点兵场上的神算术是谁精品19篇

若x的平方等于a，则x为a的平方根；而一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根。

一、正负不同

平方根可以是正的,也可以是负的,还可以是0,但是算术平方根一定是非负的。

二、个数不同

正数的平方根有两个且互为相反数，正数的算术平方根只有一个。

三、表示方法不同

前者非负数a的平方根为a的正负平方根，后者非负数a的算术平方根为a的正的平方根。

四、平方根和算术平方根的联系

平方根和算术平方根有着包含关系，平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个，而且非负数才有平方根和算术平方根，零的平方根和零的算术平方根都是零。

数学故事——部队调遣领域的神算

韩信是汉初特等奖获得者，擅长带兵。传说有一天，在一个部门的陪同下，他检阅了士兵们的操练。当所有士兵排成三列时，韩信问道:“最后一排还剩多少人？”外交部将报告:“两个人留在队伍的最后。”当队伍排成五车道纵队时，韩信问道:“最后一排还有多少人？”回答:“还有3个人。”最后，韩信又下达了组建一个七车道纵队的命令，得知队伍的最后还有两个人。

阵法已毕，韩问曰:“今日有多少兵来？”该部将回答，“今天应该有2345人在战场上。”韩信想了一会儿，说道，“不！球场上只有2333名球员，比你说的少了12名。”外交部半信半疑，下令重新清点队伍。结果是2333人，其中一人还不错，并吃了一惊。当国防部问韩信他是如何得到确切数字的，韩信笑着说，“我是根据你刚才报告的其余信息计算出来的。”

以上是著名的“韩信点兵”故事。这个故事的情节无疑是后人杜撰的，但军事领域的神圣算术包含着深刻的科学真理。它起源于中国古代书籍《孙子舒静》，一本公元二世纪的计算书。

《孙子兵法》中有一个问题:有一个数，余数是二除以三，余数是三除以五，余数是二除以七。现在，这个数字是多少？在几千年的漫长历史中，由于趣味与难度的结合，产生了许多神秘的名字，如“鬼谷心算”、“神奇妙算”、“简易管理技术”、“秦王密兵”、“大秋艳一书”。除了最后一个，这些不能被检查的名字与问题本身完全无关。

《孙子兵法》在这个问题上给出了以下答案:5和7相乘，然后乘以2得到70，余数除以3得到1；将3和7相乘得到21，将余数除以5得到1。将3和5相乘得到15，将余数除以7得到1。然后将余数2和70除以3得到140；将余数3和21除以5得到63；用7除得到的余数2和15，得到30。把上面的140，63，30加起来就是233。因为3×5×7=105，233减去两次105得到23。当它除以3，5，7时，余数不会改变。因此，23是“一无所知”问题的最简单的答案。

上述算法可归纳为两个等式:

70×2+21×3+15×2=233

233-105×2=23

公元1593年，明代数学家程大伟在他的著作《算法的统一》中把《孙子兵法》中的方法总结为一首美妙的诗:

“三人用七十枝名贵，五枝梅花二十一枝；

七个孩子的团聚花了半个月的时间，除了105个孩子，其他人都知道了。"

算术是数学中最古老、最基础和最早的部分。它研究数的性质及其运算。

“算术”一词是中国古代所有数学的统称。至于许多数学分支的名称，如几何和代数，它们出现得很晚。

国外系统整理了前人的数学知识，这是希腊欧几里得几何元素中最早的。《原几何》共有15卷，后两卷由人补充。这本书的大部分属于几何知识，第7、8和9卷专门讨论属于算术的数字的性质和运算。

现在拉丁语单词“算术”是从希腊语单词“数字和数字”(音韵学，sh？三声)技术的数量”。在中国，“计算”这个词的古意也是“数字”的意思，意思是计算用的竹片。在古代中国，复数是通过计算来计算的。所以“算术”包括了当时所有的数学知识和计算技巧。流传最久的《九章算术》，以及遗失的许尚的《算术》和杜中的《算术》，都是解决各种实际数学问题的方法。

关于算术的产生，还是要从数字开始。数字是用来表达和讨论数量问题的。有不同类型的量，因此产生不同类型的数。早在古代发展的初始阶段，由于人类日常生活和生产实践的需要，最简单的自然数概念出现在文化发展的初始阶段。

自然数的一个特点是它们由不可分割的个体组成。例如，树和羊是两种东西。如果你说两棵树，它们是一棵树接一棵树。如果有三只羊，它们是一只接一只的。然而，不能说有一半树或一半羊。充其量，半棵树或半只羊只能被视为木头或羊肉，而不能被视为树或羊。

然而，自然数不足以解决生活和生产中常见的除法问题，所以数字的概念第一次扩大了。分数是通过划分另一种类型的数量产生的。例如，长度是一个可以无限除的量。为了表达这些量，只使用分数。

从现有文献中可以看出，人类很早就知道自然数和分数了。例如，公元前2000年左右流传下来的古埃及莱茵草书记录了分数的计算方法。中国殷墟甲骨文中还有许多自然数。最大的数字是30，000，它们都是基于十进制位置计数的。

自然数和分数有不同的性质，数和数之间也有不同的关系。为了计算这些数字，产生了加法、减法、乘法和除法的方法。这四种方法是四种操作。

最古老的数学，算术，是通过积累和整理数和数的性质以及在应用过程中数和数之间的四种运算的经验而形成的。

在算法开发过程中，由于实际和理论的需要，出现了许多新问题。在解决这些新问题的过程中，古代算术从两个方面得到了进一步发展。

一方面，在研究自然数的四种运算时，发现只有除法比较复杂，有些可以完全除，有些不能完全除，有些数可以分解，有些数不能分解，有些数是大于1的公约数，有些数没有大于1的公约数。为了找出这些数的规律，它发展成为一个数学分支，专门研究数的性质，独立于古代算术，称为整数理论，或初等数论，并取得了新的发展。

另一方面，古代算术中讨论了各种类型的应用问题和这些问题的各种解决方案。在长期的研究中，人们自然会受到启发，寻求这些应用问题的一般解决方案。也就是说，我们能否找到一种通用的、更普遍适用的方法来解决同类应用问题，于是我们发明了抽象的数学符号，从而发展成另一个古老的数学分支，即初等代数。

随着数学的发展，算术不再是数学的一个分支。现在我们通常只把算术作为小学的教学科目。目的是使学生理解和掌握关于数量关系和空间形式的最基本的知识，正确和快速地执行整数、小数和分数的四种运算，对现代数学中一些最简单的思想有初步的理解，并具有初步的逻辑思维能力和空间概念。

现代小学数学的具体内容基本上是古代算术知识，即古代算术和现代算术的许多内容是相同的。然而，现代算术和古代算术之间仍有差异。

首先，包括数学家在内的古代成年人研究了算术的内容。现在这些内容已经成为孩子们的数学。其次，在现代小学数学中，总结了长期总结出来的基本运算性质，即加法和乘法的交换和组合规律，以及乘法对加法的分布规律。这五条基本运算法则不仅是小学数学中数学运算的重要性质，也是整个数学特别是代数中重点研究的主要性质。

第三，在现代小学数学中，也有集合、函数等数学基本概念的思想。如和、差、积、商的变化，数与数的对应关系，比率与比例等。

此外，小学数学现在包括小数和它们的四种运算，这只是在16世纪才出现。应该指出的是，十进制分数不是一个新的数字，但可以被视为另一种书写分母是10的幂的分数的方式。

我们在这里把算术列为第一个分支，主要是为了强调在古代所有的数学都被称为算术，而现代代数和数论最初是由算术发展而来的。后来，数学和数学的概念出现了，取代了算术的含义，包括所有的数学，算术成为一个分支。因此，也可以说算术是最古老的分支。

的确，我小时候很笨——用我的母语来说，我是一个“愚蠢的傻瓜”。学生可以背“九九乘法表”，也可以倒着背，但我还是不明白为什么是“六六三十六”。老师把公式写在黑板上。对我来说，这就像张天师的性格。我很困惑。

我曾经说过，如果我梦见阅读，那通常是一场噩梦。这个梦主要和上算术课有关:我看见那个邪恶的算术老师拿着一本算术课本，以读唐诗的姿势读一道题的答案，很像“摇头摆尾发脾气”。然后他把书的内容抄在黑板上，然后用抑扬顿挫的声音哼唱着阅读。在闷热的教室里，我们都张开嘴，流口水，打瞌睡。

有时他会让学生在黑板上用狮子吼的方式提问:“李新明！今天有鸡和兔子在同一个笼子里，有21个头和70英尺。有多少只鸡？有多少只兔子？”

这时，我会摇摇我的小腿，勉强站在黑板前，但我的头脑中没有解决办法。刚才，当我在发呆的时候，我想，“当鸡和兔子在一起的时候，难道鸡不能啄兔子吗？我祖母养的鸡被关在笼子里。我有时切蔬菜给他们吃。一些鸡甚至猛烈地啄我的手。兔子和小鸡被锁在笼子里。他们不会受苦吗？”

平方根和算术平方根的区别如下：

1、定义不同。平方根的定义：若x的平方等于a，则x为a的平方根。算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根。

2、个数不同。正数的平方根有两个且互为相反数，正数的算术平方根只有一个。

3、表示方法不同。a的平方根为正负根号a；a的算术平方根为根号a。

平方根和算术平方根的关系：

1、二者有包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个。

2、存在条件相同。非负数才有平方根和算术平方根。

3、零的平方根和零的算术平方根都是零。

平方根和算术平方根的区别如下：1.正负不同，平方根可以是正的，也可以是负的，还可以是0，但是算术平方根一定是非负的。2.个数不同，正数的平方根有两个且互为相反数，正数的算术平方根只有一个。3.表示方法不同，前者非负数a的平方根为a的正负平方根，后者非负数a的算术平方根为a的正的平方根。

平方根的定义为，若一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根。算术平方根的定义为：若一个正数的平方等于a，则这个数叫做a的算术平方根。二者都是数学中重要的定义，切记不可将二者弄混淆。

举例：

若3²=9，3是9的平方根，(-3)²=9，-3是9的平方根，3和-3都是9的平方根，但9的算术平方根只有3。也就是说，算术平方根是平方根中的一个。

平均数是统计学中最常用的一种统计指标，一般分为算术平均数和加权平均数，它们有一定的区别。

1、定义不同

算术平均数就是简单地把所有的数值加起来，然后除以个数。加权平均数是把所有的数值乘以相应的权数，然后相加，再除以总的单位数。

2、公式不同

算术平均数的公式是： M=(x1+x2+...+xn)/n

加权平均数的公式是： M=(x1f1+x2f2+...+xnfn)/（f1+f2+...+fn）

3、用法不同

算术平均数是把所有数加起来除以个数，加权平均数是把原始数据按照合理的比例来计算，在实际问题中，当各项权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当各项权相等时，计算平均数就要采用算数平均数。

4、影响因素不同

算术平均数容易受到极端值的影响，而加权平均数容易受到各单位的数值和数值出现次数的影响。

计算机系统使用的都是二进制系统，因此如果从事IT行业，是必须要学习二进制的。今天皇菠萝小编就和大家说说二进制如何进行算术运算！

操作方法

二进制和十进制运算方法基本相同，只不过是十进制满十进一，而二进制满二进一。在二进制里数字只有0和1。

下图是小编计算的二进制加减法，希望能帮助你们理解二进制的计算规则。加法运算是按照逢二进一进行计算，减法运算按照低位不足，高位减一，低位加二计算。

二进制乘除法也是相同的道理，所以想要学习二进制的小伙伴不要让认为有什么难度！

但是很多时候参加计算机专业考试他们并不会考简单的二进制计算，而是考二进制与十进制之间的转换，所以小编认为学习二进制运算的同时也要学习一下二进制与十进制之间的转换！

15.你如何理解算术和算术数字？

算术是数学的一个分支。主要讨论非负整数、分数和小数的读取方法和计数方法，以及由它们的加法、减法、乘法、除法和乘法等运算生成的数的性质和算法。算术进一步发展成代数和数论。小学数学教科书的主要内容是算术知识。最近，由于增加了一些代数知识，为了使名称和内容一致，小学数学教科书不再叫“算术”，而是叫“数学”。

算术数是自然数、零和正分数(十进制)的统称。它也可以称为“非负有理数”。

算术平方根与平方根的区别：

1、正负不同：算术平方根只能是非负的，但是平方根可以是正的，也可以是负的，也可能是0。

2、个数不同：正数的算术平方根只有一个，正数的平方根有两个且互为相反数。

3、表示方法不同：前者非负数a的平方根为a的正负平方根，后者非负数a的算术平方根为a的正的平方根。

算术平方根：

一般地说，若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，则这个数x叫做a的算术平方根。例如：5的算术平方根是：√5 。

平方根：

平方根，又叫二次方根，表示为〔±√￣〕，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根(arithmetic square

root)。一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0。例如：5的平方根是：±√5 。

135.如何解决算术平均问题？

“算术平均”问题是日常生活中经常需要的。例如，小麦专业队承包的小麦平均亩产量为318公斤，这可以从产量上看出来。据宋林仓小学计算，三年级学生的平均身高为142厘米，平均体重为37.2公斤，这可以反映学生的身体状况。另一个例子:四年级学生在期末考试中数学平均得分为87.4分，语文平均得分为84.5分，这表明该年级学生的学习成绩较好。总之，计算平均值，可以解释生产水平、身体发育、学习成绩等。显然，掌握求平均值的方法是非常必要的。

计算算术平均数时，必须满足两个条件:①要平均分配的事物总量；②拟分割的股份总数。计算时，总额除以相应的股份总数，得到“算术平均数”。相反，平均数乘以股份总数就得到总数。

总数量÷总份数=算术平均值

例1:四年级运动组的学生测量他们的身高。其中，三个学生的身高是146厘米，两个学生的身高是145厘米，一个学生的身高是149厘米，另一个学生的身高是152厘米。这个组的学生平均身高是多少？

分析:为了找出这一组学生的平均身高，我们应该先找出这一组学生的总身高和这一组学生的总人数。总厘米数除以总人数得出平均身高厘米数。

计算:

(146×3+145×2+149+152 );( 3+2+1+1)

=(438+290+149+152)7

= 1029 u 7 = 147(cm)

这组学生的平均身高是147厘米。

例2:农业科学试验小组有两个小麦试验场。一块地22亩，平均亩产小麦452公斤，另一块地18亩，平均亩产小麦372公斤。这两块试验地的平均产量是每亩多少公斤小麦？

分析:为了找出两个试验地的平均亩产量，首先应该在两个试验地找出多少公斤的共产主义小麦

计算:

(452×22+372×18 )( 22+18)

=(9944+6696)40

= 16640 u 40

=416 (kg)

每亩平均产量是416公斤。

注:在计算两个试验地的平均亩产量时，必须首先确定两个试验地的小麦总产量和两个试验地的亩产量总和。如果两块地的平均亩产量相加，然后除以2，这样可以吗？不是。因为两块地的亩数不同，一块是22亩，另一块是18亩，不能一个一个加。如果你真的这样计算，你会得到错误的答案。也就是说，(452+372)2 = 824，2 = 412(千克)。

例3:三个学生中的每一个，A，B和C，都给了同样多的钱去买同样规格的练习本。购买后，a和b都比c多要了6份，所以a和b分别给了c 0.72元。每本练习本的价格是多少？

分析:既然我们花了同样多的钱，我们每个人应该得到同样多的练习本。事实上，甲和乙都需要比丙多6份，总共多12份(6 × 2 =)。如果甲和乙都不需要太多，并且这12份是平均分配的，每个人平均应该得到(12÷3=)4份。显然，甲方应返还丙方2份，乙方也应返还丙方2份，但没有一份返还练习本，而是甲、乙分别返还丙方0.72元。显然，这0.72元是两本练习本的价格。

计算:

0.72 °( 6-6×2÷3)

= 0.72(6-4)

=0.72÷2=0.36(元)

每本练习本的价格是0.36元。

不一定。如0的算术平方根是0,是一个非负数。所以应该说“一个数的算术平方根一定是非负数”这个限于初中的。高中的话就要说是“一个实数的算术平方根一定是非负数”。

平方根与算数平方根的区别与联系

区别：

1、平方根的定义：若x²=a,则x为a 的平方根

若2²=4,2是4的平方根,（-2）²=4,-2是4的平方根

算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根

如：2和-2都是4的平方根,而2是4的算术平方根.

2、个数不同：正数的平方根有两个且互为相反数，正数的算术平方根只有一个。

3、表示方法不同：前者非负数a的平方根为a的正负平方根，后者非负数a的算术平方根为a的正的平方根

联系：

算术平方根是平方根中的一个

注意：

1、正数有两个平方根,他们互为相反数,负数没有平方根,0的平方根是0

2、非负数的算术平方根只有一个。

大家在日常生活中常常会应用到数学中的基本原理及其公式计算，比如：外出买东西必须应用“乘除法”；计算房子、农田的总面积应用“面积公式”；建筑美学中应用“黄金分割率”等，他们不但能帮助我们轻轻松松解释日常生活碰到的一些难题，归还大家产生了数学课计算的奥秘和快乐。

大家在日常生活中常常会遇上必须记数的事儿，自然，许多计算都非常简单，但假如碰到数量很大，就算计算机去计算也会很艰难呢？此刻，数学中一些计算公式计算、计算小窍门就可以帮大家轻轻松松的处理难点。

假设一堆圆木呈规律性的放置，第一层有1根，第二层有2根，第三层有3根，依此类推一共有5层，那麼这对圆木垛现有是多少根木材呢？一般的优化算法大家会开展总数的加减法：1+2+3+4+5=15,因此 这堆圆木现有15根木材。

这类计算方式 简洁明了。但是，假设这一圆木垛一共有100层呢？假如还应用那样的计算方式 ： 1+2+3+4+5+6 ……………+95+96+97+98+99+100=5050，尽管那样还可以计算出去，但是肯定是必须计算机和時间的，显而易见那样立即求和的计算方法并不适合全部状况。

这个时候，数学中的计算窍门就大展身手了。有关圆木垛的计算，有一个那样的计算公式计算：（第一层的根数 最终一层的根数）×叠加层数÷2，应用到刚刚的事例之中便是:（1+5）×5÷2=15（根），恰好是各层求和的根数。从而，100层的圆木垛一共有：（1+100）×100÷2=5050（根），那样的算数小窍门是否为大家省了非常大的活力呢！

接下去，大家再思索一个拓宽难题，假设一堆圆木呈规律性的放置，第一层有3根，第二层有4根，第三层有5根，依此类推一共有8层，那麼这对圆木垛现有是多少根木材呢？

应用大家刚学得的计算方法：（第一层的根数 最终一层的根数）×叠加层数÷2，大家会发觉最终一层的根数沒有立即得出，依据题型我们可以计算出来第八层有10根木材。一样的大道理，假设圆木垛有100层，那麼最终一层也是是多少根呢？假如还用老办法去测算，也是一件非常耗时费力的事儿。有关最终一层的根数也有一个公式计算：第一层的根数 （叠加层数-1）×各层的差数，即：3+（8-1）×1=10（根），能够 得到最终一层的圆木根数。因此 假设圆木垛有100层，那麼最终一层的根数为：3+（100-1）×1=102（根）。算出了最终一层的根数，那麼这一圆木垛的总根数为：（3+102）×100÷2=5250（根）。

像巧算圆木垛那样应用数学中的算数公式计算为我们的日常生活处理难点的窍门也有许多，等待我们去发觉和运用。

操作方法

准备一盒数字饼干。可以和自己的孩子一边玩耍一边教他数字怎么读，若是有了一定的基础，可以增加难度，用饼干拼出简单的数学题，让他计算，若是回答正确可以奖励饼干吃。这个方法寓乐寓教，容易引起孩子的注意力。

画本。现在市场上有很多这种类似的产品，你可以着重选择一下，选择图画丰富的，数字清晰的，也可以选择涂色版本的，父母可以带领孩子一起边玩耍边学习，也可以增进孩子的学习兴趣。

糖果和花生。这些东西的数量比较多，很容易准备，可以让孩子分清数量的多与少，也可以学习1—100的数字。

买东西。用零用钱去买一些东西，让孩子帮你计算，多多的实践，“实践是检验真理的唯一标准”，通过实践，孩子可以把学到的知识运用到实践上来，这样可以调动孩子学习的积极性，增强了孩子学习算术的兴趣。

认识图形。可以借助生活中的一些常见的事物，例如书本是长方形，茶杯口是圆形等等，把知识运用在实际生活中，看到符合条件的东西就可以教，孩子在平时的玩耍中就能学到新知识。

平方根和算术平方根都是简单的数学名词。那么平方根和算术平方根的区别是什么呢?

首先是定义不同。如果x2=a那么x叫做a的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数。0有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。如果x2=a，并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数。其次是表示方法的不同。正数a的平方根，表示为±√a;正数a的算术平方根为√a。

最后有个小区别，平方根等于本身的数0，算术平方根等于本身的数是0或1。

学龄前的幼儿是能够学会一点简单的算术的。通过学习，也能促使幼儿感知觉敏锐，注意稳定，观察细致、准确；从不随意的机械的死记硬背，发展成为有意的理解的记忆；使他们的抽象思维和逻辑思维得到初步的发展，为将来学习科学技术打下初步基础。

幼儿园正确教算术方法

右手代表个位数，左手代表十位数，下面介绍具体方法：将10以内数分解成两个部分，并将这两个部分合起来成一个数。在这基础上能正确、迅速地计算10以内数的加减、连加、连减和自编求和、求剩余的应用题。

实践证明，只有让幼儿多看，多想，多实践，才能增强幼儿学算术的兴趣，调动学习积极性，能将学到的计算知识运用到实际中去，为将来进一步学习科学技术打下初步的基础。

算术平方根实际是平方根的绝对值，平方根是满足所有例如x的平方＝a的x，而算术平方根只取正值。

因为按当时的权威解释，也就是毕达哥拉斯学派的学说万物皆数，也就是说世界上所有的事物都可以用数来表示。算术平方根是指一个正数的正的平方根，负数没有算术平方根。

所以说数字的世界时很奇妙的，一数只差答案也截然不同，就像算数平方根只能是正数的正平方根，负数则没有，由此观之数字的世界还有许多值得我们去学习的，大家要加油哦。

小学数学的故事:部队秩序领域中的神圣算术

韩信是汉初特等奖获得者，擅长带兵。传说有一天，在一个部门的陪同下，他检阅了士兵们的操练。当所有士兵排成三列时，韩信问道:“最后一排还剩多少人？”外交部将报告:“两个人留在队伍的最后。”当队伍排成五车道纵队时，韩信问道:“最后一排还有多少人？”回答:“还有3个人。”最后，韩信又下达了组建一个七车道纵队的命令，得知队伍的最后还有两个人。

阵法已毕，韩问曰:“今日有多少兵来？”该部将回答，“今天应该有2345人在战场上。”韩信想了一会儿，说道，“不！球场上只有2333名球员，比你说的少了12名。”外交部半信半疑，下令重新清点队伍。结果是2333人，其中一人还不错，并吃了一惊。当国防部问韩信他是如何得到确切数字的，韩信笑着说，“我是根据你刚才报告的其余信息计算出来的。”

以上是著名的“韩信点兵”故事。这个故事的情节无疑是后人杜撰的，但军事领域的神圣算术包含着深刻的科学真理。它起源于中国古代书籍《孙子舒静》，一本公元二世纪的计算书。

《孙子兵法》中有一个问题:有一个数，余数是二除以三，余数是三除以五，余数是二除以七。现在，这个数字是多少？在几千年的漫长历史中，由于趣味与难度的结合，产生了许多神秘的名字，如“鬼谷心算”、“神奇妙算”、“简易管理技术”、“秦王密兵”、“大秋艳一书”。除了最后一个，这些不能被检查的名字与问题本身完全无关。

《孙子兵法》在这个问题上给出了以下答案:5和7相乘，然后乘以2得到70，余数除以3得到1；将3和7相乘得到21，将余数除以5得到1。将3和5相乘得到15，将余数除以7得到1。然后将余数2和70除以3得到140；将余数3和21除以5得到63；用7除得到的余数2和15，得到30。把上面的140，63，30加起来就是233。因为3×5×7=105，233减去两次105得到23。当它除以3，5，7时，余数不会改变。因此，23是“一无所知”问题的最简单的答案。

上述算法可归纳为两个等式:

70×2+21×3+15×2=233

233-105×2=23

公元1593年，明代数学家程大伟在他的著作《算法的统一》中把《孙子兵法》中的方法总结为一首美妙的诗:

“三人用七十枝名贵，五枝梅花二十一枝；

七个孩子的团聚花了半个月的时间，除了105个孩子，其他人都知道了。"

多功能算术/逻辑运算单元(ALU) ,什么是多功能算术/逻辑运算单元(ALU)

由一位全加器(FA)构成的行波进位加法器，它可以实现补码数的加法运算和减法运算。但是这种加法/减法器存在两个问题：一是由于串行进位，它的运算时间很长。假如加法器由n位全加器构成，每一位的进位延迟时间为20ns，那么最坏情况下， 进位信号从最低位传递到最高位而最后输出稳定，至少需要n*20ns，这在高速计算中显然是不利的。二是就行波进位加法器本身来说，它只能完成加法和减法两种操作而不能完成逻辑操作。本节我们介绍的多功能算术/逻辑运算单元(ALU)不仅具有多种算术运算和逻辑运算的功能，而且具有先行进位逻辑， 从而能实现高速运算。1.基本思想一位全加器(FA)的逻辑表达式为Fi＝Ai⊕Bi⊕CiCi＋1＝AiBi＋BiCi＋CiAi (2.35)我们将Ai和Bi先组合成由控制参数S0，S1，S2，S3控制的组合函数Xi和Yi，然后再将Xi，Yi和下一位进位数通过全加器进行全加。这样，不同的控制参数可以得到不同的组合函数，因而能够实现多种算术运算和逻辑运算。

图2.10 ALU的逻辑结构原理框图

因此，一位算术/逻辑运算单元的逻辑表达式为Fi=Xi⊕Yi⊕Xn+iCn+i+1=XiYi+YiCn+i+Cn+iXi上式中进位下标用n＋i代替原来以为全加器中的i，i代表集成在一片电路上的ALU的二进制位数。对于4位一片的ALU，i＝0，1，2，3。n代表若干片ALU组成更大字长的运算器时每片电路的进位输入，例如当4片组成16位字长的运算器时，n＝0，4，8，12。

2.逻辑表达式控制参数S0，S1，S2，S3 分别控制输入Ai 和Bi ，产生Y和X的函数。其中Yi是受S0 ，S1控制的Ai和Bi的组合函数，而Xi是受S2，S3控制的Ai和Bi组合函数，其函数关系如表2.4所示。

表2.4 Xi，Yi与控制参数和输入量的关系

根据上面所列的函数关系，即可列出Xi和Yi的逻辑表达式Xi＝S2S3＋S2S3（Ai＋Bi）＋S2S3（Ai＋Bi）＋S2S3AiYi＝S0S1Ai＋S0S1AiBi＋S0S1AiBi

进一步化简并代入前面的求和与进位表达式，可得ALU的某一位逻辑表达式如下

(2.36)

4位之间采用先行进位公式，根据式（2.36），每一位的进位公式可递推如下：第0位向第1位的进位公式为Cn＋1＝Y0＋X0Cn其中Cn是向第0位（末位）的进位。第1位向第2位的进位公式为Cn＋2＝Y1＋X1Cn＋1＝Y1＋Y0X1＋X0X1Cn第2位向第3位的进位公式为Cn＋3＝Y2＋X2Cn＋2＝Y2＋Y1X2＋Y0X1X2＋X0X1X2Cn第3位的进位输出（即整个4位运算进位输出）公式为Cn＋4＝Y3＋X3Cn＋3＝Y3＋Y2X3＋Y1X2X3＋Y0X1X2X3＋X0X1X2X3Cn设

G＝Y3＋Y2X3＋Y1X2X3＋Y0X1X2X3P＝X0X1X2X3则Cn＋4＝G＋PCn (2.37)这样，对一片ALU来说，可有三个进位输出。其中G称为进位发生输出，P称为进位传送输出。在电路中多加这两个进位输出的目的，是为了便于实现多片（组）ALU之间的先行进位，为此还需一个配合电路，称之为先行进位发生器(CLA)，下面还要介绍。

Cn+4是本片(组)的最后进位输出。逻辑表达式表明，这是一个先行进位逻辑。换句话说，第0位的进位输入Cn可以直接传送到最高位上去，因而可以实现高速运算。用正逻辑表示的4位算术/逻辑运算单元(ALU)的逻辑电路图如下，它是根据上面的原始推导公式用TTL电路实现的。这个器件的商业标号为74181ALU。

3.算术逻辑运算的实现上演示图中除了S0－S3四个控制端外，还有一个控制端Ｍ，它使用来控制ALU是进行算术运算还是进行逻辑运算的。当Ｍ＝0时，Ｍ对进位信号没有任何影响。此时F 不仅与本位的被操作数Y和操作数X 有关，而且与本位的进位输出，即C 有关，因此Ｍ＝0时，进行算术操作。当Ｍ＝1时，封锁了各位的进位输出，即C ＝0，因此各位的运算结果F 仅与Y 和X 有关，故Ｍ＝1时，进行逻辑操作。图2.11(b)示出了工作于负逻辑和正逻辑操作数方式的74181ALU方框图。显然，这个器件执行的正逻辑输入/输出方式的一组算术运算和逻辑操作与负逻辑输入/输出方式的一组算术运算和逻辑操作是等效的。

图2.11 74181ALU的逻辑电路图和方框图

表2.5列出了74181ALU的运算功能表，它有两种工作方式。对正逻辑操作数来说，算术运算称高电平操作，逻辑运算称正逻辑操作(即高电平为“1”，低电平为“0”)。对于负逻辑操作数来说，正好相反。由于S －S 有16种状态组合，因此对正逻辑输入与输出而言，有16种算术运算功能和16种逻辑运算功能。同样，对于负逻辑输入与输出而言，也有16种算术运算功能和16种逻辑运算功能。

表2.5 74181ALU算术/逻辑运算功能表

说明：(1)H＝高电平，L＝低电平.(2)*表示每一位均移到下一个更高位，即A*＝2A注意，表2.5中算术运算操作是用补码表示法来表示的。其中“加”是指算术加，运算时要考虑进位，而符号“＋”是指“逻辑加”。其次，减法是用补码方法进行的，其中数的反码是内部产生的，而结果输出“A减B减1”，因此做减法时需在最末位产生一个强迫进位(加1)，以便产生“A减B”的结果。另外，“A＝B”输出端可指示两个数相等，因此它与其他ALU的“A＝B”输出端按“与”逻辑连接后，可以检测两个数的相等条件。

4.两级先行进位的ALU前面说过，74181ALU设置了P和G两个本组先行进位输出端。如果将四片74181的P，G输出端送入到74182先行进位部件（CLA），又可实现第二级的先行进位，即组与组之间的先行进位。假设4片（组）74181的先行进位输出依次为P0，G0，G1P1，P2，G2，P3，G3，那么参考式(2.37)的进位逻辑表达式，先行进位部件74182CLA所提供的进位逻辑关系如下：Cn＋ｘ＝G0＋P0CnCn＋ｙ＝G1＋P1Cn＋ｘ＝G1＋G0P1＋P0P1Cn Cn＋ｚ＝G2＋P2Cn＋ｙ＝G2＋G1P2＋G0P1P2＋P0P1P2Cn(2.38) Cn＋4 ＝G3＋P3Cn＋ｚ＝G3＋G2P3＋G1P1P2＋G0P1P2P3＋P0P1P2P3Cn ＝G*＋P*Cn其中P*＝P0P1P2P3 G*＝G3＋G2P3＋G1P1P2＋G0P1P2P3根据以上表达式，用TTL器件实现的成组先行进位部件74182的逻辑电路图如下所示，其中G*称为成组进位发生输出，P*称为成组进位传送输出。

下面介绍如何用若干个74181ALU位片，与配套的74182先行进位部件CLA在一起，构成一个全字长的ALU。下图示出了用两个16位全先行进位部件级联组成的32位ALU逻辑方框图。在这个电路中使用了八个74181ALU和两个74182CLA器件。很显然，对一个16位来说，CLA部件构成了第二级的先行进位逻辑，即实现四个小组（位片）之间的先行进位，从而使全字长ALU的运算时间大大缩短。

图2.13 用两个6位全先行进位部件级联组成的32位ALU

这是种假相，实际上，是演员在做算术，只是他指挥(他的动作只有小狗知道)小狗行动罢了。这种在人为的条件下，经过多次反复训练，产生习惯性的行动，就称为条件反射。

杂技节目开始了，观众看到一群小狗走上台来，规矩地坐在那里，在驯兽演员的指挥下，根据观众们出的算术题，轮流将台上排着阿拉伯数字的牌子衔给演员，正确地“算”出答数时，大家都情不自禁地鼓起掌来，而且也会感到很惊奇。难道小狗真会做算术吗？小狗真和人一样懂得1+1=2、2+3=5吗？

我们知道，不论人或动物，有很多动作是生下来就会的。如小孩一生下来，就会吮奶。初生的小狗也会吃奶。这种行动，不经过任何学习，生下来就会的，称为先天性反应,或称无条件反射。

然而，杂技团里的小狗不是一生下来就会“做”算术的，演员训练它“做”算术，要经过一番训练功夫的。训练的时候，演员用某种动作指挥小狗衔各种算术答数的牌子，每一块牌子，演员都用一个动作来表示，这样经过长期的训练,小狗虽不“识”牌子上的字，但对演员的一举一动，留下深刻的印象，并能听从演员的指挥去衔写着算术题答数的牌子。观众们看到小狗衔的牌子上面是算术题的答数，以为小狗真会“计算”。这是种假相，实际上，是演员在做算术，只是他指挥(他的动作只有小狗知道)小狗行动罢了。这种在人为的条件下，经过多次反复训练，产生习惯性的行动，就称为条件反射。

这种条件反射的现象，在人的生活中，同样是普遍存在的。条件反射的现象，是苏联生理学家巴甫洛夫用多次的实验所证明的。现在我们知道了，杂技团里的小狗所以会做算术，也是应用了巴甫洛夫条件反射的原理。