鸡蛋作为补偿。只有一个条件。”

公鸡问:“什么条件？”

狐狸说:“你必须把这1000个鸡蛋拿走五次。每次取的鸡蛋数量是8个。”“8”更吉利，“8”是“头发”发财！"

公鸡和母鸡，如果你看着我，我看着你，没有人会数。突然，“哔”的一声，一个小纸球从树上掉了下来。一只猴子从树上消失了。

公鸡拿起纸团，立即大叫一声，对狐狸说:“先给我八个蛋。”狐狸照办了。“你再给我88个鸡蛋。”狐狸照办了。"你给了我888个鸡蛋多少次了？"

狐狸说:“三次！”

母鸡走过来说:“只剩下两只了。轮到我了！”你给我八个鸡蛋，再给我八个。"

狐狸的眼睛都是红色的。他列出了一个加法公式:8+88+888+8+8=1000。狐狸大叫一声，瘫倒在地上。

据新华社报道，“七千年数学问题”之一的庞加莱猜想是这次国际数学家大会的焦点。事实上，除了美国克雷数学研究所在世纪之交提出的“七千年数学问题”之外，数学史上还有一些有趣的数学问题给人们留下了深刻的印象。

哥德巴赫猜想

主讲人:德国教师哥德巴赫；提交日期:1742年；内容描述:任何大于2的偶数都可以表示为两个质数之和；

研究进展:未完全解码。

第二，费马大定理

推荐者:法国数学家费马；提交日期:1637年；内容陈述:x的n次方加上y的n次方等于z的n次方，当n是大于2的自然数时，没有正整数解；

研究进展:英国数学家安德鲁？怀尔斯和他的学生理查德？泰勒在1995年成功证明了这一点。

三四色猜想

推荐者:英国学生格思里；提交日期:1852年；内容描述:每张地图可以有4种颜色，使得有共同边界的国家有不同的颜色。

研究进展:1976年通过计算机验证。

四、女孩走路的问题

推荐者:英国数学家柯克曼；提议:1850年；内容描述:一个学生宿舍里有15个女生，每天三人一组，问如何安排，这样每个女生就有机会一周只和其他女生在同一个组里走一次。

研究进展:已证实。

五、七桥问题

推荐者:来自普鲁士城镇哥尼斯堡(现在的俄罗斯加里宁格勒)；它是在18世纪初提出的。内容描述:一条河流的两条支流绕过一个岛屿，七座桥横跨两条支流。问一个步行者他是否能走过每座桥，如果每座桥只能走一次，让步行者回到他原来的地方。

研究进展:瑞士数学家欧拉在1736年成功解决了这个问题。

一、知识归纳与例题讲解：

6、统计和概率的知识和观念在实际中的应用。能解决一些简单的实际问题。

例15：下列抽样调查：

①某环保网站就"是否支持使用可回收塑料购物袋"进行网上调查;

②某电脑生产商到当地一私立学校向学生调查学生电脑的定价接受程度;

③为检查过往车辆的超载情况，交警在公路上每隔十辆车检查一辆;

④为了解《中考指要》在学生复习用书中受欢迎的程度，随机抽取几个学校的初三年级中的几个班级作调查.

其中选取样本的方法合适的有：（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

例16：某农户在山上种脐橙果树44株，现进入第三年收获。收获时，先随机采摘5株果树上的脐橙，称得每株果树上脐橙重量如下（单位：kg）：35，35，34，39，37。

⑴试估计这一年该农户脐膛橙的总产量约是多少？

⑵若市场上每千克脐橙售价5元，则该农户这一年卖脐橙的收入为多少？

⑶已知该农户第一年果树收入5500元，根据以上估算第二年、第三年卖脐橙收入的年平均增长率。

现代世界三大最难的数学问题之一。四色猜想来自英国。1852年，当伦敦大学毕业生弗朗西斯·格思里来到一个科学研究所做地图着色工作时，他发现了一个有趣的现象:“似乎每张地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家有不同的颜色。”这个结论能从数学上得到严格证明吗？他和他正在大学学习的哥哥格里斯决定试一试。为了证明这个问题，兄弟俩已经堆积了很多手稿，但是研究工作没有进展。

1852年10月23日，他的弟弟向他的老师，著名的数学家德·摩根寻求这个问题的证明。摩根找不到解决这个问题的方法，所以他写信给他的好朋友、著名数学家汉密尔顿爵士征求意见。汉密尔顿收到摩根的信后，演示了四色问题。但是直到1865年汉密尔顿去世，这个问题才得以解决。

1872年，当时最著名的英国数学家凯利向伦敦数学学会正式提出了这个问题，因此四色猜想成为了世界数学界关注的问题。许多世界级的数学家参加了四色猜想会议。从1878年到1880年，两位著名的律师和数学家坎普和泰勒提交了证明四色猜想的论文，并宣布他们已经证明了四色定理。每个人都认为四色猜想从此已经解决了。

11年后，1890年，数学家海伍德通过自己的精确计算指出，坎普的证明是错误的。很快泰勒的证据也被否定了。后来，尽管越来越多的数学家绞尽脑汁，他们还是一无所获。结果，人们开始意识到这个看似简单的话题实际上是一个相当于费马猜想的难题:前人数学家的努力为后来的数学家揭示四色猜想的奥秘铺平了道路。

自20世纪初以来，科学家对四色猜想的证明基本上是基于坎普的想法。1913年，boekhoff引入了一些基于Kemp的新技术。1939年，美国数学家富兰克林证明了22个国家以下的地图可以用四种颜色着色。1950年，一些人从22个国家搬到了35个国家。1960年，证明了39个国家以下的地图只能用四种颜色着色。然后它被推广到50个国家。这一进展似乎仍然非常缓慢。电子计算机出现后，由于计算速度的迅速提高和人机对话的出现，证明四色猜想的过程大大加快了。1976年，美国数学家阿佩尔和哈肯花了1200个小时，在美国伊利诺伊大学的两台不同的计算机上做了100亿次判断，最终完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明在世界上引起了轰动。它不仅解决了一个持续了100多年的难题，而且可能成为数学史上一系列新思维的起点。然而，许多数学家对计算机取得的成就并不满意。他们仍在寻找一种简单明了的书面证明方法。

1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推论：

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形性质

等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；

2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。

1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；

2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形

角平分线

1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；

2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。

1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；

2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；

2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。

1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；

2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。角等边对等角

等角对等边边底的一半

两边相等的三角形是等腰三角形

在体育课上，我们经常会遇到障碍。尽管前进的道路上一个接一个的障碍，当我们越过障碍到达目的地时，我们的心中充满了胜利的喜悦。

今天，我们正在做的是数学游戏“障碍课程”。首先，肖敏和肖辉将在“三角板”上演示:

1.肖敏扮演白人，肖辉扮演黑人。两者都从“1”开始。肖敏先掷骰子两次，然后用他掷出的点数快速列出几个公式。例如，2和3可以表示为:

2+3=5……

2 =1 ……

2×3=6……

正确选择其中一个公式，得到的数字就是棋子经过的方块数。

2.如果棋子刚刚进入阴影方块(5，10，15，20，25，30，35)，这意味着它们遇到了“障碍”，必须回到它们原来的位置。

3.如果棋子正好在“障碍”的前排，它可以跳过障碍，跳到“障碍”的后排。例如，当肖敏移动到“4”时，他可以穿过“5”并输入“6”。

4.轮到小惠的时候，用同样的方法玩跳棋。

你想过吗，小朋友？为了使“障碍跑道”跑得快，公式的选择是关键——我们不仅要选择网格多的公式，还要避开“障碍”。

“障碍赛跑”也有两个棋盘。请和你的朋友竞争。

蜗牛盘

长蛇盘

数学故事-土耳其商人和帽子

有一个土耳其商人想找一个助手。两个人来报名，商人想测试他们谁更聪明。他带着这两个人进了一所既没有镜子也没有窗户的房子，房子里有灯光。然后商人打开一个盒子说:“里面有五顶帽子，两顶红色的和三顶黑色的。现在我要关灯了。我们三个会碰一个，然后把它戴在头上。然后我会盖上盒子，打开灯。之后，你会尽快告诉我们你戴的是什么颜色的帽子。”他说完话后，就按照吩咐做了。当灯亮的时候，两个人都看见那个商人戴着一顶红色的帽子。过了一会儿，其中一个说，“我戴着一顶黑色的帽子！”这个人猜对了。想想看，他怎么猜对了？

思考:我们应该首先排除不可能，然后一步一步地排除不可避免的事情。

解答:正确的猜测是总共有两顶红帽子。这个商人头上已经戴了一顶红帽子。如果我戴了一顶红帽子，对方可以立即断定他戴了一顶黑帽子。

我们不能马上判断。显然，对方和我戴着同样的黑帽子。因为他领先一步，所以他猜对了。

当伟大的印度数学家斯里尼瓦萨罗·马努因肺结核在伦敦住院时，他的同事哈迪来看望他。哈代从来不擅长唤醒谈兴。他对罗曼奴芝说，“我是坐1729号出租车来的。对我来说，这个数字似乎很无聊。我希望这不是一个坏兆头。”“胡说，”罗曼奴芝答道，“这个数字一点也不无聊，相反，它很有趣。这是最小的数，可以用两种不同的方式表示为三次方的二次方之和。”(罗曼奴芝不知何故立即确定了1729 = 13+123和93+103。)罗曼奴之死于1920年，享年32岁。他是一位一位数的理论家和研究整数属性的数学奇才。数论是数学中最古老的领域之一，在某种程度上也是最简单的。当然，数字是数学中最常见的基础材料。然而，仍然有许多关于它们的基本问题没有得到回答。公元前3世纪，当博加特的阿波罗尼斯天真地继续研究阿基米德的大量数字时，他可能不知道等待他和数学代数学家的是什么。“我来告诉你谁知道大数，”阿基米德想。据说他出于报复而发明了放牛的计算问题。解决这个问题所需的人数太多了，直到最近才解决。此外，解决这个问题的不是人，而是机器:世界上最快的计算机。阿基米德取得了许多不可思议的成就，这些成就使他成为他那个时代的传奇人物，而提出像放牛这样极其困难的问题只是其中之一。公元前212年，罗马将军马塞洛斯围攻西西里的锡拉丘兹港。该市的国王西伦要求国王驱逐阿基米德的60艘敌舰。阿基米德不久前发明了杠杆(所以他说了一句名言:“给我一个支点，我会移动整个地球。”)，他将杠杆和滑轮结合起来制造大型起重机，将入侵的军舰吊出港口。在战斗中，起重机还得到了弩弹弓和凸面镜的帮助，它们将阳光聚焦在船上并点燃了船。结果，罗马舰队被摧毁了。马塞卢斯说:“让我们不要和这个几何怪物战斗。他把我们的船当作杯子，从海里舀水。”阿基米德阻止敌人接近达三年之久。后来，一天晚上，当锡拉丘兹忙于宗教庆典时，罗马士兵爬上城墙，打开了城门。当马塞卢斯的军队蜂拥而至时，他告诉他的下属:“没有人敢对阿基米德动一根毫毛。这个人是我们的客人。”梅斯鲁斯的一名士兵在院子里发现了阿基米德。那时，阿基米德正在沙滩上画几何图形。士兵不服从命令，拔出了剑。阿基米德问道:“我的朋友，在你杀我之前，请让我画一个圈。”士兵毫不犹豫地把剑对准阿基米德。阿基米德躺在地上，喃喃地说:“他们拿走了我的身体，但我会拿走我的灵魂。”就这样，他平静地死去了。根据阿基米德的愿望，人们在他的墓碑上刻了一个圆柱体，里面是一个球体——象征着他自豪的发现，球体的体积是包含球体的最小圆柱体体积的三分之二。这个传说有多少是真的？阿基米德无疑是一个机械天才。有充分的证据表明，他设计了一种能在300英尺外投掷50磅弩石的弩车。但是最近的一项技术史研究排除了他已经制造出一种可以将敌人的船只从海上吊起的起重机的可能性。这个神话可能是基于这样一个事实:他发明了一种起重机式的装置来将他的(静止的)船吊上岸。许多科学巨人包括伽利略？伽利略和法国博物学家布冯伯爵，乔治·路易斯？莱斯奎雷对阿基米德用镜子焚烧敌舰很感兴趣。这非常类似于孩子们用放大镜烧纸。理论上，这种镜子是可以制造的，但是它需要一个可变的焦距来保持太阳光线聚焦在移动的目标上，这是普通镜子所不能做到的。(1747年，布冯声称一面复杂的镜子点燃了150英尺的木头，熔化了140英尺的铅。无论如何，阿基米德都不会费事去做一面特殊的镜子，因为那时出现了一种简单而有效的燃烧武器:石脑油与一种化学物质混合，当它与水接触时会自动燃烧，然后放入一个人们向敌舰投掷的容器中。阿基米德之死的生动描述可能相当真实，尽管人们会怀疑他说的话。公元前75年，伟大的罗马演说家西塞罗来到阿基米德的墓前，发现墓碑上刻着一个刻有球的圆柱体。牛有什么问题？它真的是阿基米德首先提出的吗？不管阿基米德是否真的出于一时的愤怒而想出了这个问题，人们都知道他确实计算过这个问题，所以它至少有2200年的历史了。问题是这样开始的:“啊！我的朋友，如果你很聪明，那就集中精力数当天的公牛数量。它们过去在西西里大平原上吃草，根据颜色分为四类:乳白色、黑色、黄色和斑点。每组中公牛的数量占大多数，它们之间的关系是:1、白公牛=黄公牛+(1/2+1/3)黑公牛2、黑公牛=黄公牛+(1/4+1/5)斑点公牛3、斑点公牛=黄公牛+(1/6+1/7)白公牛4、白公牛= (1/3+1/4)黑公牛5、黑公牛= (1/4+1/5)斑点公牛6、斑点公牛= (1/5+1/6)黄公牛7因此，这个问题涉及到数学的基本部分:用8个未知数求解7个方程(4组不同颜色的公牛和4组相应颜色的母牛)。事实证明，这些方程不难求解。事实上，他们有无数的答案，牛的最小数量是50，389，082头。这些牛可以在西西里岛6358400公顷的大平原上自由吃草。然而，阿基米德并没有就此止步。他对多头的数量提出了两个额外的限制，从而使问题变得更加困难。白公牛+黑公牛=一个平方数。9.斑点公牛+黄色公牛=一个三角形。这个问题最后说:“如果你已经计算了牛的总数，哦！朋友，你就像一个征服者，不用说，你是数字科学的专家。”由于三角数和平方数的概念，阿基米德的牛问题与华达哥拉斯的工作有关。公元前6世纪，毕达哥拉斯和他的追随者用点来形成三角形、正方形或其他几何图形来表示数字。像3、6和10这样的数字被称为三角数，因为它们可以用构成三角形的点来表示* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *西蒙从海里捞出的153号鱼也是一个三角数。出于同样的原因，像4、9和16这样的数字被称为平方数，因为它们可以用排列成正方形的点来表示:* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *不要以为古人花了很长时间去乱涂乱画来判断一个特定的数字是否可以用一个特定的几何点图案来表示，因为有一种纯数字的方法来解决这个问题。所有三角数都可以通过添加连续的整数(从1开始)来获得；例如3 = 1+2，6 = 1+2+3，10 = 1+2+3+4。所有的平方数都可以从整数的平方得到:4 = 2× 2，9 = 3× 3，16 = 4× 4。由于对带有三角形和正方形数字的公牛的限制，公牛问题变得非常困难，并且在2000年没有取得真正的进展。1880年，一位德国研究人员在枯燥的计算后发现，满足所有8个条件的最小牛头数是一个206，545位数的数字，从776开始。阿基米德可能是一个有魔力的人，但他绝不是一个现实主义者:西西里岛上永远不会有这样一群牛。正如一位一位数的理论家所说:“即使它们是最小的微生物——不，即使它们是电子，一个半径为地球到银河系距离的圆只能包含这种动物的一小部分。”但是没有人认为缺乏真实性会阻碍数学研究。20年后，1899年，伊利诺伊州希尔斯堡的一名土木工程师和他的几个朋友成立了希尔斯堡数学俱乐部，致力于寻找剩余的206，542个数字。经过四年的计算，他们最终宣布他们找到了12个最右边的数字和另外28个最左边的数字，但后来证明他们的数字都错了。六十年后，三名加拿大人第一次使用计算机发现了所有答案，但他们从未公开发表过这些答案。1981年，当它来自劳伦斯？当利弗莫尔国家实验室的克莱1号超级计算机的47页硬拷贝被印在有趣的数学杂志上时，所有206，545位数字最终被公布于世。那时，克莱1号是世界上最快的计算机。克莱的超级计算机很贵——最新型号价值2000万美元，实验室和公司不会购买它来解决古代数论问题。购买它是为了制备新药、勘探石油、破译苏联密码、在好莱坞电影中创造出色的特效以及模拟太空武器。然而，人们经常让超级计算机解决数论史上棘手的计算问题，以证明它们是否正常工作。计算这些问题的好处是，它们的答案——即使以前不知道——可以很容易地被检验:它们可以简化为方程。阿基米德的牛问题在劳伦斯？当利弗莫尔实验室检查粘土1时，问题解决了。这台巨型计算机仅在10分钟内就找到了206，545位数字的答案，并对问题的计算进行了两次测试。让我们以阿基米德处理过的一个问题来结束这一节，我们也许能够解决这个问题。莎伦给了金匠一定数量的黄金(重量为W)来制作王冠。当赫伦收到王冠时，他问阿基米德，它是否包含所有的黄金，或者金匠是否偷了一些，用更便宜的金属代替。公元前1世纪著名的罗马建筑师维特鲁威写道:“阿基米德反复思考这个问题。有一天，他碰巧来到浴室，在那里他注意到当他坐在浴缸里时，溢出浴缸的水量等于他浸入浴缸的身体排出的水量。这向他提出了解决问题的办法，所以他从浴缸里跳出来，光着身子跑回家，大喊他找到了他要找的东西。因为当他跑的时候，他大声地用希腊语反复喊着，我找到了！我找到了！”他发现了什么？阿基米德意识到，由于金是密度最高的金属，重量为W的纯金皇冠的体积将小于掺杂相同重量的金皇冠的体积。他把一个容器装满水，放入一个重量为20公斤的黄金.然后他收集溢出的水，水的体积等于金子的体积。接下来，他把另一个容器装满水，然后在监督下把皇冠放入水中。果然，它排出的水量相对较大，证明了卑鄙的金匠偷走了西伦国王的黄金。

1.e

相对性它的唯一竞争对手π而言，e就好像刚刚开始的。π因为其可追潮到巴比伦阶段的光辉历史时间而看起来更具有成严，而e却沒有什么地方值得赞叹的历史时间为其增彩。参量心是年青而充满活力的，当涉及到“提高”时，它便会出現。不论是人口数量、钱财或别的的当然总数，他们的提高一直难以避免会涉及到e

e是近似值为2.71828的数，是一个无理数，因而，我们无法了解它的精准标值。

π和e中间的关联十分让人痴迷！e的π次方和π的e次方的值十分贴近，可是大家非常容易证实e的π次方＞π的e次方（不用精准测算他们的标值）。假如应用计算方式算一下，你能发觉他们的近似值为e的π次方＝23．14069，π的e次方＝22．45916。

数字e的π次方更是大家孰知的盖尔范德参量（姓名来源于俄罗斯一位数学家盖尔范德），而且已被证实了是跨越的。可是大家针对π的e次方却了解很少，还没人证实它是无理数（即便它的确是）。

9.解析几何

解析几何给了大家一种全新的处理问題的方法，一种“回转”的演年方式。这类“回转”是“反向思维”的。使我们考虑一下这个问题，当给数字25再加17时，結果将是42。它是正向思维。我们知道这种数，必须做的仅仅把他们加起來。可是，倘若大家早已知道回答42，并明确提出一个不一样的难题，即如今大家要想了解的是啥数和25求和得42。这儿便必须采用反向思维。大家要想了解未知数x的值，它考虑式子25＋x＝42，随后，大家只需将42减掉25便可了解回答。

10.欧几里得算法

花拉子密明确提出了“解析几何”这一专有名词，而且，他在9新世纪有关算数的一本书中明确提出算法”这个词。 algorithm（算法），其音标发音为“ Al Gore rhythm”，这是一个针对一位数学家和电子计算机生物学家十分关键的定义。

最先，算法是一种例行程序。它是一系列命令的编码序列，比如：你做这一件事儿，随后去做这件事儿”。我们可以看得出为何电子计算机很像算法，由于他们十分擅于实行命令，从来不出現一切误差。一些一位数学家们觉得算法是十分枯燥乏味的，由于他们是持续反复的，可是，要写成一个算法并把它译成好几百行包括数学课命令的计算机代码并不是件非常容易的事儿。这里有非常大的风险性造成 十分恐怖的不正确。写成一个算法是一项极具创造力的挑戰。针对同一项每日任务，一般有多种可挑选的方式，而大家理应找到在其中最好是的一种。一些算法将会“不符总体目标”，而一些可能是彻底无高效率的，由于他们在转弯抹角。一些算法将会测算得迅速，可是却造成了不正确的結果。

12.（2014o安徽省,第9题4分）矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）

考点：动点问题的函数图象．

分析：①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．

解答：解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；

②点P在BC上时，3＜x≤5，

∵∠APB+∠BAP=90°，

∠PAD+∠BAP=90°，

∴∠APB=∠PAD，

又∵∠B=∠DEA=90°，

∴△ABP∽△DEA，

点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．

数学故事——台湾日历之谜

莱姆警长接到巴特太太的电话，说巴特先生被绑架了。巴特是查布尔镇最富有的人，拥有数百万的财产。莱姆警长开车去了巴特的乡间别墅。巴特夫人告诉莱姆中士:“两小时前，我接到一个陌生人的电话，他说:‘巴特还活着。如果你想让巴特继续活下去，请付给我20万英镑。...直到接到电话后，我才知道巴特被绑架了。那是昨晚。”

莱姆警长问，“昨晚你在哪里？”

巴特太太说:“我昨天去了月经室，今天早上才回家。我没想到会发生这种事。”

"难道罪犯没有谈论过如何支付赎金吗？"莱姆警长问道。“他只是要求我准备好20万英镑，什么时候交钱，在哪里交钱。他说，‘我会再打电话给你。“如果你报警，巴特的头和身体会再见到你的，””巴特太太抽泣着，抽泣着。

莱姆警长再次询问了巴特的仆人。仆人说:“我没有看清闯入者的脸。在我的印象中，这个人已经40多岁了，戴着太阳镜，帽子压得很低...但是从巴特先生把来人带进书房这一事实可以看出，来人一定是巴特先生的熟人，因为巴特先生从来没有把陌生人带进书房。”

莱姆警长发现他找不到任何有价值的线索，于是开始搜寻。研究中没有发现外人的痕迹，甚至连“客人”使用的咖啡杯上也没有留下指纹。脚印留了下来，但显然是经过处理的平底光滑鞋，从这里无法打开缺口。窗户是开着的:从窗户到别墅的后门，巴特先生的脚印和“客人”的平底鞋都留下了。罪犯似乎迫使巴特先生从后门出去。但这并不重要。重要的是这张台历。莱姆警长对巴特太太说，“这一页上潦草地写着‘7891011’。夫人，你昨天离开巴特先生之前，在日历上看到这些数字了吗？”

"不，巴特没有在台湾日历上记笔记的习惯."

“所以，这表明这个数字非常重要，很有可能这个数字代表了罪犯的名字，或者罪犯的地址。夫人，据你所知，巴特得罪了那些人？或者你可以给我一份嫌疑人名单。”

“麦克尼尔、舒特、杰森、理查兹...但是巴特得罪的人不一定是绑匪！”巴特太太怀疑地问道。“我已经知道罪犯是谁了。”莱姆警长笑了笑，说道。谁是罪犯？根据什么？

1.同号两数相加，把绝对值相加，所得值符号不变。

如-1+(-1)=-|1+1|=-2、1.1+1.1=2.2

2.异号两数相加，若绝对值不等，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。若绝对值相等即互为相反数的两个数相加得0。

如-1+2=+|2-1|=1

2+(-3)=-|3-2|=-1

-3.2+3.2=0

3.一个数同0相加，仍得这个数。3.14+0=3.14

注意：

一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0。

从而确定用那一条法则。在应用过程中，一定要牢记“先符号,后绝对值”，熟练以后就不会出错了。

多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。

12.1轴对称(2)

教学设计

提出问题

1．下面的图形是轴对称图形吗?如果是，请说出它的对称轴．

注：由于本课知识的教学是建立在上一节内容的基础之上，所以安排了两个复习的问题，为问题3的提出做好准备．

2．如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系?(如下图，△ABC和△ABC关于直线MN对称)

3．如图，△ABC和△ABC关于直线MN对称，点A、B、C分别是点A、B、C的对称点，线段AA、BB、CC与直线MN有什么关系?

注：提出问题3并不要求学生马上回答，而是为下一步的探究作准备，如果学生凭观察得出猜测，那么可以通过下一步的实验进行验证．