公理

36.不平等的公理是什么？

不等式有几个公理:

(1)如果在不等量的基础上增加或减少等量的金额，原来的大额仍然是大额；

(2)如果不相等的数量乘以或除以相同的正数，则原始的大数量仍然是大的；

(3)不等金额加不等金额，大金额大于小金额；

(4)相同的金额减去不同的金额，减去大的，差值小；

(5)如果第一数量大于第二数量并且第二数量大于第三数量，则第一数量大于第三数量；

(6)总额大于其任何部分；

(7)在不等式中，一个量可以被它的等价量代替。

欧几里德，古希腊三大数学家之一，写下了不朽的《几何元素》，做出了最大的贡献。长期以来，数学家们对这本书评价很高，因为这是数学第一次以公理的形式表达出来。

所谓公理或公设指的是一门学科中不需要证明但必须承认的某些陈述或命题，即“不言而喻”的命题。如果一门学科以公理的形式表达，它的所有命题都可以从这些公理或公设中逻辑地推导出来。如果我们把一个学科比作一个建筑，那么这个学科的公理或公共机构就像是建筑的基础，整个建筑必须建立在它上面。

“原始几何”的影响非常深远。它已经成为数学证明的模型。它建立的公理化方法已经渗透到今天数学的几乎每个领域。在这本书里，欧几里德仔细地选择了五公里和五个公设，然后在此基础上一步一步地推导出几何学中的其他命题。

然而，后来人们在研究“几何”的过程中，欧几里德的第五个公设引起了人们的注意，这个公设是:

如果同一平面上的一条直线与其他两条直线相交，并且同一侧的两个内角之和小于两个直角，则两条直线在无限延伸时将在该侧相交。

与其他四篇文章相比，这一公共条款叙述复杂，根本没有“不言自明”的特点。事实上，它是“原始几何”中命题17的逆命题。与其说它是一个假设，不如说它更像一个定理。欧几里德本人似乎在试图避免使用这个假设，直到29号命题的证明。结果，数学家开始猜测，这个假设真的有必要吗？它能从其他九个公理和公设中推导出来吗？为此，数学家已经忙碌了2000多年了！在这个过程中，人们发现了这个公设的许多等价命题。例如，我们在中学课本中所知道的是“一个已知的点可以超过一条直线，并且只有一条直线可以平行于一条已知的直线”，“任何三角形的内角之和是两个直角”等等。然而，人们未能证明第五个假设。人们给出的许多“证明”已经被发明出来，这就隐含地承认了它的一些等价命题。

尽管人们的尝试失败了——结果是他们注定要失败，数学家们建立了两个全新的几何，即非欧洲几何！

建立非欧洲几何学的荣誉应该由高斯(1777 ~ 1855)、鲍耶(波尔约，1802~1860)和罗巴切夫斯基(洛巴切夫斯基，1792~1856)分享。然而，在介绍他们的工作之前，让我们先看看在这个领域做出努力和贡献的几位数学家。

首先，意大利耶稣会士和帕维亚大学教授塞开里(1667 ~ 1733)应该被提及。他研究了一个四边形ABCD(如图1所示)，其中∠A和∠B是直角，AD=BC。他证明了∠D=∠C，那么这两个角只有三种可能的大小:钝角、直角或锐角，萨塞里称之为钝角、锐角假设和锐角假设。他想证明钝角和锐角假设是错误的，所以剩下的直角假设相当于第五个假设！萨奇利的隐含假设是矛盾的，但对于锐角假设，逻辑事实使他陷入两难境地，最终迫使一个“矛盾”难以令人信服。如果他不急于陷入那样的所谓“矛盾”，而是大胆地承认他找不到矛盾，那么非欧洲几何的发现无疑应该归功于雪莉。非欧几里德几何触及了他的鼻尖，但他让它溜走了。

三十三年后，法国数学家兰伯特(1728 ~ 1777)也做了类似的研究，写了一本关于平行线的书。他研究的是一个有三个直角的四边形。他讨论了第四个角度的情况，也有三个相应的假设。他也默认了直线长度是无限的假设，并且否认了钝角假设，但是他注意到钝角假设的一些结论适用于球面图。在锐角假设问题上，他比皮萨什利走得更远。当他在锐角假设下得不到矛盾时，他并不轻易否认这个假设，而是推测由锐角假设推导出的几何图形可能在具有虚拟半径的球体上得到验证，他猜对了！

兰伯特是第一个怀疑第五公设的可证明性的人，但最终他没有打破他的前辈的框架，错过了非欧洲几何。

对此做出突出贡献的第三个人是法国著名数学家勒让德。他翻译了《几何原本》，写了《几何原理》，并给出了第五公设的许多“证明”。他考虑了三角形内角之和分别大于、小于和等于两个直角的三个假设，这与萨塞里的三个假设完全一致。他在锐角假设下也走了很长一段路，但他的最后证明也包含了第五公设的一个相当形式，非常隐蔽。

事实上，第五个假设是不可验证的，它独立于其他假设！基于锐角假设推导出的几何图形与基于直角假设推导出的几何图形是相同的，其本身并不矛盾。由于2000多年来传统偏见的束缚，实现这一点需要非凡的勇气和想象力。

高斯是第一个真正预见非欧洲几何的人。1816年前后，他对非欧洲几何有了清晰的理解。然而，高斯非常小心，因为害怕引起世俗的反对，所以没有发表任何关于这类话题的文章。我们知道他的思想只是通过他和他的好朋友之间的通信，对他人作品的一些评论，以及他死后从手稿中发现的一些笔记。尽管如此，他鼓励其他人在这个领域做研究，是他把这个几何称为非欧洲几何。

第二个预见到非欧洲几何的人是奥地利军队中的匈牙利军官叶宝。他的父亲叶福保是高斯的大学同学和朋友。老包也对第五公共设施感兴趣，并花了很多时间研究它。当他知道他的儿子也对它着迷时，他警告他不要花时间在它上面，因为它们可能会“吞噬一千个像牛顿一样的天才”但小宝野不听劝告，坚持自己的研究，说:“我想从头开始创造一个陌生的新世界。”1823年，小鲍耶基本上形成了自己的思想，但当他通过父亲写信给高斯征求意见时，高斯在回信中说，他不能赞扬鲍耶的工作，因为这样做就是赞扬他早年开始的工作。小宝野对此非常生气，认为高斯想抓住他的成就。最后，1832年，小宝野把他的研究成果写成一本小册子，作为他父亲半哲学著作的附录出版。

虽然承认高斯和鲍耶最先预言了非欧几里得几何的存在，事实上俄国数学家罗巴切夫斯基发表了关于这个主题的第一篇论文。

罗巴切夫斯基出生在喀山，大半辈子都在喀山大学度过。他先是成为一名学生，然后是一名数学教授，最后成为校长，并在晚年担任喀山教育区督学的助理。他大约在1816年开始研究第五公设。起初他也试图证明这一点，但后来他坚决放弃了尝试。他最早关于非欧洲几何的论文发表在1829年的《喀山公报》上，比鲍耶早2-3年。他将第五个公设改为“一条直线以外的点可以使两条直线平行于已知的直线”，同时保持其他公设不变。在此基础上，他构建了一套完全不同的、内部并不矛盾的几何学，后来被称为“罗·巴尔切夫斯基几何学”。他的作品起初没有引起注意，也没有得到学术界的支持，但他仍然坚持不懈，全心全意地完善自己的理论。

改变传统观念去接受一个全新的事物总是如此困难。罗巴切夫斯基和鲍耶的作品发表后，整个数学界花了几年的时间才更加关注他们的作品，花了几十年的时间才理解这一发现的真正含义！

后来，德国数学家黎曼(1826 ~ 1866)修正了第五公设，把球面上的大圆看作一条直线，那么这条直线是无界的(或无界点)，但它的长度是有限的。黎曼修改了其他几个公理以适应球体，并在球体上构造了一个几何，称为“黎曼几何”。它也是非欧几里得几何。人类生活在地球上，并认识到地球是圆的，有着悠久的历史，但直到黎曼发展了一种适用于球面的几何，这可能是一种异常现象。

非欧洲几何学的发现是几何学的解放，也是数学思想的解放。几何的公设只是数学的一个假设，并不是不证自明的。也可以说，在物理学中没有必要考虑它是对还是错。数学家可以选择公设，只要它们不互相矛盾。数学已经从绝对真理转变为人类思想的自由创造，而不是被我们生活的世界所控制。正如康托所说:“数学的本质在于它的自由！”

在我们平时生活中，有很多男人吵架之后就喜欢冷战，男人冷战怎么让他理你，找对应对的方法，女人尽量还是要理解他，找到对方不高兴的原因。

怎样让冷战的老公理你

1、人总是看不到别人的错误，总是挑剔着别人的各种不满。有没有想过自己的错误在哪里?女人想接受和老公的冷战，就要懂得去反思自己，给自己一个时间，看看自己有哪里犯了错误。老公是爱你，但不需要迁就你的所有错误。

2、懂得去改变自己，不少男人在生活中想和自己老婆冷着，就是感觉两个人的感情在逐渐变淡。总也看不到对方的优点，看不到对方的好。想要结束冷战还是需要去改变自己，光鲜亮丽的形象出现在对方面前，生气了也不要蓬头垢面，打扮自己才能让老公主动去理你。

老公不联系你说明什么

1、如果老公他不联系你，那么就足以证明现在他的心情也是很乱的，他也想要有一个独立的空间去思考一下，思考一下你们的婚姻应该朝着什么样的方向发展。如果说他是这样的心思，那么也就能够足以证明他的内心中还是有你的，还是对于你有很多的不舍，不想要与你轻松的就分开。

2、有的时候他需要的就是你的改变，而且在这段时间之内，他也想要让你与他都有一个很好的冷静时间，好好的思量一下，其实这样的老公也是很负责任的，总比那些一声不吭总比那些总与你每天吵架的老公要强的多，所以说如果说你的老公他有这样的表现，那么我们也一定要顺从一下他的意思，也许对于你们的夫妻关系来讲会是很好的。

老公不理你怎么办

一、做个大度女人，原谅他

男女双方吵架之后，往往最后做出让步的都是男人，但男人也不会一味的忍让，偶尔女人也可以做一个大度的样子，毕竟夫妻哪有什么隔夜仇，两个人互相不理睬这对谁都不好，那你作为一个女人，偶尔原谅他，给他一个适当的台阶也是不错的选择啊。

二、放低姿态主动沟通

夫妻吵架在所难免，不管是谁都会有这样的情况，既然是在所难免的吵架，那么作为女人的你，放低姿态，主动去和老公沟通你们吵架的问题，也是一个不错的选择，毕竟日子还是要过下去，哪里能一味的两个人冷战呢?相比一时玩气，还是两个人主动沟通更有效果。

三、给他面子

男人都是非常要面子的，他不理你也是因为面子上过不去，其实心里说不定早就没有把这件事放在心上，那你也要做个聪明女人，给自己男人一个面子，他不好就会给你一个里子。双方都好好的不是更好吗?

四、用体贴感化他

吵架之后，他不理你你心里也不见得有多好受，看见自己老公心里不开心，你自己也不会开心，这种时候你可以用平时的体贴和温柔来感化他，相信他也会因为你的体贴而做出改变的。

五、对他撒娇

每个人的情绪都需要释放的空间，也不是所有人都能够很好的控制自己的情绪，尤其是直肠子的男人，他们往往是不太懂得怎么样去化解冷战，你作为一个聪明女人，就要懂得用自己的行为来改善夫妻之间的关系了。

六、提醒老公放下面子

夫妻吵架很多时候都是在玩气，尤其是男人，他们往往最后并不是生气这件事情，而是生气你不服软，所以你适时地提醒老公，让他不要因为玩气伤了你的心，我想男人们都应该是明白你的用意的。

男人不理你聪明的女人该怎么处理

一、不要纠缠

很多人都是分手了之后才知道珍惜，分手之后才知道他多么爱你!女人爱上一个男人之后就很难放下。当男人选择分手的时候，她可能会苦苦哀求对方，一直纠缠。但是这样做只会让男人更反感你，更快下定决心与你分手。人都是有贱性的。当男人提出要分手的时候，你可以选择挽留他。但不要纠缠，如果他爱你不需要强求，如果他不爱你强求也无用!

二、冷静思考

如果一个男人经常不联系你，你找他也是非常难的，其实这就说明他对这份感情已经没有了兴趣。这时候，女人应该冷静思考，想一想值不值得继续这段感情，跟着这个男人你们会有未来吗?如果男人已经觉得这段感情可有可无，分手那就应该是早晚的事了。女人不要去问男人为什么，自己好好想一想是不是自己的问题，女人的第六感都是很准的，如果真的感觉到男人不爱你了，那就洒脱一点，果断放手吧!再继续下去，两个人也不会有好结果。

三、让自己变得更加优秀

当一段感情结束以后，女人不要整天活在分手的悲伤之中，这时候，更重要的事情是需要让自己变得更加优秀，让那些离开你的人后悔。当自己越来越优秀，越来越有魅力，才能吸引更多优秀的异性。你能让自己变得更优秀时，身边聚集的也只会是优秀的人，吸引力法则告诉我们同性相吸。当女人面对感情失败，和一个不理你的男人时，女人要做的就是让自己变得更优秀，只有这样才更加有勇气去面对失败的爱情。好的感情从来都不是一厢情愿，而是相互吸引。只有深深的吸引对方，彼此才能幸福地在一起。

男人是很容易变心的，你要认清男人的真心，一个男人想和你离婚，是会有很多表现的，可能有些人会因为责任感和内疚感不好意思说出口，但是内心早已不爱你了。

怎么让冷战的老公理你

1、想要正处于冷静的老公主动的来理你，那么我们也要花一些心思了，相信现在即使他不理你，但是内心当中对于你还是有爱的，他还是比较在乎你的，，我们可以在他不注意的时候假装的摔倒，看一下他是什么样的反应，如果说他主动的来扶你，我们可以顺势拥抱住他，躲到他的怀中，用我们温柔的语言说出你现在最想要对他说的话，这一刻任何一个男人他也都会抵抗不住的，这样自然而然的你与老公也就和好如初了。

2、老公他不理你，我们可以主动的理他，每天都会为他做他喜欢吃的饭菜，每天都让他看得到你在默默关心他的样子，相信你的这样态度，你的这样做法肯定也会让他内心不会平静的，等到他想清楚的那一刻肯定也会主动的来找你，因为他看到你这样对他，他还不去主动的理你就连自己这一关，他也绝对不会过的。

老公想离婚会有什么表现

第一、对老婆爱理不理

有的女人会发现，过去老公一直是一个能说会道得人，整天会说些甜言蜜语来哄自己开心，自己生病了，端茶倒水，悉心照顾，自己不开心了，会想尽办法来让自己开心起来。现在似乎连多说一句话的兴趣都没有，你跟他说什么，他要么就不回应你，要么就跟你回一句“嗯”或者“啊”。最严重的可能更不耐烦，还会说你一句，你烦不烦，跟你没话说。

第二、无论你做什么他都能挑出问题

有的时候，老婆还是那个老婆，生活还是一样的生活，可是老婆会发现无论自己做什么似乎都是错的，你做的每一件事情，说的每一句话，都有可能被他挑刺，成为他情绪爆发的理由。在老公面前，你变得一无是处，他只感觉看到你，他就会有讨厌的感觉再也不会给你一个笑脸。

第三、在你身上哪怕花一分钟的时间都会嫌多

再也没有耐心陪你去逛街，去看电影，甚至连跟你说一句话都会觉得是多余的，是在浪费他的时间。每天都会有各种各样的借口，在公司加班，配朋友吃饭，陪客户，等等，经常很晚才回家，甚至夜不归宿，却个电话，一条短信都懒得发给你。更懒得跟你解释，觉得在你身上花一分钟的时间都显得多余。

第四、在朋友面前一点也不尊重你

夫妻之间是平等的，要相互尊重对方。可有的男人，忽然有一天对你的态度发生很大的变化，不再尊重你，更不在乎你的想法，在朋友面前一点不给你留面子。生活中就把你当一个老妈子，一个佣人一样使用，心情不好了，甚至还会动手动脚，随意打骂你，态度已经到了肆无忌惮的地步，这绝对是在逼迫这女人跟他离婚。

时时刻刻都想离婚的男人

1、做什么都不跟你商量

对于一个家庭来讲，确实会有明确的分工，但这不意味着男人做什么事情都可以不跟女人商量。男人做任何事情的成败，都与家庭直接相关，而他一声不吭的做了从不跟你商量，是因为他根本没把你看做家庭的一部分。事情成功了，全是他一个人的功劳，而事情失败了，他会把责任都推卸给你。其实，你的意见或者是感受，对他来说并不重要，因为你在他面前根本就没有存在感，他时时刻刻都想着和你离婚!

2、总会在朋友面前数落你

男人总会跟自己的朋友，在休闲的时候来个小聚会，特别是男人的朋友来家里做客的时候，男人总会在他们面前，把你说得一文不值，面目全非。其实，他的目的就是为了让自己的朋友知道，他对你有多么的不满，方便他背着你跟其他异性来往。而这样的男人，压根就没有把心思放在你的身上，没想过要和你好好过日子。要知道，男人能这样随随便便的在别人面前揭你的短，拿这个当话题，缺少欣赏你的眼睛，说明他早就对你厌烦了，时时刻刻都想着离婚。

3、嫌弃你

男人在你面前总说你一事无成，什么都不会做，只会花他的钱，把他所有的辛苦和累，都推脱到你的身上，其实是因为他嫌弃你在这个家庭的存在。他的钱花在你的身上觉得浪费，所以才会这样的心疼。并且，他会理直气壮地觉得你该做家务，该承担那些琐碎的事情，一边对你各种高要求，一边觉得你在家里吃闲饭。而你要明白的是，男人嫌弃你不够漂亮、不够温柔......当你在他眼中所有的都是缺点的时候，说明男人时时刻刻都想和你离婚!

4、经常不回家

时时刻刻都想离婚的男人，才会有这样的表现。家庭是一家人温暖的避风港，也是男人上了一天班，可以回来放松休息的地方。而男人却总是迟迟不愿意回家，总拿加班来做借口，不让你来找他，他也不回家，一天一天地在外面吃饭休息，说明这个家已经失去了本身的意义。而男人不回家的原因，则是因为跟你无话可说，或者有其他人更让他牵肠挂肚。男人能够无情到抛弃你，不闻不问，说明他已经下定决心不会跟你在一起了，时时刻刻都在想着跟你离婚。

5、对你没有好脸色

男人总是一言不合就发脾气，你做什么他都烦，即使你是为了他好，他也会不领情的说你多管闲事，从来没有给过你好脸色，那你们的婚姻，注定就是你一个人的一厢情愿。每天你都要战战兢兢的去面对他，因为你不知道他下一刻，会因为什么而跟你发脾气。男人不会包容你，更不会承担责任给你爱，甚至会忽略你对他所有的关怀，有了这种表现，那是因为他时时刻刻都想和你离婚。要知道，爱的存在会让男人变得包容，他对你没有包容，其实就证明他对你的爱已经寥寥无几了!

如何面对冷战的老公

当我们面对着主动与自己挑起冷战的老公时，一定不要用同样的方式去面对他一个大男人，他如果主动的来与你挑起冷战，就足以证明他是真正爱你的，他是特别重视你的，如果说我们可以这样想问题，会不会就会对于你眼前的这个男人有另外一种想法呢?既然他都这样的爱你了，那么我们要用同样的爱同样的温柔去打动他的心，相信在这个时候，只要你说一句我爱你，肯定也会让他瞬间冰冷的心崩塌。