质数

1既不是质数也不是合数，因为它的约数有且只有1这一个约数。

什么是质数什么是合数

质数又被称为素数，是指一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它自然数整除，且其个数是无穷的，具有许多独特的性质，现如今多被用于密码学上。

合数又名合成数，指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数除了零以外整除的数。除了2之外，所有的偶数都是合数，反之，除了2之外，所有的素数都是奇数。

质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。质数的定义中明确指出了一个前提条件，一个大于1的自然数。1不属于这个范围，所以1不是质数。1既不是质数（素数）也不是合数。通过单位表现出来的事物的第一个。一个或者几个事物所组成的整体，可以看作是单位“1”。

质数的性质：

1、最小的质数是2；

2、所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9；

3、质数的个数是无限的；

4、质数p的约数只有两个：1和p；

5、任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。

1的性质：

1、任何数除以1都等于原数。

2、任何数乘1都等于原数。

3、任何数的一次方都等于原数。

4、任何数的一次方根都等于原数。

5、两个互质数的最大公因数是1。

6、可以化成任何一个分子、分母相同的假分数。

7、1的因数只有它本身，是任何正整数的公因数。

又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，无法被其他自然数整除的数叫质数。

质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么， 是素数或者不是素数。

如果 为素数，则 要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。

简要回答

质数意思是指在大于1的自然数之中，除了1和它本身之外，不会再有其他因数的自然数。

质数这个概念，经常会把初学者弄得稀里糊涂，因为他们常常会把质数和其他自然数搞混淆了，下面让我们一起去了解质数吧。

详细内容

质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。

质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么， 是素数或者不是素数。

质数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。

在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。

在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明。实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性。

100以内质数表顺口溜：二、三、五、七 和 十一；十三后面是十七； 十九、二三、二十九；三一、三七、四十一；四三、四七、五十三；五九、六一、六十七；七一、七三、七十九；八三、八九、九十七。

质数（Prime number，又称素数），指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数（也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数）。

大于1的自然数若不是素数，则称之为合数（也称为合成数）。算术基本定理确立了素数于数论里的核心地位：任何大于1的整数均可被表示成一串唯一素数之乘积。为了确保该定理的唯一性，1被定义为不是素数，因为在因式分解中可以有任意多个1（如3、1×3、1×1×3等都是3的有效约数分解）。

100以内质数表顺口溜：

方法一：儿歌记忆法（一）

（二、三、五、七 和 十一） （十三后面是十七） （十九、二三、二十九） （三一、三七、四十一） （四三、四七、五十三） （五九、六一、六十七） （七一、七三、七十九） （八三、八九、九十七）

方法二：儿歌记忆法（二）

（二、三、五、七 和 十一） （十三后面是十七） （还有十九别忘记） （二三，二九，三十一） （三七，四一，四十三） （四七，五三，五十九） （六一，六七，七十一） （七三，七九）（八三，八九）（九十七）

方法三：口诀记忆法

二，三，五，七，一十一； 一三，一九，一十七； 二三，二九，三十七； 三一，四一，四十七； 四三，五三，五十九； 六一，七一，六十七； 七三，八三，八十九； 再加七九，九十七； 25个质数不能少； 百内质数心中记。

质数口诀：二、三、五、七 和 十一；十三后面是十七；十九、二三、二十九；三一、三七、四十一；四三、四七、五十三；五九、六一、六十七；七一、七三、七十九；八三、八九、九十七。合数并无特定的口诀，100以内合数数量较多共有74个。

质数（Prime number，又称素数），指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数）。

大于1的自然数若不是素数，则称之为合数（也称为合成数）。算术基本定理确立了素数于数论里的核心地位：任何大于1的整数均可被表示成一串唯一素数之乘积。为了确保该定理的唯一性，1被定义为不是素数，因为在因式分解中可以有任意多个1（如3、1×3、1×1×3等都是3的有效约数分解）。

合数性质：

1、所有大于2的偶数都是合数。

2、所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数。

3、除0以外，所有个位为0的自然数都是合数。

4、所有个位为4，6，8的自然数都是合数。

5、最小的（偶）合数为4，最小的奇合数为9。

6、每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积，即分解质因数。

质数口诀：

方法一：儿歌记忆法（一）

（二、三、五、七 和 十一） （十三后面是十七） （十九、二三、二十九） （三一、三七、四十一） （四三、四七、五十三） （五九、六一、六十七） （七一、七三、七十九） （八三、八九、九十七）

方法二：儿歌记忆法（二）

（二、三、五、七 和 十一） （十三后面是十七） （还有十九别忘记） （二三，二九，三十一） （三七，四一，四十三） （四七，五三，五十九） （六一，六七，七十一） （七三，七九）（八三，八九）（九十七）

方法三：口诀记忆法

二，三，五，七，一十一； 一三，一九，一十七； 二三，二九，三十七； 三一，四一，四十七； 四三，五三，五十九； 六一，七一，六十七； 七三，八三，八十九； 再加七九，九十七； 25个质数不能少； 百内质数心中记。

合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。合数并无特定的口诀，100以内的合数有74个，分别是：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、22、24、25、26、27、28、30、32、33、34、35、36、38、39、40、42、44、45、46、48、49、50、51、52、54、55、56、57、58、60、62、63、64、65、66、68、69、70、72、74、75、76、77、78、80、81、82、84、85、86、87、88、90、91、92、93、94、95、96、98、99、100。

在10到30中的质数有6个,分别是11、13、17、19、23、29。

质数可以这样算出来：将你知道的素数全部乘起来再加一，比如你知道2是质数，3是质数，你可以得到质数2 X 3 + 6 = 7这个质数，你知道2是质数，3是质数，5是质数，可以得到2 x 3 x 5 + 1 = 31 这个质数。

一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数（质数）整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数，称为质数。根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积，而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2，而要注意的是1既不是质数也不是合数。

9是合数。合数指的是在大于1的整数中，除了能被1和它本身整除外，还能被除O以外的其他数整除的数，9能被3整除。所以，9是合数。质数指的是在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，没有其他因数的自然数，如7的因数有1和7，所以，7是质数。

质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。质数的个数是无穷的。

合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。

合数可分为奇合数和偶合数，也能基本合数（能被2或3整除的），分阴性合数（6N-1）和阳性合数（6N+1），还能分双因子合数和多因子合数。

在数学中经常会看到质数和合数，但很多人却不知道什么是质数，什么是合数？

质数

根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，最小的质数是2。

质数又称素数，个数是无穷的，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数。

合数

合数又名合成数，指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被0除外的其他数整除的数。两个或两个以上素数的乘积，可以组成一个合数，并且只可以组成一个合数。反之，一个合数可以拆分为一组素数的乘积，并且只可以拆分为一组素数的乘积。

0是最小的自然数，0既不是质数，也不是合数，从质数和合数的意义上面来看，假如出现了一个自然数，只存在1和这个数本身两个因数，那么这样的数就可以叫做质数，假如出现的1个自然数，除了存在的1和这个数本身之外，还存在着其他的因数，那么这样的数就可以叫做合数。

数的分类

自然存在的数可以分为广义的数和狭义的数，通常情况下，广义的数指的就是向量、矩阵、群等，而狭义的数所指的就是实数和复数，其中复数的表示方式是a+bi，在这个式子当中，a和b所代表的都是实数，i代表的就是虚数，另外一方面，实数又可以具体的分为有理数和无理数两种，而无理数同时包括正无理数和负无理数，有理数同样也可以分为正有理数、负有理数和零。

本无质数和合数之分

其实在自然界里存在的数，原本是没有质数和合数的分别的，只不过为了方便人们的研究，把这些数按照一定的原则区分开来，这就是人为的做出来的一个规定，在数学上面规定，质数的范围是除了能够被自己和1整除的自然数，比如2、3、5等数，虽然在计算的时候0也符合这一规定，但是自然数都是从1开始的，并不包含负数以及0。

在自然界存在的所有数里面，除了质数之外，剩下的所有数都可以说是合数，当然1是一个比较特殊的数，同时还符合质数最原始的定义，但是人们又制定出了另外一个规定，规定1不是质数，也不是合数，仅仅是为了满足研究问题时的需要而规定的，那么这样就形成了质数和合数的定义，这样大家在学习自然界的数的时候能够变得更清晰。

这其实就是质数，有无限个。一个大于1的自然数且除了1或者是本身之外，只要不能够被其他自然数整除的，全部都被称之为素数。比如数字3除了1×3可以等于3之外，其他没有什么两个整数相乘可以等于3，这就意味着三就是一个素素。除此之外，还有常见的数字5数字7，数字11，数字13，还有数字17等等。其中最小的应该就是数字二，因为素数本身就有着无穷的个数，因此也没有什么最大的素数。以此类推就可以算出很多不一样的数字，而这些数字各有各的特点。

质数的一些性质：

质数p的约数只有两个：1和p。这里还会有一个基本的定理，任何一个大于一的自然数，要么本来就是质数，要么就可以分解成好几个质数之积。这种分解基本上都是唯一的，而这里还会有一个独特之处，质数的个数是无限的。没有最小的设定，没有最大的设定，从数量方面来看，拥有着无限的可能性。

质数的应用

一般都是作用在密码学上，所谓的就是想要在传递消息时加上字数，然后经过编码之后传递给收信人。收信人在收到信息之后，如果没有密钥。在此时就需要解密，解密的过程就等同于是一个寻找素数的过程。不过可能会因为寻找的时间比较久，然后错失良机，哪怕得到的信息也可能是没有任何的意义。这是其中之一，另外也会作用于汽车变速箱的设计上，相邻两个大小的齿轮就会直接设计成质数。能够有效增加中间的最小公倍数，可以增加耐用度，可以有效减少故障。由此可见，这一个数字在多个方面都有众多的优势，但一般都需要结合起来分析。

自然界的数本无质数和合数之分，是人们为了研究方便而分开的，那就要人为地做一个规定。

数学上规定质数是除了能被自己和1整除的自然数(我就觉得被1整除有点废话，但是数学定义就是这么说的)，就是除了1和自身之外，用其它所有的数来除都有余数，如2、3、5、7、11等等。

当然，细心一计算，0是符合这个条件的(另外还包括1)，但不幸的是，在研究数论的学科中，自然数是从1开始的，并不包含0和负数。所以，0就不是质数了。同时负数也都没有质数、合数之分。所以，虽然-5、-6都是整数，但它们不能分为质数合数，即:整数和合数、质数不是同一概念。并不是所有的整数都能分为质数合数。

自然数中除了质数之外的数那就全部是合数了。

还有，1是一个特殊的数，它也符合质数的原始定义，但人们又规定了1不是质数，同时也不是合数。这也是为了研究问题的需要而规定的。

所以，质数的定义就成了:自然数中除1外只能被1和自身整除的数就是质数。

拓展阅读：

有2 3 5 7 11 13 17 19在所有的非零自然数中，除1和自身外没有其他因数的数叫做质数。2满足这个定义 但是1不是历史上，曾经将1也包含在质数之内，但后来为了算术基本定理，最终1被数学家排除在质数之外，而从高等代数的角度来看，1是乘法单位元，也不能算在质数之内，并且，所有的合数都可由若干个质数相乘而得到。

173.如何判断一个数是否是质数？

正确而快速地判断一个自然数是否是质数是数的可除性的一项重要基本技能。

由于大于2的质数必须是奇数(奇数不一定是质数)，当判断一个自然数是否是质数时，首先要看它是奇数还是偶数。如果是大于2的偶数，这个数肯定不是质数，而是一个复合数。如果它是奇数，它可能是质数。在这种情况下，通常使用以下两种方法:

(1)查表法:

主要是指检查“质数表”。质数表的编制过程如下:根据自然序列，第一个数1不是质数，所以必须排除。那么从2到500的所有自然数都是按顺序写的。在这些数字中，2是一个质数，把它放在后面，把2的所有倍数都划在2之后，2之后的3是质数，然后把3之后的3的所有倍数都划在3之后，依此类推，剩下的都是500以内的质数。

第一个使用上述方法寻找素数的人是古希腊数学家厄拉多塞。因为他在蜡板上写自然数，并在开始时把不是质数的数字(复数)分别打孔，所以在蜡板上打了许多像筛子一样的孔。后来，每个人都把这种求素数的方法称为“筛法”。

以下是通过筛选方法找到的500以内的质数表:

这种质数表也可以编译成更大的数字范围，如1000以内的质数表等。为了判断一个自然数是否是质数，如果它在表中指定的数值范围内，可以用查表法来判断。

(2)审判庭:

如果手头没有质数表，我们可以用试除法来判断自然数是否是质数。例如，为了判断143，179是否是质数，我们可以试着用2，3，5，7，11等质数来除它们。从小到大。一般来说，在20以内去掉8个质数2、3、5、7、11、13、17和19就足够了。例如，143，这个数字的位数是3，排除了被2和5整除的可能性。它的位数之和是1+4+3=8，不可能被3整除。口头计算也证明了它不能被7整除。除以11，商正好是13，因此143不是质数。

179的测试和移除过程如下:

179÷2 = 59…2

179÷3 = 66…1

179÷5 = 35…4

179÷7 = 25…4

179÷11 = 16…3

179÷13 = 13…10

179÷17 = 10…9

当179÷17得到的不完全商10比除数大17小时时，就没有必要再继续尝试，179被确定为质数。这是因为2，3，5，7，11，13和17不是179的质因数。因此，179不再具有大于17的质因数，或者179不能被小于10的数整除。因此，179必须是质数。

综上所述，当用试除法判断一个自然数A是否是素数时，只要用每个素数从小到大依次去掉A，如果一个素数是可整除的，这个A就可以确定不是素数；如果它不能被整除，如果不完全商小于这个质数，那么就没有必要继续整除，可以得出结论，A一定是质数。

172.质数、质因数和质数之间有什么区别？

素数、素数因子和互质数的概念很容易混淆，因为它们都有“质”和“数”这两个词。正确区分这些概念对于掌握数的可除性的基本知识具有重要意义。

(1)素数:自然数。如果只有1和它的两个除数，这个数称为素数(也称为素数)。

例如:

1的除数是:1；

2的除数是:1，2；

3的除数是:1，3；

4的除数是:1，2，4；

6的除数是:1，2，3，6；

7的除数是:1，7；

12的除数是:1，2，3，4，6，12；

……

从上述数的除数可以看出，自然数的除数有三种情况:

(1)只有一个除数，例如1。因此，1既不是质数也不是复合数。

(2)只有两个除数(1和自身)，如2，3，7...

(3)有两个以上的除数，如4，6，12...

第二种情况叫做质数。在第三种情况下，除了1和自身之外，还有其他的除数。这样的数字被称为复合数。

(2)素因子:一般来说，一个数的因子是素的，这叫做这个数的素因子。

例如:18=2×3×3

这里，2，3和3都是18的因子，2和3本身是质数，所以我们称2，3和3为18的质数。这里应该注意的是:18也可以写成3和6的乘积，即18=3×6，毫无疑问3和6都是18的因子，但是3本身是一个质数，可以称之为18的质数，而6是一个复合数，不能称之为18的质数。

(3)素数:两个或几个自然数，当它们的最大公约数是1时，这两个或几个数称为素数(也称为素数)。

例如:5和7，4和11，8和9，7，11和15，12，20和35。

对于上面的几组数，它们的最大公约数是1，所以它们都是素数。在上述两个质数中，如7、11和15，7和11是质数，11和15是质数，7和15是质数。这种情况下，我们将这三个数字称为“两两互素”。然而，在这组数字12、20和35中，虽然它们也是质数，但它们不是质数，因为12和35是质数，而12和20、20和35不是质数。

应该注意的是，无论两个数是互质还是两个以上的数是互质，这些数本身不一定是质数，例如5和7是互质数，它们本身就是质数；4和11是质数，其中4不是质数；8和9是质数，但8和9本身不是质数。

简而言之，质数指的是一个数。例如，“2是质数，11是质数”等等。虽然质因数也指一个数，但它指的是另一个数。例如:“5是35的质因数。”如果你离开35岁，孤立地说:“5岁是首要因素。”这是不合适的。因此，素因子有双重身份:首先，它们必须是素数；第二个必须是另一个数的因子。

齐次数和互素数的素因子是不同的。它不是指一个数，而是指除了1以外没有其他公约数的两个或多个数。

由此可见:掌握素数、素数因子和互质数的概念，其中素数是基础。这三个术语既有联系又有区别。只有通过透彻的理解和正确的区分，才能防止混淆。

200以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41 43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101 103、107、109、 113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、173、179、181、191、193、197、199。

200以内的质数表

200以内的质数表如图。

质数是什么

数又称素数，质数指的是大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的自然数，质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，N+1 是素数或者不是素数。与质数相对的是合数，是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数(0除外)整除的数。

质数和合数介绍：质数，又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，就是质数。换句话说，就是该数除了1和它本身以外，不再有其他的因数就是质数，否则称为合数。

质数具有许多独特的性质：1、质数p的约数只有两个：1和p。2、初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。3、质数的个数是无限的。4、质数的个数公式π(n)是不减函数。5、若n为正整数，在n的2次方到(n+1)的2次方 之间至少有一个质数。6、若n为大于或等于2的正整数，在n到n!之间至少有一个质数。7、若质数p为不超过n(n大于等于4)的最大质数，则p>n/2 。

合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他整数(0除外)整除的数。以下条件，满足任何一个就是合数。1、是两个大于1 的整数之乘积。2、拥有至少三个因数(因子)。3、有至少一个素因子的非素数。4、两个或两个以上素数的乘积，可以组成一个合数，并且只可以组成一个合数。反之，一个合数可以拆分为一组素数的乘积，并且只可以拆分为一组素数的乘积。

最小的质数是2，也是唯一的一个既是偶数又是质数的数，除了2以外，质数都是奇数。

质数定义

质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数。任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。

性质

质数的个数是无穷的，一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数;、一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界;一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数，简称为 (1 + 2)。

102是合数，因为102除了1和它本身外，还能被其他的整数整除。

质数又称素数，它的个数是无穷的。质数指一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除。可以理解为，该数除了1和它本身以外不再有其他的因数。另外，合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被除了0以外的其他整数整除的数。

在数学中，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积。合数是两个大于1 的整数之乘积，它至少有三个因数和至少有一个素因子的非素数。另外，需要注意的是，"0"“1”既不是质数也不是合数。

最小的质数是2，最小的合数是4，它们的积等于8。

质数又称素数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。质数的个数是无限的;它的约数只有1和它本身。所有大于10的质数中，个位数只有1，3，7，9。

合数是指在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其他非零整数整除的数。所有大于2的偶数都是合数;所有大于5的奇数中，个位为5的都是合数;除0以外，所有个位为0的自然数都是合数;所有个位为4、6、8的自然数都是合数。

10以内的质数有4个，分别为2、3、5和7。质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数，那么这个自然数叫做质数，否则称为合数。

质数的应用：

在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。

质数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中(实为寻找素数的过程)，将会因为找质数的过程(分解质因数)过久，使即使取得信息也会无意义。

在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明。实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性。

以质数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。

多数生物的生命周期也是质数(单位为年)，这样可以最大程度地减少碰见天敌的机会。