无理数的无理数(经典20篇)

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，可以看出，无理数在位置数字系统中表示不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.141592653589793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。

无理数，也称为无限不循环小数，最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现，它是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。如果将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，常见的无理数有非完全平方数的平方根、圆周率π和欧拉数e(其中π和e为超越数)还有黄金比例φ等。

公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯发现了并提出了无理数，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，它证明了在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。希伯索斯也因为这一发现与当时该学派产生对立，当时的领导人害怕危及他们在学术界的统治地位，于是当时的毕氏门徒极力封锁该真理的流传，并处死了希伯索斯。然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”—这就是无理数的由来。

小学数学故事:不合理的数字干扰

无限非循环十进制数称为无理数。据说它的发现还引起了一场巨大的风暴。

公元前6世纪，古希腊有一个毕达哥拉斯学派——一个在数学研究方面取得巨大成就的宗教、科学和哲学团体，其中毕达哥拉斯定理和无理数最为著名。毕达哥拉斯学派认为，宇宙中的所有数字都可以被简化为整数或整数之比。毕的一个弟子埃伯苏斯发现等腰直角三角形的斜边与直角边之比，或正方形的对角线与一边之比，不能用整数比来表示，他感到很惊讶。他们证明了这个数字不是整数，即使绞尽脑汁也找不到，所以埃伯斯等人阐述了这个发现。他的理论违背了bi学校的信条，激起了同伴们的愤怒。他被扔进了海里。

根据另一个传说，bi学校规定，每当有新的发现或发明，它必须保密，并保持秘密，否则将受到严厉的惩罚。在他们发现无理数之后，他们认为无理数是一种无法形容的符号。其中一名门徒透露了这一发现，并受到了翻船的惩罚。然而，真理不能被封闭。不管门徒们怎么反对，无理数最终闯入了数字的圣地，进一步扩展了数字的概念。无理数很密集。不管它们有多接近，在任意两个有理数之间都有无穷多个无理数。

数学猜想系列故事——“无理数”的由来

公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的一个信徒希帕索斯发现了一个惊人的事实:正方形的对角线和一边的长度(如果正方形的边长是1，对角线的长度就不是一个有理数)的不可通约性与毕达哥拉斯学派的哲学“一切都是一个数”(意为有理数)大相径庭。这一发现吓坏并激怒了学校的领导，他们认为这将动摇他们在学术界的主导地位。结果，芙蓉花被监禁，以各种方式被折磨，最后被处以沉船的惩罚。

不可通约的本质是什么？很长一段时间以来，有许多不同的意见，但没有一个正确的解释。两个不可公度数的比率也被认为是一个不合理的数字。意大利著名画家达芬奇在15世纪称之为“无理数”，德国天文学家开普勒在17世纪称之为“难以形容的数”。

然而，毕竟，真理不能被淹没，毕学派抹杀真理是“不合理的”。为了纪念献身真理的光荣学者芙蓉，人们把不可通约量命名为“无理数”——这就是“无理数”的起源。

同时，它导致了第一次数学危机。

无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度。

常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。

可以看出，无理数在位置数字系统中表示不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。无理数也可以通过非终止的连续分数来处理，简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、√2等。

数学中的定义有时真的是傻傻的搞不清，哪些自然数、实数、整数金额、有理数、无理数，就算他们都称为某某某数，依然十分傲骄的拥有 自身的“真实身份”和“影响力”。 在数学中，无理数能够了解为无尽不循环小数，那无理数中最知名的e、π、φ又拥有如何的小故事呢？

与钱相关的“e”

e是自然对数的同底数幂相加，是一个无尽不循环小数，其值是2.71828...。在今天的商业银行里, e 是对金融家最有协助的一个数。大家将会会问, 像e 那样的数是如何又以哪种方法与商业银行发生性关系呢? 要了解后面一种是专业跟“元” 和“ 分” 相处的！倘若沒有e 的发觉，金融家要测算今日的贷款利息就需要花销很多的時间，不论是逐曰逐曰地算利滚利，還是不断地算利滚利都没法防止，幸而的是，e 的出現助了一臂之力。

非常值得自豪的“π”

魏晋、魏晋南北朝造成了俩位在我国古代数学史上最牛为知名的一位数学家，祖冲之和刘徽。祖冲之最巨大贡献是求取非常精准的圆周率。历经长期性的艰难科学研究，他测算出圆周率在3.1415926和3.1415927中间，变成世界上最早把圆周率标值测算到七位数据之上的生物学家。直至15世纪，沙特阿拉伯一位数学家卡西才获得更强的結果。祖冲之还得出了圆周率的密率355/113（≈3.1415929），而这一結果直至十六世纪才被意大利人伯特和荷兰人安托尼斯再次发觉，因此 ，我国圆周率测算领跑全球一千年。

美丽的无理数“φ”

如果我们把一条直线分为2个一部分，使成条直线与很长一部分之比相当于较长一部分与较短一部分之比, 则分点C 被称作以“ 金子比例” 区划了AB 。这一比例的标值等于0.618，用希腊字母φ(phi)表明。那麼，φ又有如何的小故事呢？伦敦著名整形外科医生朱丽安·德阿德里亚诺博士研究生根据脸部投射技术性，精确测量了一些著名男明星的面部整形和双眼、眼眉、下颌、鼻部、嘴巴等的尺寸及彼此之间的间距，综合性核对这种数据与古希腊艺术美学黄金比例占比的差别，列举了“世界上最俊秀脸孔”总榜。名列第一的是今年已经56岁的外国明星乔冶·克鲁尼，他的脸部与古希腊艺术美学黄金比例占比的精准度达到91.86%。排行第二至第五名的先后是英国著名演员布莱德利·库珀、美国影星布拉德·皮特、美国男歌星兼知名演员哈里·斯泰尔斯、美国前篮球明星彼得·大卫贝克汉姆。

来看，这三个有故事的无理数不但在数学中普遍，在日常生活中也可以具有非常大的功效。尤其是无理数“φ”，在工程建筑、拍摄、雕塑作品等造型艺术行业都获得了非常好地应用。由此可见，要是细心科学研究,数学课也是有美丽动人的功效和风采。

无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数

整数和分数统称为有理数

数学上，有理数是两个整数的比，通常写作a/b，这里b不为零。分数是有理数的通常表达方法，而整数是分母为1的分数，当然亦是有理数。

数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比(ratio)，通常写作a/b，故又称作分数。希腊文称为λογο??，原意为“成比例的数”(rationalnumber)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。不是有理数的实数遂称为无理数。

所有有理数的集合表示为Q，有理数的小数部分有限或为循环。

有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。简单来讲，能够用分数表达的数就是有理数，不能用分数表达的数就是无理数。

实数（R）可以分为有理数（Q）和无理数，其中无理数就是无限不循环小数，有理数就是有限小数和无限循环小数；其中有理数又可以分为整数（Z）和分数；整数按照能否被2整除又可以分为奇数（不能被2整除的整数）和偶数（能被2整除的整数）。

有理数（Q）

有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。比如4=4.0, 4/5=0.8。

无理数（R-Q）

无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。

二者区别

有理数和无理数都能写成小数形式，但是，有理数可以写为有限小数和无限循环小数，而无理数只能写为无限不循环小数。有理数可以写为整数之比，而无理数不能。

简单来讲，能够用分数表达的数就是有理数，不能用分数表达的数就是无理数。

0是有理数，是介于-1和1之间的整数，也是最小的自然数。有理数是正整数、0、负整数和分数的统称，是整数和分数的集合。

0是有理数还是无理数

0是介于-1和1之间的整数，是最小的自然数，也是有理数。0既不是正数也不是负数，而是正数和负数的分界点。0没有倒数，0的相反数是0，0的绝对值是0，0的平方根是0,0的立方根是0，0乘任何数都等于0，除0之外任何数的0次方等于1。0不能作为分母出现，0的所有倍数都是0，0不能作为除数。

有理数为整数(正整数、0、负整数)和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。

什么是有理数：

有理数是能够表示成两个整数之比的数，包括整数，有限小数和无限循环小数整数和分数统称为有理数。

数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比，例如3/8，通则为a/b，故又称作分数。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。

什么是无理数：

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数。

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能"测量"，即没有长度（"度量"）。

无理数应满足三个条件：

1、是小数；

2、是无限小数；

3、不循环。

生命之源对数学充满兴趣。在这里，我为大家汇编了一些小学生的数学故事。我希望父母和孩子能够理解数学，并且幸福地热爱数学。

小学生的数学故事:无理数的发现

在古希腊，有一位伟大的数学家，名叫毕达哥拉斯。他开办了一所学校，教了许多学生。他的学校被称为“毕达哥拉斯学院”，其他人将其命名为“毕达哥拉斯学校”。他们相信数字是世界的法则，是控制生死的力量。他们像神一样崇拜数字。

毕达哥拉斯和他的学生在学院学习数学，并有许多数学发现，如毕达哥拉斯定理。这个定理在我国被称为“毕达哥拉斯定理”。稍后我们将讨论这个定理。

毕达哥拉斯认为世界上只有整数和分数，没有其他数字。然而，他的一个学生，埃伯斯，发现了这样一个数字。例如，一个边长为1的正方形。从一个角度到面对它的一个角度，线段的长度是多少？

毕达哥拉斯得知这个学生的发现后感到震惊，因为如果他承认了这一发现，他的学校的基础将不复存在。伟大的数学家毕达哥拉斯在这方面是可耻的:他禁止埃伯斯传播这一发现，否则他将不得不接受科学院的戒律——活埋。

但是埃伯斯不得不私下和其他人讨论他的发现。就这样，这个发现被传播开来。毕达哥拉斯派非常愤怒。他们来找埃伯斯帮忙。然而，埃伯斯事先听到了这个消息，他先逃走了。忠于老师的学生不会让他走。虽然埃伯斯已经在国外流浪了好几年，但他的其他门徒却在一艘海船上找到了他。其他的门徒根本没有提到他们的旧友谊。他们把埃伯斯放进口袋，扔进海里。埃伯斯就是这样被杀的。

虽然埃伯斯被杀了，但他发现的“新号码”仍然存在。后来，人们从它的发现中了解到，除了整数和分数，世界上还有一个“新数字”。将正方形的对角线与其边长进行比较，就可以看到这个新数字。这个新号码的名字是什么？当时，人们认为整数和分数已经习惯了并且容易理解，所以他们被统称为“有理数”，而埃伯斯发现的新数字被称为“无理数”。

π是无理数。因为，根据有理数的定义：有理数是一个整数a和一个正整数b的比，π=3.1415926，是无限不循环小数，不在有理数的范围。

有理数

整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。

无理数

无限不循环小数又称为无理数。它不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。

“无理数”是一个简易的语汇，但却非常少有些人了解这一简易的语汇里边竟沉定着一个人的生命，创造了一段惨重的历史时间。公元500年，古希腊文化毕达哥拉斯学派的一个徒弟希帕索斯发现了一个令人震惊的客观事实，一个正方形的直线两者之间一边的长短是不能公度的。这类不能公度性与毕达哥拉斯学派“万物皆位数”(有理数)的生活哲理截然不同。这一发现使该学派领导人员惶恐不安、气愤，觉得这会松懈她们在学界的执政影响力。希帕索斯因而被囚禁，遭受受尽折磨，最终遭受沉舟处决的处罚。

一位很有才气的一位数学家就是这样蛮横无理的被奴仆专制制度的学阀们摧毁了。可是这使大家认清了希帕索斯的观念使用价值。此次恶性事件后，毕达哥拉斯学派的组员们的确发现：不仅等腰直角三角形的直角边没法去量准圆弧，并且圆的直径也没法去量尽圆上，哪个数据是3.14159265358……也是始终也没法精准。渐渐地，她们觉得后悔了，后悔莫及杀掉希帕索斯的蛮不讲理行動。她们逐渐明白了，明白了判断力并并不是肯定靠谱的，有的物品务必靠科学研究。在数据“0”和自然数等有理数以外，也有一些无尽的不可以循环系统的小数，这的确是一种新发现的数——她们将其起名叫“无理数”，为此警告后代。这一姓名真正地体现了数学课的原本外貌，另外也真正地纪录了毕达哥拉斯学派初中阀的蛮不讲理和希勃索斯的顽强的人格特质。

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

根号5是无理数吗

根号5是无理数。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等，无理数的特征是无限的连分数表达式，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

证明过程

1.设根号下5不是无理数而是有理数，则设根号下5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)。

2.两边平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)。

3.p^2含有因数5，设p=5m，代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2，q^2含有因数5，即q有因数5。

4.这样p,q有公因数5，这与假设p,q最大公约数为1矛盾。

5.根号下5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)不成立，

所以，根号下5不是有理数而是无理数。

有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

21和14的最小公倍数是42。最大公因数和最小公倍数之间的性质：两个自然数的乘积等于这两个自然数的最大公约数和最小公倍数的乘积。最小公倍数的计算要把三个数的公有质因数和独有质因数都要找全，最后除到两两互质为止。

方法一、分解质因数法求最小公倍数。

14=2x7

21=3x7

所以最小公倍数：2x3x7=42。

方法二、短除法求最大公约数。

先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。

短除法求最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。

常见的无理数有π、e、根号2、根号3等。

无理数也称为无限不循环小数，就是小数点后有无数个数字。

有理数则能够表示为两个整数的比值，而实数又由无理数和有理数组成。

事实上，所有的无理数都能写成无穷多项有理数的和的形式，而基本上我们生活中会遇到的无理数，基本上都能展开成级数形式，比如π和e 。

无理数看来与常识似乎相矛盾，在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。

在理解无理数时，要抓住"无限不循环"这一时之，它包含两层意思：一是无限小数；二是不循环．二者缺一不可．归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001...等；

（4）某些三角函数，如sin60o等

注意：判断一个实数的属性(如有理数、无理数)，应遵循：一化简，二辨析，三判断．要注意："神似"或"形似"都不能作为判断的标准．

数学故事——不合理的数字干扰

无限非循环十进制数称为无理数。据说它的发现还引起了一场巨大的风暴。

公元前6世纪，古希腊有一个毕达哥拉斯学派——一个在数学研究方面取得巨大成就的宗教、科学和哲学团体，其中毕达哥拉斯定理和无理数最为著名。毕达哥拉斯学派认为，宇宙中的所有数字都可以被简化为整数或整数之比。毕的一个弟子埃伯苏斯发现等腰直角三角形的斜边与直角边之比，或正方形的对角线与一边之比，不能用整数比来表示，他感到很惊讶。他们证明了这个数字不是整数，即使绞尽脑汁也找不到，所以埃伯斯等人阐述了这个发现。他的理论违背了bi学校的信条，激起了同伴们的愤怒。他被扔进了海里。

根据另一个传说，bi学校规定，每当有新的发现或发明，它必须保密，并保持秘密，否则将受到严厉的惩罚。在他们发现无理数之后，他们认为无理数是一种无法形容的符号。其中一名门徒透露了这一发现，并受到了翻船的惩罚。然而，真理不能被封闭。不管门徒们怎么反对，无理数最终闯入了数字的圣地，进一步扩展了数字的概念。无理数很密集。不管它们有多接近，在任意两个有理数之间都有无穷多个无理数。

公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的一个信徒希帕索斯发现了一个惊人的事实:正方形的对角线和一边的长度(如果正方形的边长是1，对角线的长度就不是一个有理数)的不可通约性与毕达哥拉斯学派的哲学“一切都是一个数”(意为有理数)大相径庭。这一发现吓坏并激怒了学校的领导，他们认为这将动摇他们在学术界的主导地位。结果，芙蓉花被监禁，以各种方式被折磨，最后被处以沉船的惩罚。

不可通约的本质是什么？很长一段时间以来，有许多不同的意见，但没有一个正确的解释。两个不可公度数的比率也被认为是一个不合理的数字。意大利著名画家达芬奇在15世纪称之为“无理数”，德国天文学家开普勒在17世纪称之为“难以形容的数”。

然而，毕竟，真理不能被淹没，毕学派抹杀真理是“不合理的”。为了纪念献身真理的光荣学者芙蓉，人们把不可通约量命名为“无理数”——这就是“无理数”的起源。

同时，它导致了第一次数学危机。

无理数是什么?很多同学在接触到无理数的时候会有一点不知所措，这种没有规律的数字有的时候确实让人觉得头疼。

起初，人们认为无理数不是数。人们想：“搞不清楚是什么的数，我怎么知道你说的是几?没道理吗!”其实它只是一种特殊的数而已。

当然了，后来人们还是接纳了它，也把它作为一种特殊的数来看待，但是没有叫它”特殊的数”，而是叫它“无理数”。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单来说，无理数是无限不循环小数。如圆周率、√2(根号2)等。